Anosovin diffeomorfismi - Anosov diffeomorphism

On matematiikka , erityisesti aloilla dynaamisten järjestelmien ja geometrinen topologia , Anosov kartta on jakotukin M on tietynlainen kartoitus, mistä M itselleen, melko selvästi merkitty paikallinen suuntiin "laajentaminen" ja "supistuminen". Anosov-järjestelmät ovat Axiom A -järjestelmien erityistapaus.

Anosov-diffeomorfismit esitteli Dmitri Victorovich Anosov , joka osoitti, että heidän käyttäytymisensä oli tarkoituksenmukaisessa mielessä yleinen (kun niitä on ollenkaan).

Yleiskatsaus

Kolme läheisesti liittyvää määritelmää on erotettava toisistaan:

• Jos differentioituva kartan f on M on hyperbolinen rakenne on tangentti nippu , niin sitä kutsutaan Anosov kartan . Esimerkkejä ovat Bernoullin kartta ja Arnoldin kissakartta .
• Jos kartta on diffeomorfismi , sitä kutsutaan Anosovin diffeomorfismiksi .
• Jos jakotukin virtaus jakaa tangentin nipun kolmeen invarianttiin osaryhmään , joista yksi on eksponentiaalisesti supistuva ja eksponentiaalisesti laajeneva osa, ja kolmas, laajentumaton, ei-supistuva yksiulotteinen alipaketti (ulottuu virtaussuuntaan), niin virtausta kutsutaan Anosov-virtaukseksi .

Klassinen esimerkki Anosovin diffeomorfismista on Arnoldin kissakartta .

Anosov osoitti, että Anosov diffeomorphisms ovat rakenteellisesti stabiileja ja muodostavat avoimen osajoukko kuvausten (virtaa) ja C- ¹ topologia.

Ei kaikki moninaiset tunnusta Anosovin diffeomorfismia; esimerkiksi pallossa ei ole tällaisia ​​diffeomorfismeja . Yksinkertaisimpia esimerkkejä kompakteista jakoputkista, jotka hyväksyvät ne, ovat tori: he myöntävät niin kutsutut lineaariset Anosov-diffeomorfismit , jotka ovat isomorfismeja, joilla ei ole moduulin ominaisarvoa 1. On osoitettu, että mikä tahansa muu torosissa oleva Anosov-diffeomorfismi on topologisesti konjugoitu tähän ystävällinen.

Anosovien diffeomorfismeja tunnustavien jakotukkien luokitteluongelma osoittautui erittäin vaikeaksi, eikä siihen ole vielä vastausta vuodesta 2012 lähtien. Ainoat tunnetut esimerkit ovat infraniiliputket , ja arvellaan, että ne ovat ainoat.

Riittävä edellytys transitiivisuusehdon on, että kaikki kohdat nonwandering: . ${\ displaystyle \ Omega (f) = M}$

Ei myöskään tiedetä, onko jokainen äänenvoimakkuutta säilyttävä Anosov-diffeomorfismi ergodinen. Anosov osoitti sen oletuksen perusteella. Se pätee myös volyymiä säilyttäviin Anosov-diffeomorfismiin. ${\ displaystyle C ^ {1}}$${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle C ^ {1+ \ alpha}}$

Ja transitive Anosov diffeomorfismi on olemassa ainutlaatuinen SRB toimenpide (lyhenne sanoista Sinai, Ruelle ja Bowen) tuettu siten, että sen allas on täynnä tilavuus, jossa ${\ displaystyle C ^ {2}}$${\ displaystyle f \ kaksoispiste M \ - M}$${\ displaystyle \ mu _ {f}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle B (\ mu _ {f})}$

${\ displaystyle B (\ mu _ {f}) = \ vasen \ {x \ M: ssä: {\ frac {1} {n}} \ summa _ {k = 0} ^ {n-1} \ delta _ { f ^ {k} x} \ to \ mu _ {f} \ right \}.}$

Anosov virtaa (tangenttikimput) Riemannin pinnoille

Esimerkkinä tässä osassa kehitetään Anosov-virtauksen tapaus negatiivisen kaarevuuden omaavan Riemannin pinnan tangenttikimppussa . Tämä virtaus voidaan ymmärtää hyperbolisen geometrian Poincarén puolitasotason mallin tangentin kimppun virtauksena . Negatiivisen kaarevuuden omaavat Riemannin pinnat voidaan määritellä fuksialaisiksi malleiksi , toisin sanoen ylemmän puolitason ja fuksilaisten ryhmien osamääriksi . Seuraavaksi anna H olla ylempi puolitaso; olkoon Γ fuksialainen ryhmä; olkoon M  =  H / Γ negatiivisen kaarevuuden Riemannin pinta "M": n osamääränä ryhmän the vaikutuksella ja olkoon yksikönpituisten vektorien tangenttipaketti jakotukissa M ja olkoon tangenttipaketti yksikköpituisten vektorien H: ssä . Huomaa, että yksikköpituisten vektorien nippu pinnalla on monimutkaisen viivakimpun pääkimppu . ${\ displaystyle T ^ {1} M}$${\ displaystyle T ^ {1} H}$

Valehtele vektorikentät

Aluksi huomautetaan, että se on isomorfinen Lie-ryhmälle PSL (2, R ) . Tämä ryhmä on ylemmän puolitason suuntaa säilyttävien isometrioiden ryhmä . Lie algebran PSL (2, R ) on sl (2, R ), ja edustaa matriisit ${\ displaystyle T ^ {1} H}$

${\ displaystyle J = {\ begin {pmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & -1 / 2 \\\ end {pmatrix}} \ qquad X = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\ end {pmatrix} } \ qquad Y = {\ alku {pmatrix} 0 ja 0 \\ 1 & 0 \ loppu {pmatrix}}}$

joilla on algebra

${\ displaystyle [J, X] = X \ qquad [J, Y] = - Y \ qquad [X, Y] = 2J}$

Eksponentiaalinen kartat

${\ displaystyle g_ {t} = \ exp (tJ) = {\ begin {pmatrix} e ^ {t / 2} & 0 \\ 0 & e ^ {- t / 2} \\\ end {pmatrix}} \ qquad h_ { t} ^ {*} = \ exp (tX) = {\ begin {pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \\\ end {pmatrix}} \ qquad h_ {t} = \ exp (tY) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ t & 1 \\\ end {pmatrix}}}$

määritellä oikean invariantin virtaukset jakoputkessa ja samalla tavalla . Määrittelemällä ja nämä virrat määrittelevät vektorikentät P: llä ja Q: lla , joiden vektorit ovat TP: ssä ja TQ: ssa . Nämä ovat vain tavallisia, tavallisia Lie-vektorikenttiä Lie-ryhmän jakotukissa, ja yllä oleva esitys on Lie-vektorikentän vakioesittely. ${\ displaystyle T ^ {1} H = \ operaattorin nimi {PSL} (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle T ^ {1} M}$${\ displaystyle P = T ^ {1} H}$${\ displaystyle Q = T ^ {1} M}$

Anosovin virtaus

Yhteys Anosov virtaus tulee ymmärtämään, että on geodeettinen virtaus on P ja Q . Lie-vektorikentät jätetään (määritelmän mukaan) muuttumattomiksi ryhmäelementin vaikutuksen alaiseksi, ja kentät jätetään muuttumattomiksi geodeettisen virtauksen tiettyjen osien alle . Toisin sanoen, tilat TP ja TQ on jaettu kolmeen yksiulotteiseen tilaan tai alaosaan , joista kukin on invariantti geodeettisen virtauksen alla. Viimeinen vaihe on huomata, että yhden alaryhmän vektorikentät laajenevat (ja laajenevat eksponentiaalisesti), toisen kentät ovat muuttumattomia ja kolmannen kolmannen alueen kutistuvat (ja tekevät niin eksponentiaalisesti). ${\ displaystyle g_ {t}}$${\ displaystyle g_ {t}}$

Tarkemmin sanottuna tangenttipaketti TQ voidaan kirjoittaa suorana summana

${\ displaystyle TQ = E ^ {+} \ oplus E ^ {0} \ oplus E ^ {-}}$

tai jossain vaiheessa suora summa ${\ displaystyle g \ cdot e = q \ Q: ssa}$

${\ displaystyle T_ {q} Q = E_ {q} ^ {+} \ oplus E_ {q} ^ {0} \ oplus E_ {q} ^ {-}}$

vastaa Lie algebran generaattorit Y , J ja X , vastaavasti, suoritettiin, vasenta toiminnan ryhmän elementin g , origosta e pisteeseen q . Eli on ja . Nämä tilat ovat kukin osajoukkoja , ja ne säilyvät (ovat muuttumattomia) geodeettisen virtauksen vaikutuksesta ; eli ryhmäelementtien vaikutuksen alaisena . ${\ displaystyle E_ {e} ^ {+} = Y, E_ {e} ^ {0} = J}$${\ displaystyle E_ {e} ^ {-} = X}$${\ displaystyle g = g_ {t}}$

Vektoreiden pituuksien vertaamiseksi eri pisteissä q tarvitaan mittari. Mikä tahansa sisempi tuote on ulottuu vasemman invariant Riemannin metriikka on P , ja siten on Riemannin-muuttujaa Q . Vektorin pituus laajenee eksponentiaalisesti exp (t): nä . Vektorin pituus kutistuu eksponentiaalisesti exp (-t): nä . Sisään tulevat vektorit ovat muuttumattomia. Tämä voidaan nähdä tutkimalla, kuinka ryhmän elementit liikkuvat. Geodeettinen virtaus on muuttumaton, ${\ displaystyle T_ {q} Q}$${\ displaystyle T_ {e} P = sl (2, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle v \ E_ {q} ^ {+}}$${\ displaystyle g_ {t}}$${\ displaystyle v \ E_ {q} ^ {-}}$${\ displaystyle g_ {t}}$${\ displaystyle E_ {q} ^ {0}}$

${\ displaystyle g_ {s} g_ {t} = g_ {t} g_ {s} = g_ {s + t}}$

mutta kaksi muuta kutistuvat ja laajenevat:

${\ displaystyle g_ {s} h_ {t} ^ {*} = h_ {t \ exp (-s)} ^ {*} g_ {s}}$

ja

${\ displaystyle g_ {s} h_ {t} = h_ {t \ exp (s)} g_ {s}}$

jossa muistaa, että tangenttivektori saadaan johdannainen , suhteessa t , ja käyrä , asetus . ${\ displaystyle E_ {q} ^ {+}}$ ${\ displaystyle h_ {t}}$${\ displaystyle t = 0}$

Anosov-virtauksen geometrinen tulkinta

Toimiessaan pisteen ylemmän puoli-tasossa, vastaa geodeettista ylempi puoli tasoon, joka kulkee pisteen . Toiminta on tavallinen Möbius muutos toiminnan SL (2, R ) ylä- puoli-tasossa, niin että ${\ displaystyle z = i}$${\ displaystyle g_ {t}}$${\ displaystyle z = i}$

${\ displaystyle g_ {t} \ cdot i = {\ begin {pmatrix} \ exp (t / 2) & 0 \\ 0 & \ exp (-t / 2) \ end {pmatrix}} \ cdot i = i \ exp ( t)}$

Yleisen geodeettisen antaa:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}} \ cdot i \ exp (t) = {\ frac {ai \ exp (t) + b} {ci \ exp (t) + d }}}$

kanssa a , b , c ja d todellinen, kanssa . Käyrät ja niitä kutsutaan horocyclesiksi . Horosyklit vastaavat horosfäärin normaalien vektorien liikettä ylemmällä puolitasolla. ${\ displaystyle ad-bc = 1}$${\ displaystyle h_ {t} ^ {*}}$${\ displaystyle h_ {t}}$

Katso myös

• Ergodinen virtaus
• Morse – Smale-järjestelmä
• Pseudo-Anosov-kartta

Huomautuksia

Viitteet

• "Y-järjestelmä, U-järjestelmä, C-järjestelmä" , Matematiikan tietosanakirja , EMS Press , 2001 [1994]
• Anthony Manning, Geodeettisten ja horosyklisten virtausten dynamiikka jatkuvan negatiivisen kaarevuuden pinnoilla , (1991), esiintyy luvulla 3 Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces , Tim Bedford, Michael Keane ja Caroline Series, Toim. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN   0-19-853390-X (Tarjoaa esittelyn SL: n Anosov- virtaukselle (2, R ).)
• Tämä artikkeli sisältää Anosovin diffeomorfismin aineistoa PlanetMathissa , joka on lisensoitu Creative Commons Nimeä / Jaa-samankaltaisella lisenssillä .
• Toshikazu Sunada , Magnetic virtaa Riemannin pinnalla , Proc. KAIST Matematiikka. Workshop (1993), 93–108.