Complejo CW - CW complex

Un complejo CW es una especie de espacio topológico que es particularmente importante en la topología algebraica . Fue introducido por JHC Whitehead para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y tiene mejores propiedades categóricas que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño). La C significa "cierre-finito" y la W para topología "débil". Un complejo CW se puede definir inductivamente.

• Un complejo CW de dimensión 0 es simplemente un conjunto de cero o más puntos discretos (con la topología discreta ).
• Un complejo CW unidimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW de dimensión 0 con una o más copias del intervalo unitario . Para cada copia, hay un mapa que " pega " su límite (sus dos puntos finales) a los elementos del complejo de dimensión 0 (los puntos). La topología del complejo CW es la topología del espacio cociente definido por estos mapas de pegado.
• En general, un complejo CW n-dimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW k -dimensional (para algunos ) con una o más copias de la bola n- dimensional . Para cada copia, hay un mapa que "pega" su límite (la esfera -dimensional ) a los elementos del complejo -dimensional. La topología del complejo CW es la topología del cociente definida por estos mapas de pegado.${\ Displaystyle k <n}$${\ Displaystyle (n-1)}$${\ Displaystyle k}$
• Se puede construir un complejo CW de dimensión infinita repitiendo el proceso anterior numerablemente muchas veces.

En un complejo CW n- dimensional, para cada , una celda k es el interior de una bola k- dimensional agregada en el k -ésimo paso. El k-esqueleto del complejo es la unión de todas sus k- células. ${\ Displaystyle k \ leq n}$

Ejemplos de

Como se mencionó anteriormente, cada colección de puntos discretos es un complejo CW (de dimensión 0).

Complejos CW unidimensionales

Algunos ejemplos de complejos CW unidimensionales son:

• Un intervalo . Puede ser construido a partir de dos puntos ( x y Y ), y el balón 1-dimensional B (un intervalo), de manera que un punto final de B está pegado a x y el otro está pegado a y . Los dos puntos x y y son las 0 células; el interior de B es la celda 1. Alternativamente, se puede construir solo a partir de un único intervalo, sin celdas 0.
• Un circulo . Puede construirse a partir de un solo punto x y la bola unidimensional B , de modo que ambos extremos de B estén pegados ax . Alternativamente, puede ser construido a partir de dos puntos x y y y dos bolas 1-dimensionales A y B , de manera que los puntos finales de A están pegados a x y y , y los puntos finales de B están pegados a x y y también.
• Un gráfico . Es un complejo CW unidimensional en el que las celdas 0 son los vértices y las celdas 1 son los bordes. Los extremos de cada borde se identifican con los vértices adyacentes.
  • Los gráficos tridimensionales se pueden considerar como complejos CW genéricos unidimensionales. En concreto, si X es un complejo CW 1-dimensional, el mapa de unión para una célula 1 es un mapa de un espacio de dos puntos a X , . Este mapa puede ser perturbado ser disjunta de la 0-esqueleto de X si y sólo si y no son vértices 0-valencia de X .${\ Displaystyle f: \ {0,1 \} \ a X}$${\ Displaystyle f (0)}$${\ Displaystyle f (1)}$
• La estructura estándar de CW en los números reales tiene como esqueleto 0 los enteros y como 1 celdas los intervalos . De manera similar, la estructura CW estándar tiene celdas cúbicas que son productos de las celdas 0 y 1 de . Esta es la estructura de celdas de celosía cúbica estándar en .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ {[n, n + 1]: n \ in \ mathbb {Z} \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Complejos CW multidimensionales

Algunos ejemplos de complejos CW multidimensionales son:

• Una esfera n- dimensional . Admite una estructura CW con dos celdas, una celda 0 y una celda n. Aquí, la celda n está unida por el mapeo constante desde su límite hasta la celda 0 única. Una descomposición celular alternativa tiene una esfera ( n -1) -dimensional (el " ecuador ") y dos n- celdas que están unidas a ella (la "semiesfera superior" y la "semiesfera inferior"). Inductivamente, esto da una descomposición CW con dos celdas en cada dimensión k tal que .${\ Displaystyle D ^ {n}}$${\ Displaystyle S ^ {n-1}}$${\ Displaystyle S ^ {n}}$${\ Displaystyle 0 \ leq k \ leq n}$
• El espacio proyectivo real n- dimensional . Admite una estructura CW con una celda en cada dimensión.
• La terminología para un complejo CW bidimensional genérico es una sombra .
• Un poliedro es naturalmente un complejo CW.
• Las variedades Grassmannianas admiten una estructura CW llamada células de Schubert .
• Variedades diferenciables , variedades algebraicas y proyectivas tienen el tipo de homotopía de complejos CW.
• La compactación de un punto de una variedad hiperbólica cúspide tiene una descomposición CW canónica con sólo una celda 0 (el punto de compactación) llamada descomposición de Epstein-Penner . Estas descomposiciones celulares se denominan frecuentemente descomposiciones poliédricas ideales y se utilizan en programas informáticos populares, como SnapPea .

No complejos CW

• Un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es un complejo CW: es un espacio de Baire y, por lo tanto, no puede escribirse como una unión contable de n- esqueletos, cada uno de los cuales es un conjunto cerrado con un interior vacío. Este argumento se extiende a muchos otros espacios de dimensión infinita.
• El espacio tiene el tipo de homotopía de un complejo CW (es contráctil) pero no admite una descomposición CW, ya que no es localmente contráctil .${\ Displaystyle \ {re ^ {2 \ pi i \ theta}: 0 \ leq r \ leq 1, \ theta \ in \ mathbb {Q} \} \ subseteq \ mathbb {C}}$
• El pendiente hawaiano es un ejemplo de un espacio topológico que no tiene el tipo de homotopía de un complejo CW.

Formulación

En términos generales, un complejo CW está hecho de bloques de construcción básicos llamados células . La definición precisa prescribe cómo las células pueden pegarse topológicamente .

Una celda cerrada n- dimensional es la imagen de una bola cerrada n- dimensional debajo de un mapa adjunto . Por ejemplo, un simplex es una celda cerrada y, de manera más general, un politopo convexo es una celda cerrada. Una celda abierta n- dimensional es un espacio topológico que es homeomórfico a la bola abierta n- dimensional . Una celda abierta (y cerrada) de 0 dimensiones es un espacio singleton . Cierre-finito significa que cada celda cerrada está cubierta por una unión finita de celdas abiertas (o se encuentra solo con un número finito de otras celdas).

Un complejo CW es un espacio de Hausdorff X junto con una partición de X en celdas abiertas (de dimensión quizás variable) que satisface dos propiedades adicionales:

• Para cada celda abierta n- dimensional C en la partición de X , existe un mapa continuo f desde la bola cerrada n- dimensional a X tal que
  • la restricción de f al interior de la bola cerrada es un homeomorfismo en la celda C , y
  • la imagen del límite de la bola cerrada está contenida en la unión de un número finito de elementos de la partición, cada uno de los cuales tiene una dimensión de celda menor que n .
• Un subconjunto de X se cierra si y solo si cumple con el cierre de cada celda en un conjunto cerrado.

La partición de X también se llama celulación .

Complejos CW regulares

Complejo A CW se llama regular de si, para cada n -dimensional de célula abierta C en la partición de X , la aplicación continua f de la n -dimensional bola cerrada a X es un homeomorfismo sobre el cierre de la célula C . En consecuencia, la partición de X también se denomina celulación regular . Un gráfico sin bucles es un complejo CW unidimensional regular. Un gráfico cerrado de 2 celdas incrustado en una superficie es un complejo CW bidimensional regular. Finalmente, la conjetura de celulación regular de 3 esferas afirma que cada gráfico de 2 conexiones es el esqueleto 1 de un complejo CW regular en la esfera tridimensional ( https://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/ SergioDeAgostino / DeAgostino.pdf ).

Complejos CW relativos

En términos generales, un complejo CW relativo se diferencia de un complejo CW en que le permitimos tener un bloque de construcción adicional que no necesariamente posee una estructura celular. Este bloque adicional se puede tratar como una celda de dimensión (-1) en la definición anterior.

Construcción inductiva de complejos CW

Si la dimensión más grande de cualquiera de las celdas es n , entonces se dice que el complejo CW tiene dimensión n . Si no hay un límite a las dimensiones de la celda, se dice que es de dimensión infinita. El n -esqueleto de un complejo CW es la unión de las células cuya dimensión es como máximo n . Si la unión de un conjunto de celdas es cerrada, entonces esta unión es en sí misma un complejo CW, llamado subcomplejo. Por tanto, el n- esqueleto es el subcomplejo más grande de dimensión n o menos.

Un complejo CW a menudo se construye definiendo su esqueleto de manera inductiva "uniendo" células de dimensión creciente. Por una 'fijación' de un n células beta a un espacio topológico X un medio un espacio adjunción donde f es una función continua de la frontera de un cerrado n balón -dimensional a X . Para construir un complejo CW, comience con un complejo CW de dimensión 0, es decir, un espacio discreto . Adjunte 1-celdas para obtener un complejo CW unidimensional . Adjunte 2 celdas para obtener un complejo CW bidimensional . Continuando de esta manera, obtenemos una secuencia anidada de complejos CW de dimensión creciente tal que si entonces es el i -esqueleto de . ${\ Displaystyle B \ cup _ {f} X}$${\ Displaystyle B \ subseteq R ^ {n}}$ ${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle X_ {0}}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle X_ {0} \ subseteq X_ {1} \ subseteq \ cdots X_ {n} \ subseteq \ cdots}$${\ Displaystyle i \ leq j}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle X_ {j}}$

Hasta el isomorfismo, cada complejo CW n- dimensional puede obtenerse de su ( n  - 1) -esqueleto mediante la unión de n- celdas, y así cada complejo CW de dimensión finita se puede construir mediante el proceso anterior. Esto es cierto incluso para los complejos de dimensión infinita, en el entendido de que el resultado del proceso infinito es el límite directo de la esqueleta: un conjunto se cierra en X si y solo si se encuentra con cada esqueleto en un conjunto cerrado.

Homología y cohomología de complejos CW

La homología singular y la cohomología de los complejos CW se pueden calcular fácilmente mediante la homología celular . Además, en la categoría de complejos CW y mapas celulares , la homología celular puede interpretarse como una teoría de homología . Para calcular una teoría de (co) homología extraordinaria para un complejo CW, la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el análogo de la homología celular .

Algunos ejemplos:

• Para la esfera, tome la descomposición de la celda con dos celdas: una sola celda 0 y una sola celda n . El complejo de la cadena de homología celular y la homología vienen dados por:${\ Displaystyle S ^ {n},}$ ${\ Displaystyle C _ {*}}$

${\ Displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}} \ quad H_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & k \ in \ {0, n \} \\ 0 & k \ notin \ {0, n \} \ end {cases}}}$

ya que todos los diferenciales son cero.

Alternativamente, si usamos la descomposición ecuatorial con dos celdas en cada dimensión

${\ displaystyle C_ {k} = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} ^ {2} & 0 \ leqslant k \ leqslant n \\ 0 & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}$

y los diferenciales son matrices de la forma Esto da el mismo cálculo de homología anterior, ya que el complejo de cadena es exacto en todos los términos excepto y${\ Displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right).}$${\ Displaystyle C_ {0}}$${\ Displaystyle C_ {n}.}$

• Porque obtenemos de manera similar${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ Displaystyle H ^ {k} \ left (\ mathbb {P} ^ {n} (\ mathbb {C}) \ right) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z} & 0 \ leqslant k \ leqslant 2n, {\ text {even}} \\ 0 & {\ text {de lo contrario}} \ end {cases}}}$

Los dos ejemplos anteriores son particularmente simples porque la homología está determinada por el número de células, es decir, los mapas de unión celular no tienen ningún papel en estos cálculos. Este es un fenómeno muy especial y no es indicativo del caso general.

Modificación de estructuras CW

Existe una técnica, desarrollada por Whitehead, para reemplazar un complejo CW con un complejo CW equivalente a homotopía que tiene una descomposición CW más simple .

Considere, por ejemplo, un complejo CW arbitrario. Su esqueleto en 1 puede ser bastante complicado, siendo un gráfico arbitrario . Ahora considere un bosque máximo F en este gráfico. Dado que es una colección de árboles, y los árboles son contráctil, tenga en cuenta el espacio donde la relación de equivalencia es generada por si están contenidos en un árbol común en el bosque máxima F . El mapa de cocientes es una equivalencia de homotopía. Por otra parte, naturalmente hereda una estructura de CW, con celdas correspondientes a las células de que no están contenidos en F . En particular, el esqueleto 1 de es una unión disjunta de cuñas de círculos. ${\ Displaystyle X / {\ sim}}$${\ Displaystyle x \ sim y}$${\ Displaystyle X \ a X / {\ sim}}$${\ Displaystyle X / {\ sim}}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X / {\ sim}}$

Otra forma de afirmar lo anterior es que un complejo CW conectado puede ser reemplazado por un complejo CW equivalente a homotopía cuyo esqueleto O consiste en un solo punto.

Considere subir la escalera de la conectividad, suponga que X es un complejo CW simplemente conectado cuyo esqueleto 0 consiste en un punto. ¿Podemos, mediante modificaciones adecuadas, reemplazar X por un complejo CW equivalente a homotopía donde consta de un solo punto? La respuesta es sí. El primer paso es observar eso y los mapas adjuntos para construir a partir de una presentación grupal . El teorema de Tietze para presentaciones grupales establece que hay una secuencia de movimientos que podemos realizar para reducir esta presentación grupal a la presentación trivial del grupo trivial. Hay dos movimientos de Tietze: ${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle X ^ {2}}$${\ Displaystyle X ^ {1}}$

1) Agregar / quitar un generador. Agregar un generador, desde la perspectiva de la descomposición de CW, consiste en agregar una celda 1 y una celda 2 cuyo mapa adjunto consiste en la nueva celda 1 y el resto del mapa adjunto está en . Si dejamos que ser el correspondiente complejo CW entonces hay una equivalencia de homotopía dado deslizando el nuevo 2-célula en X .${\ Displaystyle X ^ {1}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e ^ {1} \ cup e ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}$

2) Agregar / eliminar una relación. El acto de agregar una relación es similar, solo una reemplaza X por donde la nueva 3 celdas tiene un mapa adjunto que consiste en la nueva asignación de 2 celdas y el resto . Una diapositiva similar da una equivalencia de homotopía .${\ Displaystyle {\ tilde {X}} = X \ cup e ^ {2} \ cup e ^ {3}}$${\ Displaystyle X ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ tilde {X}} \ to X}$

Si un complejo CW X está conectado en n, se puede encontrar un complejo CW equivalente a homotopía cuyo n- esqueleto consiste en un solo punto. El argumento a favor es similar al caso, solo uno reemplaza los movimientos de Tietze para la presentación del grupo fundamental por operaciones de matriz elemental para las matrices de presentación para (usando las matrices de presentación que provienen de la homología celular . Es decir, uno puede realizar de manera similar operaciones de matriz elemental por una secuencia de adición / eliminación de células u homotopías adecuadas de los mapas adjuntos. ${\ Displaystyle {\ tilde {X}}}$${\ Displaystyle X ^ {n}}$${\ Displaystyle n \ geq 2}$${\ Displaystyle n = 1}$${\ Displaystyle H_ {n} (X; \ mathbb {Z})}$

'La' categoría de homotopía

La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata para la categoría de homotopía (por razones técnicas, se utiliza realmente la versión para espacios puntiagudos ). Las construcciones auxiliares que producen espacios que no son complejos CW deben usarse en ocasiones. Un resultado básico es que los functores representables en la categoría de homotopía tienen una caracterización simple (el teorema de representabilidad de Brown ).

Propiedades

• Los complejos CW se pueden contraer localmente.
• Los complejos CW satisfacen el teorema de Whitehead : un mapa entre complejos CW es una equivalencia de homotopía si y solo si induce un isomorfismo en todos los grupos de homotopía.
• El producto de dos complejos CW se puede convertir en un complejo CW. Específicamente, si X e Y son complejos CW, entonces se puede formar un complejo CW X × Y en el que cada celda es un producto de una celda en X y una celda en Y , dotada de la topología débil . El conjunto subyacente de X × Y es entonces el producto cartesiano de X e Y , como se esperaba. Además, la topología débil en este conjunto a menudo concuerda con la topología de producto más familiar en X × Y , por ejemplo, si X o Y son finitos. Sin embargo, la topología débil puede ser más fina que la topología del producto, por ejemplo, si ni X ni Y son localmente compactos . En este caso desfavorable, el producto X × Y en la topología del producto no es un complejo CW. Por otro lado, el producto de X e Y en la categoría de espacios generados de forma compacta concuerda con la topología débil y por lo tanto define un complejo CW.
• Sean X e Y complejos CW. Entonces, los espacios de función Hom ( X , Y ) (con la topología compacta-abierta ) no son complejos CW en general. Si X es finito, Hom ( X , Y ) es homotopía equivalente a un complejo CW según un teorema de John Milnor (1959). Tenga en cuenta que X e Y son espacios de Hausdorff generados de forma compacta , por lo que Hom ( X , Y ) a menudo se toma con la variante generada de forma compacta de la topología compacta-abierta; las declaraciones anteriores siguen siendo verdaderas.
• Un espacio de cobertura de un complejo CW también es un complejo CW.
• Los complejos CW son paracompactos . Los complejos finitos de CW son compactos . Un subespacio compacto de un complejo CW siempre está contenido en un subcomplejo finito.

Ver también

• Complejo celular abstracto
• La noción de complejo CW tiene una adaptación a las variedades suaves llamada descomposición del mango , que está estrechamente relacionada con la teoría de la cirugía .

Referencias

Notas

Referencias generales