Espacio adjunto - Adjunction space
En matemáticas , un espacio adjunción (o espacio de fijación ) es una construcción común en topología donde uno espacio topológico está unido o "pegado" a otro. Específicamente, permiten X y Y espacios topológicos, y dejar que A sea un subespacio de Y . Sea f : A → X un mapa continuo (llamado mapa adjunto ). Se forma el espacio adjunción X ∪ f Y (a veces también escrito como X + f Y ) mediante la adopción de la unión de la desunión de X y Y y la identificación de una con f ( a ) para todos una en una . Formalmente,
donde la relación de equivalencia ~ es generada por a ~ f ( a ) para todo a en A , y al cociente se le da la topología del cociente . Como conjunto, X ∪ f Y consiste en la unión disjunta de X y ( Y - A ). Sin embargo, la topología se especifica mediante la construcción del cociente.
Intuitivamente, uno puede pensar que Y está pegado a X a través del mapa f .
Ejemplos
- Un ejemplo común de un espacio adjunto se da cuando Y es una n - bola (o celda ) cerrada y A es el límite de la bola, la ( n −1) - esfera . La unión inductiva de células a lo largo de sus límites esféricos a este espacio da como resultado un ejemplo de un complejo CW .
- Los espacios adjuntos también se utilizan para definir sumas conectadas de colectores . Aquí, primero se quitan las bolas abiertas de X e Y antes de adjuntar los límites de las bolas retiradas a lo largo de un mapa adjunto.
- Si A es un espacio con un punto entonces la adjunción es la suma de cuña de X y Y .
- Si X es un espacio con un punto entonces la adjunción es el cociente Y / A .
Propiedades
Los mapas continuos h : X ∪ f Y → Z están en correspondencia 1-1 con los pares de mapas continuos h X : X → Z y h Y : Y → Z que satisfacen h X ( f ( a )) = h Y ( una ) para todos una en una .
En el caso de que A sea un subespacio cerrado de Y, se puede mostrar que el mapa X → X ∪ f Y es una incrustación cerrada y ( Y - A ) → X ∪ f Y es una incrustación abierta.
Descripción categórica
La construcción adjunta es un ejemplo de un empuje en la categoría de espacios topológicos . Es decir, el espacio de adjunciones es universal con respecto al siguiente diagrama conmutativo :
Aquí i es el mapa inclusión y φ X , φ Y son los mapas obtiene componiendo el mapa cociente con las inyecciones canónicas en la unión de la desunión de X y Y . Se puede formar una expulsión más general reemplazando i con un mapa continuo arbitrario g ; la construcción es similar. Por el contrario, si f también es una inclusión, la construcción adjunta es simplemente pegar X e Y a lo largo de su subespacio común.
Ver también
Referencias
- Stephen Willard, topología general , (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts. (Proporciona una breve introducción).
- "Espacio adjunto" . PlanetMath .
- Ronald Brown , "Topology and Groupoids" pdf disponible , (2006) disponible en los sitios de Amazon. Discute el tipo de homotopía de espacios adjuntos y utiliza espacios adjuntos como una introducción a los complejos celulares (finitos).
- JHC Whitehead "Nota sobre un teorema debido a Borsuk" Bull AMS 54 (1948), 1125-1132 es la referencia exterior más antigua que conozco de utilizar el término "espacio de ajuste".
