Sistema ortogonal

En álgebra lineal y análisis funcional , subáreas de las matemáticas , un sistema ortogonal es un conjunto de vectores de un espacio vectorial con un producto escalar ( espacio prehilbert ) que son perpendiculares entre sí en pares. Si los vectores también están normalizados (es decir, tienen norma 1), se habla de un sistema ortonormal .

definición

Un subconjunto de un espacio de Prähilbert se llama sistema ortogonal si: ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle V}$

Dos vectores diferentes son ortogonales entre sí : ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ forall v, w \ in M: v \ neq w \ Rightarrow \ langle v, w \ rangle = 0}$
El conjunto no contiene el vector cero .

Aquí el producto escalar del espacio denota , en el espacio euclidiano, el producto escalar estándar . ${\ Displaystyle \ langle v, w \ rangle}$ ${\ Displaystyle V}$

También aplica

Cada vector de está normalizado, es decir H. ,

{\ Displaystyle M}

{\ Displaystyle \ forall v \ en M: \ langle v, v \ rangle = 1}

esto es lo que se llama un sistema ortonormal. ${\ Displaystyle M}$

Los sistemas ortogonales son linealmente independientes .
En los espacios de Hilbert separables (especialmente en todos los espacios de Hilbert de dimensión finita), el método de ortogonalización de Gram-Schmidt se puede utilizar para construir un sistema ortogonal (o sistema ortonormal) a partir de cada sistema linealmente independiente o una base ortogonal (u ortonormal) a partir de cada base (Schauder) .
Para un sistema ortonormal , se aplica la desigualdad de Bessel ${\ Displaystyle M}$
${\ Displaystyle \ sum _ {e \ in M} | \ langle x, \, e \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} \ quad \ forall ~ x \ in V.}$
Para cada vector , el conjunto para el que se aplica es como máximo contable. ${\ Displaystyle x \ in V}$ ${\ Displaystyle e \ in M}$ ${\ Displaystyle \ langle x, e \ rangle \ neq 0}$

Al usar el producto escalar estándar, la base estándar es un sistema ortogonal ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
En las funciones forman un sistema ortogonal (ver también polinomio trigonométrico ) ${\ Displaystyle L ^ {2} ([0.2 \ pi])}$ ${\ Displaystyle \ cos (kx)}$
En el producto escalar de las secuencias forma un sistema ortogonal ${\ Displaystyle \ ell ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto \ sum a_ {n} b_ {n}}$ ${\ Displaystyle (0, \ cdots, 0,1,0, \ cdots)}$
En el espacio de Prähilbert de polinomios con grados menores o iguales a 5 , provistos del producto -escalar , forman las funciones ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} ^ {5} ([0,1])}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$ ${\ Displaystyle (a, b) \ mapsto \ int _ {0} ^ {1} ab}$

{\ Displaystyle x \ mapsto 1}

y

{\ Displaystyle x \ mapsto x - {\ frac {1} {2}}}

un sistema ortogonal.

Dirk Werner : Análisis funcional . 6ª edición corregida. Springer, Berlín 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 . Capítulo V.3 (Para el caso de dimensión infinita, también hay evidencia para los ejemplos)
Gerd Fischer: Álgebra lineal: una introducción para nuevos estudiantes . 13ª edición. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3 . (Para el caso de dimensión finita, debajo de "sistema generador")