Polinomio de Hurwitz

Un polinomio de Hurwitz (después de Adolf Hurwitz ) es un polinomio real cuyos ceros tienen todos una parte real realmente negativa .

Definición y condición necesaria

Un polinomio real (todos ) ${\ Displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle N (s) = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} s ^ {i} = a_ {n} s ^ {n} + a_ {n-1} s ^ {n -1} + ... + a_ {0}}$

se llama polinomio de Hurwitz si:

${\ Displaystyle N (r_ {i}) = 0 \, \ Rightarrow \, \ mathrm {Re} \, r_ {i} <0, \ quad i = 1, \ ldots, n.}$

En el caso de un polinomio de 1º o 2º grado ( ) se puede demostrar que los coeficientes del polinomio de Hurwitz normalizado ( ) deben ser positivos. Por el contrario, un polinomio normalizado con coeficientes reales, en el que un coeficiente es menor o igual a cero, debe tener un cero que no tenga una parte real real negativa. Por tanto, la condición de que los coeficientes sean positivos es necesaria y también suficiente. ${\ Displaystyle n \ leq 2}$${\ Displaystyle a_ {n} = 1}$

Para (un polinomio de tercer grado o superior) se requiere una nueva condición suficiente y necesaria: el determinante de Hurwitz . ${\ Displaystyle n \ geq 3}$

Criterio de Hurwitz

A continuación, asumimos que el coeficiente guía es positivo. Si este no es el caso en el polinomio original, se puede lograr multiplicando el polinomio por . Los ceros del polinomio no cambian. Primero, el determinante de la matriz de Hurwitz , el llamado determinante de Hurwitz, se forma a partir de los coeficientes del polinomio . Aquí, la matriz de Hurwitz es una matriz correspondiente a los coeficientes . (vea abajo) ${\ Displaystyle a_ {n}}$${\ Displaystyle -1}$${\ Displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$${\ Displaystyle n \ times n}$

${\ displaystyle H = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {0} & 0 & 0 & \ ldots & \ ldots \\ a_ {3} & a_ {2} & a_ {1} & a_ {0 } & \ ldots & \ ldots \ \ a_ {5} & a_ {4} & a_ {3} & a_ {2} & \ ldots & \ ldots \\ a_ {7} & a_ {6} & a_ {5} & a_ {4} & \ ldots & \ ldots \\\ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & a_ {z-2} \\ 0 & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 & a_ { z} \\\ end {vmatrix}}}$

Entonces, los coeficientes inexistentes se expresan con un cero. El polinomio es un polinomio de Hurwitz si y solo si todos los "subdeterminantes del noroeste" (también llamados menores principales ) son positivos. La matriz es entonces definida positiva .

En el ejemplo, los subdeterminantes noroeste para el caso son : ${\ Displaystyle n = 3}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} H_ {1} & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} \ end {vmatrix}} && = a_ {1}> 0 \\ [2 mm] H_ {2} & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {0} \\ a_ {3} & a_ {2} \\\ end {vmatrix}} && = a_ {1} a_ {2} -a_ {3} a_ {0}> 0 \\ [2 mm] H_ {3} & = {\ begin {vmatrix} a_ {1} & a_ {0} & 0 \\ a_ {3} & a_ {2} & a_ {1} \ \ 0 & 0 & a_ {3} \ \\ end {vmatrix}} && = a_ {3} H_ {2}> 0 \ end {alineado}}}$

(Desarrollo después de la tercera columna)

Con nuestras consideraciones preliminares sobre la condición necesaria, surge el requisito adicional . Esto no se cumple por. ${\ Displaystyle n = 3}$${\ Displaystyle a_ {1} a_ {2}> a_ {3} a_ {0}}$${\ Displaystyle a_ {0} = a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = 1}$

Este procedimiento ("mover" y "completar") se repite hasta que se crea una matriz cuadrada . ${\ Displaystyle n \ times n}$

En la literatura se pueden encontrar otras definiciones de la matriz de Hurwitz. Los coeficientes a menudo se nombran de manera diferente. El propio Hurwitz incluyó el polinomio en su publicación . En este caso, el determinante de Hurwitz se forma de la siguiente manera: ${\ Displaystyle a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} + ... + a_ {n}}$

${\ displaystyle H = {\ begin {vmatrix} a_ {n-1} & a_ {n-0} & 0 & 0 & \ ldots & \ ldots \\ a_ {n-3} & a_ {n-2} & a_ {n-1} & a_ {n} & \ ldots & \ ldots \\ a_ {n-5} & a_ {n-4} & a_ {n-3} & a_ {n-2} & \ ldots & \ ldots \\ a_ {n-7} & a_ {n-6} & a_ {n-5} & a_ {n-4} & \ ldots & \ ldots \\\ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & a_ {2} \\ 0 & 0 & \ ldots & \ ldots & 0 & a_ {0} \\\ end {vmatrix}}}$

usar

Los polinomios de Hurwitz se utilizan en la teoría de sistemas para examinar un sistema continuo en el tiempo para determinar la estabilidad asintótica : si el denominador de la función del sistema es un polinomio de Hurwitz, el sistema es asintóticamente estable.

• Véase también : Teorema de la raíz de Vieta

literatura

• Adolf Hurwitz: Condiciones bajo las cuales una ecuación solo tiene raíces con partes reales negativas . En: Mathematische Annalen No. 46 , Leipzig 1895, págs. 273–285
• Jan Lunze: Ingeniería de control 1. Fundamentos de la teoría de sistemas, análisis y diseño de controles de lazo único . 10a edición, Heidelberg 2014, págs. 418-420
• Eberhard Zeidler (Ed.): Springer-Taschenbuch der Mathematik . 3a edición, Wiesbaden 2013, p. 473

enlaces web

• Sitio web de ETH "Hurwitz Memorial Lecture Series"
• "Tecnología de control y sistemas 1: Criterio de Hurwitz", Prof. Dr.-Ing. Johann Reger, TU Ilmenau