Standard base

I det matematiske underområde af lineær algebra er et standardgrundlag , en naturlig basis , enhedsbasis eller en kanonisk basis et specielt grundlag , der allerede skelnes mellem alle mulige baser i visse vektorrum på grund af dets konstruktion.

Generelt grundlag

Generelt er et grundlag for et vektorrum en familie af vektorer med den egenskab, at hver vektor i rummet klart kan repræsenteres som en endelig lineær kombination af disse. Koefficienterne for denne lineære kombination kaldes vektorens koordinater i forhold til denne base. Et element i grundlaget kaldes en basisvektor.

Hvert vektorrum har et grundlag og generelt talrige baser, hvoraf ingen skelnes.

Eksempler

• De parallelle forskydninger af observationsplanet danner et vektorrum ( se det euklidiske rum ) af dimension to. Ingen base er dog fremragende. Et muligt grundlag vil bestå af et ”skift med en enhed til højre” og “skift med en enhed op”. Her er "enhed", "højre" og "ovenfor" konventioner eller afhængigt af perspektivet.
• Disse virkelige værdifunktioner , som to gange kan differentieres, og som tilfredsstiller ligningen for dem alle, danner et reelt vektorrum i dimension to. Et muligt grundlag dannes af sinus- og cosinusfunktionerne . At vælge denne base kan virke som et oplagt valg, men det skiller sig ikke særlig godt ud over andre valg.${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) + f '' (x) = 0}$${\ displaystyle V}$

Standardbasis i standardværelserne

Standardbasisvektorer i det euklidiske plan

De vektorrum, der normalt introduceres først, er standardrummene med . Elementer af er alle - fordoblinger af reelle tal. Fra alle baser af den ene kan man identificere den med hensyn til hvilken koordinaterne for en vektor nøjagtigt stemmer overens med dens tuple-komponenter. Så dette grundlag består af hvor ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {n}}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} e_ {1} & = & (1,0,0, \ ldots, 0), \\ e_ {2} & = & (0,1,0, \ ldots, 0) , \\ & \ vdots & \\ e_ {n} & = & (0,0,0, \ ldots, 1) \ end {matrix}}}$

og omtales som standardbase for . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Det samme gælder for vektorrummet over et vilkårligt legeme , det betyder, at der også her er standardbasisvektorerne . ${\ displaystyle K ^ {n}}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle e_ {1} = (1.0, \ ldots, 0), \ ldots, e_ {n} = (0, \ ldots, 0.1)}$

eksempel

Standardgrundlaget for består af og . De to vektorrum anført ovenfor som eksempler er isomorf til , men har ikke en standard basis. Som et resultat skelnes der ikke blandt isomorfierne mellem disse rum og ingen. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle e_ {1} = (1,0)}$${\ displaystyle e_ {2} = (0.1)}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

betegnelse

Betegnelsen for standardbasisvektorer er meget brugt. Imidlertid betegnes de tre standardbasisvektorer i det tredimensionelle vektorrum undertiden i de anvendte naturvidenskaber som : ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, \ ldots}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbf {i}, \, \ mathbf {j}, \, \ mathbf {k}}$

${\ displaystyle \ mathbf {i} = e_ {1} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {j} = e_ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ mathbf {k} = e_ {3} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

Andre egenskaber

Det har andre egenskaber ud over vektorrumsegenskaben. Også med hensyn til dette opfylder standardbasisvektorerne ofte særlige betingelser. Så standardbasis er et ortonormalt grundlag med hensyn til det skalære standardprodukt . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Standard base i matricen

Sættet af matricer over en krop danner også et vektorrum med matrixtilsætningen og den skalære multiplikation . Standardgrundlaget i dette matrixrum dannes af standardmatricerne , hvor nøjagtigt en post er lig med en, og alle andre poster er lig med nul. For eksempel danner de fire matricer ${\ displaystyle K ^ {m \ times n}}$ ${\ displaystyle E_ {ij}}$

${\ displaystyle E_ {11} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, E_ {12} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, E_ {21 } = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, E_ {22} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$

standardbasen for matricerne. ${\ displaystyle (2 \ gange 2)}$

Standardbasis i uendeligt dimensionelle rum

Hvis et legeme og et vilkårligt (især muligvis uendeligt) sæt udgør de endelige formelle lineære kombinationer af elementer et vektorrum. Derefter er dette vektorrum i sig selv grundlaget og kaldes dets standardgrundlag. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M}$

I stedet for formelle lineære kombinationer betragter man også alternativt vektorrummet for disse kortlægninger med den egenskab, der gælder for næsten alle . At være igennem ${\ displaystyle f \ colon M \ to K}$${\ displaystyle f (x) = 0}$ ${\ displaystyle x \ i M}$${\ displaystyle m \ i M}$${\ displaystyle e_ {m} \ kolon M \ til K}$

${\ displaystyle e_ {m} (x) = {\ begin {cases} 1, & {\ text {falls}} x = m \\ 0, & {\ text {falls}} x \ neq m \ end {cases }}}$

givet figur . Derefter danner familien et grundlag for vektorrummet, som i dette tilfælde også kaldes standardgrundlaget. ${\ displaystyle M \ til K}$${\ displaystyle \ {e_ {m} \} _ {m \ i M}}$

Vektorrummet for alle kortlægninger har derimod intet standardgrundlag, hvis det er uendeligt. ${\ displaystyle f \ colon M \ to K}$${\ displaystyle M}$

Også polynomium ringe over felter er vektorrum hvor en base er blevet tildelt direkte på grundlag af konstruktionen. Elementerne i den polynomiske ring er således pr. Definition de endelige lineære kombinationer af monomierne osv., Som følgelig danner en basis - standardbasis - for . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$${\ displaystyle 1,}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X ^ {2},}$ ${\ displaystyle X ^ {3}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$

Forbindelse med universelle egenskaber

Udtrykket kanonisk bruges generelt i konstruktioner om en universel ejendom . Så der er også en forbindelse mellem standard baser og følgende konstruktion:

Vær en krop og enhver mængde. Vi leder efter et vektorrum sammen med en kortlægning i det underliggende sæt, så der er nøjagtigt en lineær kortlægning for hvert vektorrum og hver kortlægning med . Sådant par derpå kaldes en kanonisk kortlægning eller universel løsning af med hensyn til at glemme funktion , der tildeler den underliggende sæt til hver vektorrum. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f \ colon M \ til U}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g \ colon M \ til X}$ ${\ displaystyle h \ colon U \ til X}$${\ displaystyle g = h \ circ f}$${\ displaystyle (U, f)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K}$

Vektorrummet med ovenstående standardgrundlag har netop denne universelle egenskab. Billedet under den kanoniske kortlægning er netop vektorerne i den kanoniske base eller den kanoniske kortlægning, da en familie er den kanoniske base. ${\ displaystyle M}$

Det faktum, at der altid er sådan en universel løsning eksisterer, allerede følger, at et billede, at masser af sådan en universel løsning , og hver af sådanne kort, en functor , den linksadjungiert til glemsomme er. En sådan funktor kaldes en gratis funktor . ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle h}$

litteratur

• Kowalsky og Michler: Lineare Algebra , Gruyter, ISBN 978-3110179637
• Albrecht Beutelspacher: "Det er trivielt oBdA!" 9. opdaterede udgave, Vieweg + Teubner, Braunschweig og Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0771-7 , sv "Canonical"