Dø plads

I matematik, den matrix plads eller rum af matricer er den vektorrum af de matrixer af fast størrelse over et givet legeme med matrix tilsætning og skalarmultiplikation som indre og ydre tilslutninger . Den standard grundlag for matrixen rum består af faste matricer , hvori nøjagtigt én adgangen er én og alle andre indlæsninger er nul . Den dimension af matricen rum er lig med produktet af antallet af rækker og søjler i matricen.

Matrixrummene har en grundlæggende betydning i lineær algebra , da rummet for de lineære kortlægninger mellem to endelige-dimensionelle vektorrum er isomorf (strukturelt lig) til et matrixrum. Efter dette, efter valg af et grundlag for arketypen og målområdet, kan hver lineær kortlægning repræsenteres af en matrix, og omvendt svarer hver matrix til en lineær kortlægning.

definition

Er en krop såvel som og naturlige tal , så er det også ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle K ^ {m \ times n} = \ {(a_ {ij}) _ {i = 1, \ ldots, m, j = 1, \ ldots, n} \ mid a_ {ij} \ in K \ }}$

sæt matricer af størrelse med poster . En komponentmæssig tilføjelse er nu defineret for matricer${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A, B \ in K ^ {m \ times n}}$

${\ displaystyle A + B = (a_ {ij} + b_ {ij})}$,

samt en komponentmæssig multiplikation med en skalar ved ${\ displaystyle c \ i K}$

${\ displaystyle c \ cdot A = (c \ cdot a_ {ij})}$.

På denne måde opnås et vektorrum , der kaldes matrixrummet eller rummet for matricer af størrelse over kroppen .${\ displaystyle (K ^ {m \ times n}, +, \ cdot)}$${\ displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle K}$

eksempel

Hvis man overvejer størrelsen på matricerne, svarer matrixtilsætningen nøjagtigt ${\ displaystyle K ^ {2 \ gange 2}}$${\ displaystyle 2 \ gange 2}$

${\ displaystyle A + B = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ { 12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} \\ a_ {21} + b_ {21} og a_ {22} + b_ {22} \ end {pmatrix}}}$

og den skalære multiplikation i overensstemmelse hermed

${\ displaystyle c \ cdot A = c \ cdot {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c \ cdot a_ {11} & c \ cdot a_ {12} \\ c \ cdot a_ {21} & c \ cdot a_ {22} \ end {pmatrix}}}$.

Som et resultat af tilføjelsen eller skalar multiplikation opnår man igen en matrix. ${\ displaystyle (2 \ gange 2)}$

egenskaber

Neutral og omvendt element

Det neutrale element i matrixrummet er nulmatrixen

${\ displaystyle 0 = (~ 0_ {K} ~)}$,

hvis elementer alle er lig nulelementet i kroppen . Det additive inverse element i en matrix er derefter matrixen ${\ displaystyle 0_ {K}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$

${\ displaystyle -A = (- a_ {ij})}$,

hvor for og henholdsvis additivet inverse element til i er. ${\ displaystyle -a_ {ij}}$${\ displaystyle i = 1, \ ldots, m}$${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle a_ {ij}}$${\ displaystyle K}$

Love

Matrixrummet tilfredsstiller aksiomerne i et vektorrum . Ud over eksistensen af ​​et neutralt og omvendt element gælder matricer og skalarer${\ displaystyle A, B, C \ in K ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle c, d \ in K}$

• den associerende lov ,${\ displaystyle A + (B + C) = (A + B) + C}$
• den kommutativ lov ,${\ displaystyle A + B = B + A}$
• blandet associerende lov ,${\ displaystyle c \ cdot (d \ cdot A) = (c \ cdot d) \ cdot A}$
• de distributive love og så godt${\ displaystyle c \ cdot (A + B) = c \ cdot A + c \ cdot B}$${\ displaystyle (c + d) \ times A = c \ times A + d \ times A}$
• den neutralitet af én , er den ene del af kroppen .${\ displaystyle 1_ {K} \ cdot A = A}$${\ displaystyle 1_ {K}}$${\ displaystyle K}$

Disse love følger direkte fra associativitet, kommutativitet og fordelingsevne ved addition og multiplikation i kroppen ved at anvende på hvert element i en matrix. ${\ displaystyle K}$

Grundlag og dimension

Den standard grundlag for die rum består af sættet af standard stempler

${\ displaystyle \ {E_ {ij} \ mid i = 1, \ ldots, m, j = 1, \ ldots, n \}}$.

hvor posten er på position et, og alle andre poster er nul. Hver matrix kan således bruges som en lineær kombination${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle A \ in K ^ {m \ times n}}$

${\ displaystyle A = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} \ cdot E_ {ij}}$

af disse grundlæggende matricer. Den dimension af matricen rum er følgelig

${\ displaystyle \ operatorname {dim} (K ^ {m \ times n}) = m \ cdot n}$,

det er derfor produktet af antallet af rækker og antallet af kolonner i matricerne i rummet.

Isomorfisme

Matricernes vektorrum er isomorf til rummet for de lineære kortlægninger mellem to endelige dimensionelle vektorrum og over den samme krop , det vil sige ${\ displaystyle L (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle L (V, W) \ cong K ^ {m \ times n}}$,

hvor er dimensionen af og dimensionen af . Hver lineær kortlægning kan nemlig valget af en base for og for af ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle f \ in L (V, W)}$${\ displaystyle \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {n} \}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ {w_ {1}, \ ldots, w_ {m} \}}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle f (v_ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} a_ {ij} w_ {i}}$

for at være repræsenteret. Således kan hver sådan lineær kortlægning beskrives entydigt af en matrix , den såkaldte kortlægningsmatrix . Omvendt svarer hver matrix nøjagtigt til en lineær kortlægning på denne måde .${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$${\ displaystyle (a_ {ij}) \ in K ^ {m \ times n}}$${\ displaystyle L (V, W)}$

Udvidelser

Matrixrummet kan for eksempel udvides til at omfatte følgende matematiske strukturer :

• Er der et ægte eller komplekst matricerum med et skalarprodukt , for eksempel Frobenius indre produkt , opnår man et skalarprodukt . Da dette rum med hensyn til det inducerede af den skalære metric er helt, er disse endda et Hilbert-rum .

• Hvis et reelt eller komplekst matrixrum er forsynet med en matrixnorm , for eksempel en naturlig matrixnorm eller Frobenius-normen , opnås et normaliseret rum . Dette rum er derefter også komplet med hensyn til metricen induceret af normen , dvs. et Banach-rum .

• Hvis et matrixrum er forsynet med en topologi , opnås et topologisk vektorrum , dvs. matrixtilsætningen og den skalære multiplikation er kontinuerlige operationer.

• Hvis et mellemrum er firkantede matricer ud over matrixtilsætningen og skalar multiplikation med den matrixmultiplikation, der er angivet, får du en associativ algebra .

Se også

• Koordinatrum , vektorrummet for koordinatvektorer over en krop
• Dø ring, firkantringen dør over en ring
• Generel lineær gruppe , gruppen af ​​regelmæssige matricer over en ring

litteratur

• Gerd Fischer : Lineær algebra: en introduktion til førsteårsstuderende . Springer, 2008, ISBN 3-8348-9574-1 . 
• Michael Artin : Algebra . Springer, 1998, ISBN 3-7643-5938-2 . 

Individuelle beviser

1. ↑ Fischer: Lineær algebra: En introduktion til nye studerende . S. 75 . 
2. ^ Artin: Algebra . S. 125-127 .