Lineær ligning

En lineær ligning er en matematisk bestemmelse ligning , hvor kun lineære kombinationer af de ubekendte forekomme. Et kendetegn ved en lineær ligning er, at alle ukendte kun er i kraft af den første, dvs. det forekommer ikke for eksempel i kvadrat (se kvadratisk ligning ). Typisk er de ukendte ved en lineær ligning skalarer , for det meste reelle tal . I det enkleste tilfælde af en ukendt skalar har en lineær ligning form ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle a \ cdot x = b}$,

hvor og er konstanter . Men der er også lineære ligninger med flere ukendte og med andre matematiske objekter som ukendte, for eksempel sekvenser ( lineære forskelsligninger ), vektorer ( lineære ligningssystemer ) eller funktioner ( lineære differentialligninger ). I det generelle tilfælde har en lineær ligning formen ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle T (x) = b}$,

hvor er et lineært kort . ${\ displaystyle T}$

Homogene lineære ligninger er specielle lineære ligninger, hvor ligningens konstante sigt er nul . Løsningerne i en homogen lineær ligning danner et underrum af det ukendte vektors rum og har således specielle egenskaber såsom gyldigheden af superposition-princippet . Opløsningerne af en inhomogen lineær ligning danner derimod et affint underrum , så enhver opløsning af en inhomogen lineær ligning kan repræsenteres som summen af ​​opløsningen af ​​den tilknyttede homogene ligning og en partikelformet opløsning. Den opløsning plads af en lineær ligning kan karakteriseres via kernen og koks kerne af den lineære afbildning . ${\ displaystyle b}$

Lineære ligninger og deres løsninger undersøges især i lineær algebra og lineær funktionel analyse , men de spiller også en rolle i talteorien .

Skalære lineære ligninger

Ofte er de ukendte i lineære ligninger skalarer (for det meste reelle eller komplekse tal ). Sådanne lineære ligninger er derefter specielle algebraiske ligninger af grad 1.

Lineære ligninger med en ukendt

En skalar ligning med et ukendt kaldes lineær hvis det omdannes til formen af ækvivalens transformationer (se Løsning af ligninger ) ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle a \ cdot x = b}$

kan bringes. Hvor og er konstanter , der ikke afhænger af. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle x}$

Er , kan værdien af ​​det ukendte, som ligningen er tilfreds med, bestemmes ved at dividere på begge sider ved : ${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle x = {\ frac {b} {a}}}$

Hvis og er, har ligningen ingen løsning. Hvis og er, er der uendeligt mange løsninger, for så tilfredsstiller hver enkelt ligningen. ${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b \ neq 0}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle x}$

Eksempler

Løsningen på den lineære ligning

${\ displaystyle 3 \ cdot x = 24}$

opnået af begge sider med 3 divideret, så kun det ukendte på venstre side er tilbage: ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle x = {\ frac {24} {3}} = 8}$.

Den lineære ligning

${\ displaystyle 0 \ cdot x = 7}$

har ingen løsning, mens den lineære ligning

${\ displaystyle 0 \ cdot x = 0}$

for hver er opfyldt. ${\ displaystyle x}$

Lineære ligninger med to ukendte

Løsningssættet for den lineære ligning ${\ displaystyle 3x + 4y = 12}$

En skalarligning med to ukendte og kaldes lineær, hvis den konverteres til formen ved ækvivalensomregninger ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle a \ gange x + b \ gange y = c}$

kan bringes, hvor , og er konstanter. Løsningerne danner lige linjer i et todimensionelt rum , medmindre begge gælder og gælder. Man taler derefter om koordinatformen for en ligelinie . Ellers er løsningssættet enten det hele to-dimensionelle rum eller tomt . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 0}$${\ displaystyle (c = 0)}$${\ displaystyle (c \ neq 0)}$

Løsningen på en sådan ligning gives ofte i parametrisk repræsentation . For at gøre dette løser man ligningen for en af ​​de ukendte, for eksempel hvad, hvis , ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle b \ neq 0}$

${\ displaystyle y = (ca \ cdot x) / b}$

og behandler den anden ukendte som en gratis parameter . Dette kan bruges som en ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle x = t}$  og     med  ${\ displaystyle y = (ca \ cdot t) / b}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

skrive. På denne måde bliver det klart, at selv om ligningen indeholder to ukendte, er løsningsrummet kun endimensionelt, dvs. kun afhænger af en parameter . Den parametriske repræsentation i sig selv er ikke klar. Er , kan ligningen efter opløsning og vælge som gratis parametre. Andre parametreringer er også mulige, men de beskriver det samme sæt løsninger. ${\ displaystyle t}$${\ displaystyle a \ neq 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

eksempel

Løsningssættet til den lineære ligning

${\ displaystyle 3 \ gange x + 4 \ gange y = 12}$

er ved at løse for som ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle x = t}$  og     med  ${\ displaystyle y = (12-3 \ cdot t) / 4}$${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

givet. Den funktion graf af den rette linje beskrevne opnås derefter fra den lige linje ligning

${\ displaystyle f (x) = (12-3 \ cdot x) / 4 = - (3/4) \ cdot x + 3}$.

Lineære ligninger med flere ukendte

Løsningen af ​​en reel lineær ligning med tre ukendte er generelt et plan.

Generelt kaldes en skalarligning med ukendte lineære, hvis den konverteres til formen ved ækvivalente konverteringer ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ dotsc, x_ {n}}$

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ dotsb + a_ {n} x_ {n} = b}$

kan bringes, hvor og er konstanter. Kun lineære kombinationer af de ukendte tillades at forekomme. Løsningerne af sådanne ligninger er generelt -dimensionelle undergrupper ( hyperplaner ) af det tilknyttede -dimensionelle rum. Hvis løsningssættet enten er hele -dimensionelt eller tomt . ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ dotsc, a_ {n}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle (n-1)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {1} = a_ {2} = \ dotsb = a_ {n} = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle (b = 0)}$${\ displaystyle (b \ neq 0)}$

Den parametriske repræsentation af løsningssættet opnås igen i det generelle tilfælde ved at løse ligningen for en af ​​de ukendte, for eksempel hvis , ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$

${\ displaystyle x_ {n} = (b-a_ {1} x_ {1} - \; \ cdots \; - a_ {n-1} x_ {n-1}) / a_ {n}}$,

og de andre ukendte som gratis parametre til at blive gravid. Løsningssættet gives således som ${\ displaystyle t_ {1}}$${\ displaystyle t_ {n-1}}$

${\ displaystyle x_ {1} = t_ {1}, \ dotsc, x_ {n-1} = t_ {n-1}, x_ {n} = (b-a_ {1} t_ {1} - \ dotsb - a_ {n-1} t_ {n-1}) / a_ {n}}$  med   .${\ displaystyle t_ {1}, \ dotsc, t_ {n-1} \ in \ mathbb {R}}$

Da parametre frit kan vælges, er løsningsområdet -dimensionalt. Også her er parameterrepræsentationen ikke entydig; ligningen kan også løses for en af ​​de andre ukendte, forudsat at den tilknyttede koefficient ikke er lig med nul, eller en anden parameterisering kan vælges. ${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle (n-1)}$

eksempel

Løsningssættet for den lineære ligning med tre ukendte

${\ displaystyle 3 \ cdot x_ {1} +2 \ cdot x_ {2} + x_ {3} = 7}$

er et plan i et tredimensionelt rum med repræsentation

${\ displaystyle x_ {1} = t_ {1}, \; x_ {2} = t_ {2}, \; x_ {3} = 7-3 \ cdot t_ {1} -2 \ cdot t_ {2}}$  med   .${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in \ mathbb {R}}$

Generelle lineære ligninger

Lineære kort

Generelt defineres lineære ligninger ved hjælp af lineære kort . En formligning

${\ displaystyle T (x) = b}$

kaldes lineær, hvis er en lineær kortlægning, og hvis er uafhængig af . Kortlægningen kort fra et vektorrum til et vektorrum , hvor og er. Begge vektorrum er defineret over en fælles krop . En kortlægning er lineær, når det gælder konstanter${\ displaystyle T}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle T \ colon V \ to W}$ ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle x \ i V}$${\ displaystyle b \ in W}$ ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ lambda, \ mu \ in K}$

${\ displaystyle T \ left (\ lambda x + \ mu y \ right) = \ lambda T \ left (x \ right) + \ mu T \ left (y \ right)}$

gælder.

eksempel

Er og er så en reel vektor og et reelt tal. Man vælger nu den lineære kortlægning ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle W = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \ i \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T (x) = a \ cdot x}$

med en konstant vektor , hvor er det skalære standardprodukt af de to vektorer, så opnår man den lineære vektorligning ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) \ i \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle (\ cdot)}$

${\ displaystyle a \ cdot x = b}$,

hvilket svarer til ovenstående skalære lineære ligning med ukendte. Den linearitet af en direkte følge af linearitet skalarmultiplikation${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T (\ lambda x + \ mu y) = a \ cdot (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda (a \ cdot x) + \ mu (a \ cdot y) = \ lambda T (x ) + \ mu T (y)}$.

homogenitet

En homogen og en inhomogen skalær lineær ligning med to ukendte og${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

En lineær ligning kaldes homogen, hvis det er, dvs. hvis den har formen ${\ displaystyle b = 0}$

${\ displaystyle T (x) = 0}$

ellers kaldes en lineær ligning inhomogen. Homogene lineære ligninger har mindst nulvektoren

${\ displaystyle x = 0}$

som en løsning, der

${\ displaystyle T (0) = T (0 \ cdot 0) = 0 \ cdot T (0) = 0}$

gælder. Omvendt opfyldes inhomogene lineære ligninger aldrig af den trivielle løsning.

eksempel

Løsningen af ​​den homogene lineære ligning med to ukendte og${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

${\ displaystyle 3x_ {1} + 4x_ {2} = 0}$

er en lige linje i to-dimensionelt rum, der går gennem nulpunktet . Løsningen på den inhomogene ligning

${\ displaystyle 3x_ {1} + 4x_ {2} = 12}$

er en lige linje parallel med den , men som ikke indeholder nulpunktet.

Superposition

Superposition-princip i den lineære ligning : opløsning af den homogene ligning (blå), partikelopløsning (grøn) og opløsning af den inhomogene ligning (rød)${\ displaystyle x_ {1} -2x_ {2} = 10}$

Homogene lineære ligninger har superpositionens egenskab : Lad og to løsninger af en homogen lineær ligning, så er der også en løsning af denne ligning. Generelt er det endda rigtigt, at alle lineære kombinationer af opløsninger af en homogen lineær ligning med konstanter og løser denne ligning siden ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} + {\ bar {x}}}$${\ displaystyle c {\ hat {x}} + d {\ bar {x}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle d}$

${\ displaystyle T (c {\ hat {x}} + d {\ bar {x}}) = T (c {\ hat {x}}) + T (d {\ bar {x}}) = cT ( {\ hat {x}}) + dT ({\ bar {x}}) = 0 + 0 = 0}$

gælder. Ved at inkludere og superposition egenskaben danner løsningerne af en homogen lineær ligning et underrum af . ${\ displaystyle x = 0}$${\ displaystyle V}$

Endvidere kan løsningen af ​​en inhomogen ligning repræsenteres som summen af ​​løsningen af ​​den tilknyttede homogene ligning og en bestemt løsning: Lad en konkret opløsning af en inhomogen lineær ligning og være den generelle løsning af det tilknyttede homogene problem, så den generelle løsning af den inhomogene ligning er der ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y + {\ bar {x}}}$

${\ displaystyle T (y + {\ bar {x}}) = T (y) + T ({\ bar {x}}) = 0 + b = b}$

gælder. Løsningerne i en inhomogen lineær ligning danner således et affint underrum over vektorrummet i den tilknyttede homogene ligning.

Omvendt gælder følgende i overensstemmelse hermed: Hvis og er to løsninger af en inhomogen lineær ligning, så løser den tilknyttede homogene ligning, da ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ hat {x}} - {\ bar {x}}}$

${\ displaystyle T ({\ hat {x}} - {\ bar {x}}) = T ({\ hat {x}}) - T ({\ bar {x}}) = bb = 0}$

gælder.

eksempel

En konkret løsning på den inhomogene ligning

${\ displaystyle x_ {1} -2x_ {2} = 10}$

er

${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {1} = 4, {\ bar {x}} _ {2} = - 3}$.

Er nu løsningerne på den tilsvarende homogene ligning ${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2})}$

${\ displaystyle y_ {1} -2y_ {2} = 0}$,

så alt sammen , så løses den inhomogene ligning generelt med ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y_ {1} = 2 å_ {2}}$

${\ displaystyle x = y + {\ bar {x}} = (y_ {1} + {\ bar {x}} _ {1}, y_ {2} + {\ bar {x}} _ {2}) = (2y_ {2} + 4, y_ {2} -3) = (2t + 4, t-3)}$  med   .${\ displaystyle t \ in \ mathbb {R}}$

Dimension af løsningsrummet

Den opløsning plads af en homogen lineær ligning kaldes kerne den lineære kortlægning, dens dimension kaldes også en defekt . På grund af rangsætningen gælder en endelig-dimensionel homogen lineær ligning for løsningsrummets dimension ${\ displaystyle \ mathrm {ker} (T)}$

${\ displaystyle \ mathrm {dim} (\ mathrm {ker} (T)) = \ dim (V) - \ mathrm {rank} (T)}$.

Her er den rang af billedet, dvs. dimensionen af sit billede . Billedet af et billede er det sæt værdier, der kan antages for . ${\ displaystyle \ mathrm {rank} (T)}$${\ displaystyle T (x)}$${\ displaystyle x \ i V}$

På grund af superpositionsegenskaben er dimensionen af ​​opløsningsrummet for en inhomogen lineær ligning den samme som for den tilknyttede homogene ligning, forudsat at der findes en bestemt løsning. Dette er nøjagtigt tilfældet, når højre side er på billedet af figuren, så følgende gælder. Den koks kerne af den lineære afbildning beskriver netop rummet af betingelser, at højre side af en lineær ligning skal opfylde for ligningen at kunne løses. Dens dimension er ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle b \ i T (V)}$${\ displaystyle \ mathrm {coker} (T) = W / T (V)}$

${\ displaystyle \ mathrm {dim} (\ mathrm {coker} (T)) = \ mathrm {dim} (W) - \ mathrm {rank} (T)}$.

Eksempler

Man vælger som vektorrum og såvel som lineær kortlægning ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle W = \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle T (x) = a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + a_ {3} x_ {3}}$,

hvor mindst en af ​​koefficienterne ikke er lig med nul, så er billedet af hele rummet og dermed ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle \ mathrm {dim} (\ mathrm {ker} (T)) = \ dim (\ mathbb {R} ^ {3}) - \ dim (\ mathbb {R}) = 3-1 = 2}$.

Løsningsrummet for den homogene lineære ligning har dimension 2 og er et plan i et tredimensionelt rum. Opløsningsrummet for den inhomogene ligning er også her et niveau, da ligningen, hvis den f.eks . Har den partikelformede opløsning . Kokskernen her har dimension 0, så ligningen kan løses for alt. ${\ displaystyle T (x) = 0}$${\ displaystyle T (x) = b}$${\ displaystyle a_ {1} \ neq 0}$${\ displaystyle (b / a_ {1}, 0,0)}$${\ displaystyle b}$

Hvis du vælger i stedet

${\ displaystyle T (x) = 0x_ {1} + 0x_ {2} + 0x_ {3}}$,

derefter kortlægges alle vektorer fra til nul, og det gælder ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ mathrm {dim} (\ mathrm {ker} (T)) = \ dim (\ mathbb {R} ^ {3}) - \ dim (\ {0 \}) = 3-0 = 3}$.

Løsningsrummet for den tilsvarende homogene lineære ligning er derfor hele det tredimensionelle rum. Opløsningsrummet for den inhomogene ligning er tomt i dette tilfælde, da ligningen kun har en løsning. Kokskernen har dimension 1. ${\ displaystyle b = 0}$

Vigtige typer af lineære ligninger

Lineære diofantiske ligninger

Hvis man vælger vektorrum og over hele tal og ${\ displaystyle V = \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle W = \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle T (x) = a \ cdot x}$

med en konstant koefficientvektor opnår man de lineære diofantiske ligninger${\ displaystyle a \ in \ mathbb {Z} ^ {n}}$

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ dotsb + a_ {n} x_ {n} = b}$,

hvoraf heltalsløsninger søges. Lineære diofantiske ligninger har løsninger, hvis den største fælles divisor af koefficienterne op til er en divisor på højre side , dvs. hvis ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}) \ i \ mathbb {Z} ^ {n}}$${\ displaystyle a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle \ operatorname {ggT} (a_ {1}, \ dotsc, a_ {n}) \; | \; b}$

gælder. Løsningerne kan derefter gives ved at kombinere opløsningerne i den homogene ligning med en partikelopløsning, der kan findes ved hjælp af den udvidede euklidiske algoritme .

Lineære vektorligninger

Hvis man vælger vektorrum og også ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle W = \ mathbb {R} ^ {m}}$

${\ displaystyle T (x) = A \; \ cdot \; x = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & \ cdots & a_ {1n} \\ a_ {21} & a_ {22 } & \ cdots & a_ {2n} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} & a_ {m2} & \ cdots & a_ {mn} \\\ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {n} \\\ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + \ cdots + a_ {1n} x_ {n} \\ a_ {21} x_ {1} + a_ {22} x_ {2} + \ cdots + a_ {2n} x_ { n} \\\ vdots \\ a_ {m1} x_ {1} + a_ {m2} x_ {2} + \ cdots + a_ {mn} x_ {n} \\\ end {pmatrix}},}$

hvor en real - matrix opnås den lineære vektorligning ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {R} ^ {m, n}}$${\ displaystyle m \ times n}$

${\ displaystyle A \ cdot x = b}$

med højre side og ukendt vektor , som bare repræsenterer et lineært ligningssystem . Et lineært ligningssystem oprettes således ved at kombinere flere skalære lineære ligninger med en eller flere ukendte i en enhed. Løsningssættet for et lineært ligningssystem er derefter skæringspunktet mellem de enkelte ligningers løsninger. Et lineært ligningssystem kan løses, hvis og kun hvis rangen for koefficientmatrixen er lig med rangen for den udvidede koefficientmatrix . Lineære ligningssystemer kan f.eks. Løses ved hjælp af den Gaussiske eliminationsmetode . ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R} ^ {m}}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle (A \; b)}$

Lineære forskelsligninger

Hvis man vælger vektorrum som sekvensrum, og ${\ displaystyle V = W = \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle T ((x_ {n}) _ {n}) = \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} (n) x_ {ni}}$

man opnår den lineære forskelsligning - rækkefølge ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle a_ {0} (n) x_ {n} + a_ {1} (n) x_ {n-1} + \ dotsb + a_ {k} (n) x_ {nk} = b (n)}$  for   ,${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}, n \ geq k}$

hvor det ukendte er en sekvens og og er koefficienter, der kan afhænge af, men skal være uafhængige af vilkårene for den søgte sekvens. Løsningen af ​​en differensligning afhænger af startværdierne og defineres derefter klart. Lineære forskelsligninger kan eksplicit løses ved at kombinere opløsningen af ​​den homogene ligning, som kan findes ved hjælp af den karakteristiske ligning , med en partikelopløsning. ${\ displaystyle (x_ {n}) _ {n} \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle a_ {0} (n), \ dotsc, a_ {k} (n)}$${\ displaystyle b (n)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x_ {0}, \ dotsc, x_ {k-1}}$

Lineære almindelige differentialligninger

Hvis man vælger vektorrum og som funktionsrum med kontinuerligt differentierbare funktioner, og man opnår -th rækkefølge som lineær almindelig differentiel operator ved at vælge${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle f \ i C ^ {n}}$${\ displaystyle g \ i C ^ {0}}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle T (f) = \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} (x) {\ frac {d ^ {i}} {dx ^ {i}}} \ højre ) f}$

den lineære almindelige differentialligning

${\ displaystyle a_ {n} (x) f ^ {(n)} (x) + \ dotsb + a_ {1} (x) f '(x) + a_ {0} (x) f (x) = g (x)}$,

hvor koefficientfunktionerne og højre side kan afhænge af , men ikke af, den søgte funktion og dens derivater . Hvis der anvendes en vektorværdifunktion, taler man om et lineært differentialligningssystem . Picard-Lindelöfs sætning giver eksistensen og unikheden af ​​løsningen af ​​almindelige differentialligninger af første orden . Den generelle løsning af den homogene ligning kan gives via det tilknyttede fundamentale system, en bestemt løsning kan for eksempel findes ved at variere konstanterne . ${\ displaystyle a_ {0}, \ dotsc, a_ {n}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ', \ dotsc, f ^ {(n)}}$${\ displaystyle f}$

Lineære delvise differentialligninger

Hvis vektorrummene og også funktionsrummene, hvor og er kontinuerligt differentierbare funktioner i flere variabler , opnår man -th orden som den lineære partielle differentiale operator ved at vælge${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle f \ i C ^ {n}}$${\ displaystyle g \ i C ^ {0}}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle T (f) = \ left (\ sum _ {\ alpha _ {1} = 0} ^ {n} \ cdots \ sum _ {\ alpha _ {m} = 0} ^ {n} a _ { \ alpha} (x) {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |}} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {m} ^ {\ alpha _ { m}}}} \ højre) f}$

den lineære delvise differentialligning

${\ displaystyle \ sum _ {\ alpha _ {1} = 0} ^ {n} \ cdots \ sum _ {\ alpha _ {m} = 0} ^ {n} a _ {\ alpha} (x) {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} f (x)} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ partial x_ {m} ^ {\ alpha _ {m}}} } = g (x)}$,

hvor , og er. Igen kan koefficientfunktionerne og højre side afhænge af koordinaterne til , men ikke af den søgte funktion og dens delvise derivater . For at løsningen af ​​en delvis differentialligning kan bestemmes entydigt, skal de indledende og / eller randbetingelser specificeres. Der er forskellige tilgange til løsning af lineære partielle differentialligninger, for eksempel grundlæggende løsninger , karakteristikmetoden eller separationsmetoden . ${\ displaystyle x = (x_ {1}, \ dotsc, x_ {m})}$${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dotsc, \ alpha _ {m})}$${\ displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ dotsb + \ alpha _ {m}}$${\ displaystyle a _ {\ alpha}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {m}}$${\ displaystyle f}$

Lineære integrerede ligninger

Hvis vektorrummene og funktionsrummene er tilstrækkeligt integrerbare, opnår man ved at vælge den lineære integrale operator${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T (f) = \ lambda f (x) + \ int _ {a} ^ {x} K (x, y) f (y) ~ dy}$

med integreret kerne og konstant præfaktor den lineære integralligning${\ displaystyle K (x, y)}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ lambda f (x) + \ int _ {a} ^ {x} K (x, y) f (y) ~ dy = g (x)}$,

som i almindelighed repræsenterer en Volterra- integralligning af 2. slags . Hvis begge integrationsgrænser er faste, er det en Fredholm-integralligning. Hvis man taler om en integreret ligning af den første slags . ${\ displaystyle \ lambda = 0}$

Flere lineære operatorligninger

Eksempler på yderligere lineære operatorligninger med funktioner som ukendte er:

• Lineære differentiale algebraiske ligninger
• Lineære integro-differentialligninger
• Lineære stokastiske differentialligninger

Se også

• Kvadratisk ligning
• Kubisk ligning
• Kvartisk ligning
• Linearisering

litteratur

• Hans Wilhelm Alt : Lineær funktionel analyse. En applikationsorienteret introduktion . 5. udgave. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2 . 
• Bernd Aulbach : Almindelige differentialligninger . 2. udgave. Spectrum Academic Publishing House, 2004, ISBN 3-8274-1492-X . 
• Albrecht Beutelspacher : Lineær algebra. En introduktion til videnskaben om vektorer, kort og matricer . 7. udgave. Vieweg, 2009, ISBN 3-528-66508-4 . 
• Peter Bundschuh : Introduktion til talteori . 6. udgave. Springer-Verlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9 . 
• Gerd Fischer : Lineær algebra. En introduktion til førsteårsstuderende . 17. udgave. Vieweg Verlag, 2009, ISBN 3-8348-0996-9 . 
• Günter Gramlich: Lineær algebra . Fachbuchverlag Leipzig i Carl Hanser Verlag, 2003, ISBN 3-446-22122-0 . 
• Jürgen Jost : Partielle differentialligninger. Elliptiske ligninger (og parabolske) ligninger . 1. udgave. Springer-Verlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6 . 

Weblinks

• MI Voitsekhovskii: Lineær ligning . I: Michiel Hazewinkel (red.): Encyclopedia of Mathematics . Springer-Verlag og EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (engelsk, online ). 
• Eric W. Weisstein : Lineær ligning . På: MathWorld (engelsk).
• Robert Milson: Lineær ligning . I: PlanetMath . (Engelsk)