Differentialoperatør

I matematik, en differensoperatoren er en funktion , der tildeler en funktion til en funktion og indeholder derivatet ifølge en eller flere variable. Især nedbryder differentielle operatører regelmæssigheden af den funktion, som de anvendes til.

Sandsynligvis den vigtigste differentiale operatør er det almindelige derivat; H. kortlægningen (talt: "d til dx"), som tildeler sit derivat til en differentierbar funktion : ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {\ prime}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ colon f \ mapsto {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} f = {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} = f '}$

Differentielle operatører kan forbindes med hinanden. Ved at udelade den funktion, som de handler på, opnås rene operatorligninger.

Der er forskellige definitioner af en differentiel operatør, som alle er specielle tilfælde eller generaliseringer af hinanden. Da den mest generelle formulering følgelig er vanskelig at forstå, gives forskellige definitioner med forskellige generelle gyldighed her. Almindelige differentielle operatører består af sammenkædning af hele derivater, mens delvise derivater også forekommer i delvise differentielle operatorer.

Medmindre andet er angivet, er denne artikel et begrænset og åbent sæt . Desuden betegner det antal gange kontinuerligt differentierbare funktioner og sæt kontinuerlige funktioner. Begrænsningen for, at kortlægning mellem reelle undergrupper ikke er nødvendig, men antages normalt i denne artikel. Hvis andre definitions- og billedområder er nødvendige eller nyttige, er dette udtrykkeligt angivet nedenfor. ${\ displaystyle M \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C ^ {k} (M)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f \ colon M \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle C (M) = C ^ {0} (M)}$${\ displaystyle f}$

Denne artikel er også i vid udstrækning begrænset til forskellige operatører, der opererer i de rum, der er kontinuerligt differentierbare funktioner, der lige er nævnt. Der er svækkelse af definitionerne. For eksempel førte undersøgelsen af ​​differentielle operatorer til definitionen af ​​det svage derivat og dermed til Sobolev-rumene , som er en generalisering af rumene med konstant differentierbare funktioner. Dette førte til ideen om at undersøge lineære differentielle operatorer ved hjælp af funktionel analyse i operatorteori . Imidlertid diskuteres disse aspekter foreløbig ikke yderligere i denne artikel. En generalisering af en differentiel operatør er den pseudo-differentiale operatør .

Første ordens lineære differentialoperatør

definition

Vær en åben delmængde . En første ordens lineære differentiale operator er et kort${\ displaystyle M \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle D \ colon C ^ {1} (M) \ to C ^ {0} (M),}$

ved

${\ displaystyle u \ mapsto \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} (x) \ partial _ {x_ {i}} u}$

kan repræsenteres, hvor er en kontinuerlig funktion . ${\ displaystyle a_ {i}}$

Eksempler

• Det vigtigste eksempel på en første ordens differentierede operatør er det almindelige derivat

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ colon f \ mapsto f '.}$

• Det delvise afledte

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ colon f \ mapsto {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}}}$

in- direction er en første ordens delvise differentiale operatør.${\ displaystyle x_ {i}}$

• Andre differentielle operatører af denne art kan opnås ved at multiplicere med en kontinuerlig funktion. Lad det være en kontinuerlig funktion, så er det igennem${\ displaystyle a \ i C ^ {0} (M)}$

${\ displaystyle D = a {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ colon f \ mapsto af '\ quad {\ text {dh}} \ quad Df (x) = a ( x) f '(x)}$

definerede operatør igen en første ordens differentieret operatør.${\ displaystyle D}$

• Tre yderligere eksempler er operatorernes gradient (grad), divergens (div) og rotation (rød) fra vektoranalyse . De er betegnet med Nabla-symbolet , som i det tredimensionelle tilfælde repræsenterer formen i kartesiske koordinater${\ displaystyle \ nabla}$

${\ displaystyle \ nabla = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {3}}} \ end {pmatrix}}.}$

Har.

• De Wirtinger derivater

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial z}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} - \ mathrm {i} { \ frac {\ partial} {\ partial y}} \ højre)}$

og

${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ overline {z}}}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} + \ mathrm {i} {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right)}$

er to andre eksempler på forskellige operatører. Det specielle ved disse operatorer er, at du kan bruge dem til at undersøge funktioner til holomorfisme , for så er funktionen holomorf.${\ displaystyle M \ subset \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial {\ overline {z}}}} = 0}$${\ displaystyle f}$

Almindelig differentiel operatør

Almindelige differentiale operatører forekommer især i forbindelse med almindelige differentialligninger .

definition

Analogt med definitionen af ​​den første ordens differentielle operatør, er en almindelig ordensdifferentiel operatør en kortlægning ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle D \ kolon C ^ {k} (M) \ til C ^ {0} (M),}$

ved

${\ displaystyle D (f) (x): = \ sum _ {i = 0} ^ {k} a_ {i} (x) \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {i} f} { \ mathrm {d} x ^ {i}}} (x) \ right) ^ {\ beta _ {i}}}$

givet er. Her er en anden kontinuerlig funktion for alle . I tilfældet for alle kaldes denne operatør en almindelig, lineær differentiel operator. ${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ beta _ {i} = 1}$${\ displaystyle i}$

eksempel

• Afledte af rækkefølgen af ​​ordre${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {k}} {\ mathrm {d} x ^ {k}}} \ colon f \ mapsto f ^ {(k)}}$

er det enkleste tilfælde af en almindelig differentiel operatør. Det er det specielle tilfælde, der skyldes for og .${\ displaystyle a_ {i} \ equiv 0}$${\ displaystyle i <k, \; a_ {k} \ equiv 1}$${\ displaystyle \ beta _ {k} = 1}$

Lineær delvis differentiel operatør

definition

Vær en åben delmængde. En lineær delvis differentiel operatør af ordre er en lineær operator${\ displaystyle M \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle D \ kolon C ^ {k} (M) \ til C ^ {0} (M),}$

igennem

${\ displaystyle D (f) (x): = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha} (x) {\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f} {\ partial x ^ {\ alpha}}} (x)}$

kan være repræsenteret. Hvor er en kontinuerlig funktion for alle multiindekser . ${\ displaystyle a _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$

Eksempler

• Den Laplace-operatoren i retvinklede koordinater er

${\ displaystyle \ Delta = \ nabla ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {k} ^ {2}}}. }$

Dette er et elementært eksempel på en delvis differentiel operatør. Det er også det vigtigste eksempel på en elliptisk differentiel operatør . Elliptiske differentielle operatører er en særlig klasse af delvise differentielle operatører.

• Operatøren svarende til varmeledning eller diffusionsligning er

${\ displaystyle \ Delta - {\ frac {\ partial} {\ partial t}}.}$

Dette er et eksempel på en parabolsk differentiel operatør.

• The D'Alembert operatør

${\ displaystyle \ Box \ varphi (x, y, z, t) = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial t ^ { 2}}} (x, y, z, t) - \ Delta _ {(x, y, z)} \ varphi (x, y, z, t),}$

hvor svarer til hastighed er en anden vigtig delvis differentiel operatør. Dette er en hyperbolsk operator og bruges i bølgeligning .${\ displaystyle c}$

Delvis differentieret operatør

definition

En (ikke-lineær) delvis differentiel ordreoperatør er også en kortlægning igen ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle D \ kolon C ^ {k} (M) \ til C ^ {0} (M).}$

Dette er givet af

${\ displaystyle D (f) (x): = \ sum _ {i} \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} a _ {\ alpha i} (x) \ left ({\ frac {\ partial ^ { \ alpha} f} {\ partial x ^ {\ alpha}}} (x) \ right) ^ {i}.}$

Her er for alle og kontinuerlige funktioner. ${\ displaystyle a _ {\ alpha i}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {n}}$${\ displaystyle i}$

Lineære differentielle operatører

I ovennævnte definitioner blev det kort nævnt, når en almindelig eller delvis differentiel operatør kaldes lineær. For fuldstændighedens skyld vil den abstrakte definition af en lineær differentiel operator nu blive nævnt. Dette er analogt med definitionen af lineær kortlægning . Medmindre andet er angivet, er alle ovenstående eksempler lineære differentielle operatorer.

definition

Lad være en (vilkårlig) differentiel operatør. Dette kaldes lineær hvis ${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle {D} \, (f + g) = ({D} f) + ({D} g)}$

${\ displaystyle {D} \, (cf) = c \, ({D} f)}$

holder for alle funktioner og alle konstanter . ${\ displaystyle f, g \ i C ^ {1} (M)}$${\ displaystyle c}$

Det mest fremtrædende eksempel på dette er differentialoperatøren

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ colon f \ mapsto f ',}$

som tildeler dets afledte til en funktion . ${\ displaystyle f}$

Løsningsrummet i en lineær differentialligning danner et vektorrum . Efter Fourier-transformation kan de ofte spores tilbage til algebraiske ligninger og begreber lineær algebra. Ikke-lineære differentielle operatører er meget sværere at håndtere.

Differentialoperatørers algebra

Den sæt af alle lineære differentiale operatører af orden , der opererer på er betegnet med . Beløbet ${\ displaystyle \ operatorname {Diff} ^ {k} (C ^ {k} (M))}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle C ^ {k} (M)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Diff} (C ^ {k} (M)): = \ bigoplus _ {k \ geq 0} \ operatorname {Diff} ^ {k} (C ^ {k} (M))}$

bruges sammen med serieforbindelse af lineære differentielle operatorer som multiplikation

${\ displaystyle (\ mathrm {D} _ {1} \ circ \ mathrm {D} _ {2}) (f) = \ mathrm {D} _ {1} (\ mathrm {D} _ {2} (f ))}$

til en - kandidatalgebra . Generelt er multiplikation imidlertid ikke kommutativ. En undtagelse er for eksempel differentielle operatorer med konstante koefficienter, hvor kommutativiteten følger af udskifteligheden af ​​de partielle derivater . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {+}}$

Man kan også formelt danne power-serier med differentialoperatørerne og bruge z. B. Eksponentielle funktioner . Baker-Campbell-Hausdorff-formlerne gælder for computing med sådanne eksponentielle udtryk for lineære operatorer . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ exp (D)}$

Differentialoperator på en manifold

Da man kun har de lokale koordinatsystemer i form af kort og ingen globalt gyldige koordinatsystemer er tilgængelige på manifolder, er man nødt til at definere koordinatuafhængig på disse differentielle operatører. Sådanne differentiale operatører på manifolder kaldes også geometriske differentiale operatorer.

Koordinat-invariant definition

Lad være en glat manifold og være vektorbundter . En differentiel operator af rækkefølgen mellem sektionerne i og er en lineær kortlægning${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E, F \ til M}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle D \ colon \ Gamma ^ {\ infty} (M, E) \ to \ Gamma ^ {\ infty} (M, F)}$

med følgende egenskaber:

• Operatøren er lokal, det vil sige det holder${\ displaystyle D}$

${\ displaystyle \ operatorname {supp} (Ds) \ subseteq \ operatorname {supp} (s).}$

• For der er et åbent miljø med , bundtekort og såvel som en differentiel operator, så diagrammet pendler . Med er tilbagetrækning af et glat vektorfelt i det angivne rum .${\ displaystyle x \ i M}$${\ displaystyle U \ subseteq M}$${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ phi \ colon E | _ {U} \ til U \ times \ mathbb {C} ^ {r}}$${\ displaystyle \ psi \ colon F | _ {U} \ til U \ times \ mathbb {C} ^ {s}}$${\ displaystyle {\ tilde {D}} \ in \ operatorname {Diff} ^ {k} (U, \ mathbb {C} ^ {r}, \ mathbb {C} ^ {s}),}$
  ${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} \ Gamma _ {0} ^ {\ infty} (E \ vert _ {U}) & {\ xrightarrow {D}} & \ Gamma _ {0} ^ {\ infty} (F \ vert _ {U}) \\ {\ big \ downarrow} \ phi ^ {*} && {\ big \ downarrow} \ psi ^ {*} \\ C ^ {\ infty} (U, \ mathbb {C} ^ {r}) & {\ xrightarrow {\ tilde {D}}} & C ^ {\ infty} (U, \ mathbb {C} ^ {s}) \ end {array}}}$
  ${\ displaystyle \ phi ^ {*}}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (U, \ mathbb {C} ^ {r})}$

Eksempler

Eksempler på geometriske differentiale operatorer er vist nedenfor.

• Sættet med differentierede former danner en glat vektorbundt over en glat manifold. Den Cartan derivat og dets adjoint operatør er differentialoperatorer På denne vektor bundt.
• Den Laplace-Beltrami operatør og andre generelle Laplace-operatører er differentialoperatorer.
• Den tensor bundt er en vektor bundt. For hvert fast vektorfelt defineres kortlægningen ved , hvor det covariante derivat er, en differentiel operator.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ nabla _ {X} \ colon \ Gamma ^ {\ infty} (T_ {l} ^ {k} M) \ rightarrow \ Gamma ^ {\ infty} (T_ {l} ^ {k} M)}$${\ displaystyle T \ mapsto \ nabla _ {X} T}$${\ displaystyle \ nabla}$
• Den Lie derivat er en differential operatør på differentialformer.

Symbol for en differentiel operatør

Hvis de partielle afledede er formelt erstattes af variable og kun den egentlige højeste - dvs. sekund - ordre betragtes de anden ordens differentialoperatorer angivet i eksemplerne svarer til en kvadratisk form i . I det elliptiske tilfælde har alle koefficienter i formen det samme tegn , i det hyperbolske tilfælde skifter tegnet, i parabolsk tilfælde mangler den højeste rækkefølge for en af koefficienterne . De tilsvarende delvise differentialligninger viser hver sin meget forskellige opførsel. Navnene kommer fra analogerne til ligninger af keglesnit . ${\ displaystyle \ partial _ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$

Dette kan også udvides til andre tilfælde ved hjælp af konceptet med den differentielle operatørs hovedsymbol. Kun udtryk af den højeste orden bevares, derivater erstattes af nye variabler, og der opnås et polynom i disse nye variabler, som differentieringsoperatøren kan karakteriseres med. For eksempel er det af den elliptiske type, hvis: hovedsymbolet ikke er lig med nul, hvis mindst en ikke er lig med nul. Der er dog allerede "blandede" sager for differentielle operatører af 2. orden, der ikke kan tildeles nogen af ​​de tre klasser. ${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$

Følgende definitioner registrerer dette igen med matematisk præcision.

symbol

Være det

${\ displaystyle P (u) (x) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} b _ {\ alpha} (x) {\ frac {\ partial ^ {\ alpha}} {\ partial x ^ {\ alfa}}} u (x)}$

en generel differentieret ordreoperatør . Koefficientfunktionen kan matriseres. den polynomium${\ displaystyle m}$${\ displaystyle b _ {\ alpha} \ i C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$

${\ displaystyle p (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} b _ {\ alpha} (x) \ left (i \ xi \ right) ^ {\ alpha}}$

i er symbolet på . Da de vigtigste oplysninger imidlertid kan findes i udtrykket af den højeste orden, som allerede angivet i indledningen, anvendes normalt følgende definition af hovedsymbolet. ${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle P}$

Hoved symbol

Lad os igen være den differentielle operatør, der er defineret ovenfor . Det homogene polynom ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle m}$

${\ displaystyle p_ {m} (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = m} b _ {\ alpha} (x) \ left (i \ xi \ right) ^ {\ alpha}}$

i er det vigtigste symbol på . Ofte kaldes hovedsymbolet simpelthen et symbol, hvis forveksling med ovenstående definition er umulig. ${\ displaystyle \ xi \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle P}$

Eksempler

• Symbolet og hovedsymbolet for Laplace-operatøren er${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} - \ xi _ {i} ^ {2} = - | \ xi | ^ {2}.}$

Vigtigste symbol på en differentiel operatør mellem vektorbundter

Differentialoperatorer på manifolder kan også tildeles et symbol og et hovedsymbol. I definitionen skal det naturligvis tages i betragtning, at hovedsymbolet og symbolet under Skift af kort er uændrede defineret. Da skift af kort til symboler er meget kompliceret, begrænser du dig normalt til definitionen af ​​hovedsymbolet.

Lad være en (koordinat-invariant) differentiel operatør, der opererer mellem krydsninger af vektorbundter. Være , og . Vælg og med , og . Så udtrykket ${\ displaystyle D \ colon \ Gamma ^ {\ infty} (M, E) \ to \ Gamma ^ {\ infty} (M, F)}$${\ displaystyle p \ i M}$${\ displaystyle \ xi \ i T_ {p} ^ {*} M}$${\ displaystyle e \ i E_ {p}}$${\ displaystyle f \ i C_ {c} ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle s \ in \ Gamma _ {c} ^ {\ infty} (M, E)}$${\ displaystyle f (p) = 0}$${\ displaystyle \ textstyle \ mathrm {d} f_ {p} = \ xi}$${\ displaystyle s (p) = e}$

${\ displaystyle \ sigma _ {D} ^ {k} (p, \ xi) e: = {\ frac {i ^ {k}} {k!}} D (f ^ {k} s) (p)}$

uanset valg af og . Funktionen ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle \ sigma _ {D} ^ {k} (p, \ xi) \ in \ operatorname {Hom} (E_ {p}, F_ {p})}$

kaldes derefter det vigtigste symbol for . ${\ displaystyle D}$

Pseudo differentielle operatører

Rækkefølgen for en differentiel operatør er altid et heltal og positiv. Dette er generaliseret i teorien om pseudo-differentiale operatører. Lineære differentielle operatører af ordren med glatte og afgrænsede koefficienter kan forstås som pseudo-differentielle operatører af samme rækkefølge. Hvis der anvendes en sådan differentieret operatør, så kan man anvende den Fourier transformation og derefter den inverse Fouriertransformation . Det vil sige, det gælder ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle D \ colon C_ {c} ^ {k} (\ mathbb {R} ^ {n}) \ to C_ {c} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle Df}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}$

${\ displaystyle (dig) (x) = ({\ mathcal {F}} ^ {- 1} {\ mathcal {F}} dig) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ { n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {\ mathrm {i} (xy) \ xi} D (\ xi ) u (y) \ mathrm {d} y \ mathrm {d} \ xi.}$

Dette er et specielt tilfælde af en pseudo-differentieret operatør

${\ displaystyle (Pu) (x) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ int _ {\ mathbb {R } ^ {n}} e ^ {\ mathrm {i} (xy) \ xi} a (x, y, \ xi) u (y) \ mathrm {d} y \ mathrm {d} \ xi.}$

Dette viser også, at visse differentielle operatører kan repræsenteres som integrerede operatører, og således er forskellige operatører og integrerede operatører ikke helt modsatte.

litteratur

• Otto Forster : Analyse 2. Differentialregning i R ⁿ . Almindelige differentialligninger. Vieweg-Verlag, 7. udgave, 2006, ISBN 3-528-47231-6 .
• Konrad Königsberger : Analyse 2. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2000, ISBN 3-540-43580-8 .
• Dirk Werner : Funktionsanalyse. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6 .
• Lawrence Evans : Partielle differentialligninger. American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
• Liviu I. Nicolaescu: Forelæsninger om manifoldernes geometri. World Scientific Pub Co (for forskellige operatører mellem vektorbundter).