Untergruppe

Eine Teilmenge H einer Gruppe G ist eine Untergruppe , wenn sie eine Gruppe mit der in G definierten Operation ist.

Jede Gruppe G enthält mindestens zwei Untergruppen: die Gruppe G selbst und die triviale Untergruppe , die nur durch das neutrale Element von G gebildet wird (diese fallen natürlich zusammen, wenn sie nur ein Element hat). $G.$

Eine Untergruppe heißt genau dann, wenn H eine echte Teilmenge von G ist.

Eigenschaften von Untergruppen

Im Folgenden soll sowohl eine Gruppe bezüglich der Operation , als auch die Inverse von sein . $G.$ $*$ $ein ^ {{- 1}}$ ${\ Anzeigestil a \ in G}$

Alternative Definitionen

H ist genau dann eine Untergruppe von G , wenn sie nicht leer ist und bezüglich des Produkts und der Inversen abgeschlossen ist. Mit anderen Worten:

für alle a und b in H ist ihr Produkt immer noch in H ; $a*b$
für jedes a in H ist die Inverse immer noch in H. $ein ^ {{- 1}}$

Alternativ können wir Folgendes fragen:

für alle a und b in H ist das Produkt noch in H. ${\ Anzeigestil a * b ^ {- 1}}$

Wenn H endlich ist, ist es genau dann eine Untergruppe, wenn es nicht leer und bezüglich des Produkts abgeschlossen ist.

Schnittpunkt und Generatoren

Der Schnittpunkt zweier Untergruppen H und H' ist immer noch eine Untergruppe von G. Andererseits ist die Mengenvereinigung zweier Untergruppen genau dann eine Untergruppe, wenn eine der beiden Untergruppen die andere enthält.

Wenn S eine Teilmenge von G ist, gibt es eine kleinere Untergruppe von denen, die S enthalten , die mit < S > bezeichnet und die von S erzeugte Untergruppe genannt wird. Ein Element von G ist genau dann in < S >, wenn es das Produkt einer endlichen Anzahl von Elementen von S oder ihrer Inversen ist.

Jedes Element a erzeugt also eine zyklische Untergruppe <a> . Wenn <a> für eine positive ganze Zahl n isomorph zu Z / n Z ist , dann ist n die kleinste natürliche Zahl, für die a ⁿ = e , und n ist die Ordnung von a . Wenn <a> isomorph zu Z ist, dann hat a unendliche Ordnung .

Untergruppen bilden mit Inklusion einen vollständigen Verband .

Erhaltene Eigenschaften

Eine Untergruppe einer endlichen Gruppe ist endlich.
Eine Untergruppe einer abelschen Gruppe ist abelsch.
Eine Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.

Beispiele

Sei G die abelsche Gruppe, deren Elemente sind

G = {0,2,4,6,1,3,5,7}

und deren Operation eine Addition modulo 8 ist, zusammengefasst in der folgenden Zusammensetzungstabelle .

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Diese Gruppe hat zwei nicht-triviale Untergruppen: J = {0,4} und H = {0,2,4,6} , wobei J auch eine Untergruppe von H ist.

Laterale Klassen und der Satz von Lagrange

Sei H eine Untergruppe von G. Der Bericht über G

{\ displaystyle a \ sim b \ Leftrightarrow ab ^ {- 1} \ in H}

ist eine Äquivalenzrelation und induziert somit eine Zerlegung von G.

Bei einem gegebenen Element a ist die rechte Klasse von H , die a zugeordnet ist, die Menge

{\ displaystyle Ha = \ {ha | h \ in H \}.}

Es ist leicht zu zeigen, dass die Teilmengen, die die Partition von G bilden, die Klassen der rechten Seite von H sind. Zwei Elemente a und a ' ergeben genau dann dieselbe richtige Klasse, wenn sie in einer Äquivalenzbeziehung stehen. Die Anzahl dieser Klassen wird Index von H in G genannt und wird durch das Symbol [ G : H ] angezeigt.

Da a invertierbar ist, ist die Abbildung

{\ displaystyle \ phi: H \ rightarrow Ha, \ quad \ phi (h) = ha}

ist eine Bijektion , für jedes a . Aus dieser Tatsache folgt der Satz von Lagrange , der besagt, dass wenn G endlich ist

{\ Anzeigestil [G: H] = {o (G) \ über o (H)}}

wobei o ( G ) und o ( H ) die Ordnungen (d. h. die Anzahl der Elemente) von G und H sind.

Wenn also H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G ist, muss die Ordnung von H die Ordnung von G teilen .

Die Klassen auf der linken Seite sind ähnlich definiert und erhalten das gleiche Ergebnis. Wenn aH = Ha für jedes a (d. h. die linke und die rechte Klasse fallen zusammen), dann ist H ein Normalteiler .