Rechtwinkligkeit

Strahl AB ist senkrecht zur Linie CD, da die beiden Winkel, die er bildet, 90 Grad betragen (in Orange bzw. Blau).

In der Geometrie ist die Bedingung der Rechtwinkligkeit (vom lateinischen perpendiculum „ lot “), wenn eine gerade Linie eine andere schneidet und einen rechten Winkel bildet , der 90° misst. Rechtwinkligkeit ist eine grundlegende Eigenschaft, die in der Geometrie und Trigonometrie untersucht wird, zum Beispiel in rechtwinkligen Dreiecken , die 2 "senkrechte" Segmente haben.

Der Begriff der Rechtwinkligkeit verallgemeinert sich zu dem der Orthogonalität .

Beziehungen

Die Rechtwinkligkeitsbeziehung kann angegeben werden zwischen:

• Gerade Linien: Zwei koplanare Linien sind senkrecht, wenn sie geschnitten die Ebene in vier gleiche Bereiche teilen. Jeder von ihnen ist ein rechter Winkel, der Schnittpunkt zweier senkrechter Linien heißt der Fuß von jedem von ihnen im anderen.
  • Strahlen: Zwei Strahlen sind senkrecht, wenn sie rechte Winkel bilden, die denselben Ursprung haben oder nicht.
• Ebenen: Zwei Ebenen sind senkrecht, wenn sie vier 90°-Diederwinkel bilden .
  • Halbebenen: Zwei Halbebenen sind senkrecht, wenn sie 90°-Diederwinkel bilden; im Allgemeinen die gleiche Herkunftslinie teilen.

Darüber hinaus kann es eine Rechtwinkligkeitsbeziehung zwischen den 4 vorherigen Elementen geben, die paarweise genommen werden.

Wenn sich zwei Geraden schneiden, um kongruente benachbarte Winkel zu bilden, stehen sie senkrecht. Wenn zwei sich schneidende Ebenen kongruente benachbarte Diederwinkel bilden, sind sie analog senkrecht. Die Seiten eines Diederwinkels und seine gegenüberliegenden Halbebenen bestimmen zwei senkrecht zueinander stehende Ebenen.

Senkrechte Linien in der Ebene

Für alle senkrechten Geraden in der Ebene gilt folgendes.

Schreibweise

Angesichts der Menge R der Linien in der Ebene werden wir sagen, dass zwei Linien a , b von R senkrecht sind, und wir werden es bemerken:

$a,b\in R:\quad a\bot b$

Wenn die Schreibweise stimmt:

$a\bot b\quad {\mbox{oder}}\quad \bot (a,b)\quad {\mbox{oder}}\quad (a,b)\in \bot$

Wenn zwei Linien nicht senkrecht sind, werden wir bemerken:

$\lnot (a\bot b)\quad {\mbox{or}}\quad \not \bot (a,b)\quad {\mbox{oder}}\quad (a,b)\notin \ Bot$

Eindeutigkeitspostulat

In einer Ebene geht genau eine senkrechte Linie durch einen Punkt, der zu einer Linie gehört oder außerhalb davon liegt.

Konstruktion der Senkrechten zu einer Geraden durch einen gegebenen Punkt

Konstruktion der Senkrechten (blau) zur Geraden AB durch den Punkt P.

Um mit Lineal und Zirkel eine Senkrechte zur Geraden AB durch den Punkt P zu konstruieren , gehen Sie wie folgt vor:

• Schritt 1 (rot): Ein bei P zentrierter Kreis wird gezeichnet, um die Punkte A' und B' auf der Linie AB zu erstellen, die von P gleich weit entfernt sind.
• Schritt 2 (grün): Zeichne zwei Kreise mit den Mittelpunkten A' und B', die beide durch P gehen. Sei Q der andere Schnittpunkt dieser beiden Kreise.
• Schritt 3 (blau): Verbinden Sie P und Q, um die senkrechte Linie PQ zu erhalten.

Um zu beweisen, dass PQ senkrecht zu AB ist, wird der LLL-Kongruenztest für die Dreiecke QPA' und QPB' verwendet, um zu zeigen, dass die Winkel OPA' und OPB' gleich sind. Das LAL-Kriterium für die Dreiecke OPA' und OPB' wird dann verwendet, um zu zeigen, dass die Winkel POA und POB gleich sind.

Eigenschaften

Die Geraden a , b der Ebene P erfüllen folgende Eigenschaften:

• Irrreflexive Relation : jede Gerade a der Ebene steht nicht senkrecht auf sich selbst:

$\forall a\in P:\quad \lnot (a\bot a)$

• Symmetrische Beziehung : Wenn eine Linie a senkrecht zu einer anderen Linie b ist, ist Linie b senkrecht zu Linie a :

$\forall a,b\in P:\quad a\bot b\quad \longrightarrow \quad b\bot a$

In Bezug auf parallele Linien

Die Linien a und b sind parallel, wie von den Quadraten gesehen, und werden von der senkrechten Linie c geschnitten.

Wie in der Abbildung zu sehen ist, wenn zwei Linien ( a und b ) senkrecht zu einer dritten Linie ( c ) verlaufen, sind alle Winkel, die in der dritten Linie gebildet werden, rechte Winkel. Daher sind in der euklidischen Geometrie aufgrund von Euklids fünftem Postulat alle Linienpaare, die senkrecht zu einer dritten Linie stehen, parallel zueinander . Umgekehrt, wenn eine Linie senkrecht zu einer zweiten Linie ist, ist sie auch senkrecht zu jeder Linie, die parallel zur zweiten Linie ist.

In der Abbildung sind alle orangefarbenen Winkel zueinander kongruent und alle grünen Winkel zueinander kongruent, weil Winkel über dem Scheitelpunkt kongruent sind und abwechselnde Innenwinkel , die durch einen Querschnitt paralleler Linien gebildet werden, kongruent sind. Wenn also die Linien a und b parallel sind, führt jede der folgenden Schlussfolgerungen zu allen anderen:

• Einer der Winkel im Diagramm ist ein rechter Winkel.
• Einer der orangefarbenen Winkel ist kongruent zu einem der grünen Winkel.
• Die Linie c steht senkrecht auf der Linie a .
• Linie c ist senkrecht zu Linie b .

Siehe auch

• Vermittlerin
• Orthogonalität
• Parallelität

Referenzen

• Senkrecht ; Senkrechte und Parallelen , Website "Enjoy Mathematics".
• Senkrechte Website «Visual Dictionary of Mathematics».
• Simmons, Bruce (2011). «senkrecht» . Mathwords (auf Englisch) . 

Externe Links

• Wie zeichnet man mit Zirkel und Lineal eine Mittelsenkrechte einer Geraden? Mit Animation (auf Englisch) .
• Wie man mit Lineal und Zirkel eine Senkrechte am Ende einer Linie zeichnet. Mit Animation (auf Englisch) .