Distanz

Manhattan-Karte. Die euklidische Entfernung (grünes Segment) entspricht nicht dem "kürzest möglichen Weg" zwischen zwei Punkten in dieser Stadt, zusätzlich zu der Tatsache, dass es nicht nur einen kürzesten Weg gibt.

In der Mathematik ist der Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen Raum gleich der Länge des Liniensegments , das sich ihnen anschließt, numerisch ausgedrückt. In komplexeren Räumen, wie sie in der nicht-euklidischen Geometrie definiert sind, ist der "kürzeste Weg" zwischen zwei Punkten ein gerades Segment mit Krümmung, das als Geodät bezeichnet wird .

In der Physik ist die Entfernung eine skalare Menge , die in Längeneinheiten ausgedrückt wird .

Abstand in Geometrie mit Koordinaten

Entfernung in der Zeile

Es gibt eine Bijektion (eine Element-zu-Element-Korrespondenz) zwischen den Punkten auf einer Linie und der Menge der reellen Zahlen, sodass jede reelle Zahl einem einzelnen Punkt entspricht und jeder Punkt genau einer reellen Zahl. Dazu werden ein fester Punkt O y auf der Geraden und ein weiterer Punkt U benötigt, so dass per Definition 1 die Abszisse von U ist. Sie wird mit U(1) bezeichnet. Die Punkte der positiven Abszisse befinden sich auf der rechten Seite, die Punkte der negativen Abszisse auf der linken Seite und der Ursprung O hat die Abszisse 0. Eine solche Linie, die mit Abszissen für ihre Punkte versehen ist, wird eine reelle Linie genannt . $\mathbb{R}$

Wenn und zwei Punkte auf der realen Linie sind, beträgt der Abstand zwischen den Punkten A und B ] $A(x_{1})$$B(x_{2})$$d(A,B)=|x_{2}-x_{1}|$

Abstand von zwei Punkten in der Ebene

Wenn und zwei Punkte auf einer kartesischen Ebene sind, kann der Abstand zwischen diesen Punkten wie folgt berechnet werden: Erstellen Sie einen dritten Punkt, nennen Sie ihn, aus dem ein rechtes Dreieck gebildet wird. Verwenden Sie den pythagoräischen Theorem weiterhin mit dem Segment AB als Hypotenuse. . Die Formel ersetzt weiterhin durch die Elemente jedes Segments und führt das Verfahren durch: $A(x_{1},y_{1})$$B(x_{2},y_{2})$$P(x_{2},y_{1})$${\ displayStyle h^{2} = (cat_ {1})^{2}+(cat_ {2})^{2}}$

$d(AB)^{2}=AP^{2}+BP^{2}$

$d(AB)^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$

${\sqrt {d(AB)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^ {zwei}}}$

$d(AB)={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$ ]

Abstand im metrischen Raum

Aus formaler Sicht wird für eine Reihe von Elementen , Entfernung oder Metrik als mathematische Funktion oder Anwendung der folgenden Bedingungen definiert :$X$$tupfen)$$X \times X$$\mathbb{R}$

• Keine Negativität:

${\ displaystyle \ forall a, b \ in x \;: \ quad d (a, b) \ geq 0}$

${\ displaystyle a, b \ in x, \ quad d (a, b) = 0 \ quad \ longleftrightarrow \ quad a = b}$

- Das heißt, der Abstand ist nur dann Null, wenn er über denselben Punkt induziert wird

• Symmetrie :

${\ displayStyle \ forall a, b \ in x \;: \ quad d (a, b) = d (b, a)}$

• Dreieck -Ungleichheit :

${\ displayStyle \ forall a, b, c \ in x \;: \ quad d (a, b) \ leq d (a, c)+d (c, b)}$ ]

Wenn wir aufhören, die Erfüllung dieser letzten Bedingung zu fordern, wird das resultierende Konzept als Pseudodistanz oder pseudometrisch bezeichnet .

Distanz ist das grundlegende Konzept der Topologie metrischer Räume. Ein metrischer Raum ist nichts anderes als ein Paar , wobei eine Menge ist, auf der wir einen Abstand definieren . $(Xd)$$X$$d$

In dem Fall, dass wir ein Paar hätten und es eine Pseudodistanz an wäre, würden wir sagen, dass wir einen pseudometrischen Raum haben . $(Xd)$$d$$X$

If ist ein metrisches Leerzeichen und , können wir wie folgt einschränken : so dass if then (d. h. ). Map ist auch eine Distanz über , und da sie über die gleichen Werte wie verfügt, wird sie auch auf die gleiche Weise bezeichnet, das heißt, wir werden sagen, dass es sich um einen metrischen Unterraum von handelt . $(Xd)$$E \ Teilmenge X$$d$$UND$$D ': e \ Times e \ longrightarrow \ mathbb {r}$$x,y \in E$$d'(x,y)=d(x,y)$$d'=d|_{E \times E}$$d'$$d$$E \ mal e$$d$$(E, d)$$(Xd)$

Entfernung von einem Punkt zu einem Satz

Wenn , , und ein metrischer Raum ist, können wir den Abstand vom Punkt zur Menge wie folgt definieren: $(Xd)$$E \ Teilmenge X$$E \ ne \ varnothing$$x\in X$$x$$UND$

$d (x, e): = \ inf \ {d (x, y): y \ in e \}$. ]

Die folgenden drei Eigenschaften sind bemerkenswert:

• In erster Linie wird diese Entfernung immer vorhanden, da sie eine Domäne hat , so dass es für jeden ein einziger positiver realer Wert gibt . Aufgrund der Vollständigkeit von und da das Bild von d durch 0 geringer ist, ist die Existenz des Infimums dieses Satzes garantiert, dh der Abstand vom Punkt zum Satz.$d$$X \times X$$und in E$$d(x,y)$$\mathbb{R}$

• Ja dann .$x\in E$$d(x,E)=0$

• Das kann es aber sein , zB wenn es ein Knackpunkt ist . Tatsächlich ist der Abschluss von genau die Menge von Punkten , die den Abstand 0 bis haben .$d(x,E)=0$$x \notin E$$x$$UND$$UND$$X$$UND$

Die Fälle von Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie oder Abstand von einem Punkt zu einer Ebene sind nichts anderes als bestimmte Fälle des Abstands von einem Punkt zu einem Satz, wenn der euklidische Abstand berücksichtigt wird.

Die folgende Methode kann verwendet werden: Bei einem Punkt (n, m), der nicht zur Linie F (x) gehört, 1) Finden Sie die Gleichung der Linie senkrecht zu f (x), die durch (n, m) übergeht. Dies umfasst zwei Schritte: Finden der Steigung (senkrechte Steigung) und Finden des y-Achsenabschnitts (durch Ersetzen des Punktes (n, m) und Lösen). 2) Finden Sie den Schnittpunkt zwischen diesen beiden Linien. Dies umfasst zwei Schritte: Finde den x-Achsenabschnitt durch Gleichsetzen, finde den y-Achsenabschnitt durch Einsetzen von x in eine der beiden Gleichungen. Damit erhält man den Punkt (o,p) 3) Finden Sie den Abstand zwischen (n,m) und (o,p).

Abstand zwischen zwei Sätzen

Wenn ein metrisches Leerzeichen ist und , , , können wir den Abstand zwischen den Mengen und wie folgt definieren: $(Xd)$$A\subsetX$$B\subsetX$$Ein \ne \varnichts$$B \ne \varnichts$$EIN$$B.$

$d(A,B):= \inf \{d(x,y): x \in A, y \in B\}$. ]

Aus dem gleichen Grund wie zuvor wird es immer definiert. Aber das kann aber auch passieren und doch . Darüber hinaus können wir zwei abgeschlossene Mengen haben, deren Abstand 0 ist und die dennoch disjunkt sind, und sogar disjunkte Abschlüsse haben. $d(A,A)=0$$d(A,B)=0$$A \ne B$

Zum Beispiel das Set und der Satz . Einerseits , und andererseits . $A:= \{(x,0): x \in \mathbb{R}\}$$B:= \{(x,e^x): x \in \mathbb{R}\}$$A=\operatorname{cl}(A)$$B=\operatorname{cl}(B)$$A \cap B = \varnothing$$d(A,B)=0$

Der Abstand zwischen zwei Linien, der Abstand zwischen zwei Ebenen usw. Sie sind nur Sonderfälle des Abstands zwischen zwei Mengen, wenn der euklidische Abstand berücksichtigt wird.

Zusätzliche Bibliographie

• Weisstein, Eric W. „Entfernung“ . Wolfram Mathworld (auf Englisch) . Abgerufen am 5. Oktober 2022 . 
• "Abstand zwischen 2 Punkten" . Mathe macht Spaß . Abgerufen am 5. Oktober 2022 . 
• Chan, T.; Zhu, W. (2005 de). "Level Set -basierte Form vor der Segmentierung". 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05 ) 2 : 1164-1170. doi : 10.1109/cvpr.2005.212 . 
• «Die gerichtete Distanz» . Informations- und Telekommunikationstechnologiezentrum . Universität von Kansas. Archiviert vom Original am 10. November 2016 . Abgerufen am 18. September 2018 . 
• Malladi, R.; Sethian, J. A.; Vemuri, BC (von NaN). "Formmodellierung mit Frontausbreitung: ein Level-Set-Ansatz" . IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence (auf Englisch) 17 (2): 158-175. doi : 10.1109/34.368173 . 
• Elena Deza, Michel Deza (2006). Wörterbuch der Entfernungen (in Englisch) . Elsevier. ISBN  0-444-52087-2 . 

Siehe auch

• Mahalanobis-Distanz
• Methode der auf einen Punkt zentrierten Quadranten
• Verschiebung (Vektor)
• Flugbahn
• Erweiterte reale Linie
• Lebesgue-Maß
• Abstand von einem Punkt zu einer Linie