Vedischer Platz - Vedic square

In der indischen Mathematik ist ein vedisches Quadrat eine Variation einer typischen 9 × 9- Multiplikationstabelle, bei der der Eintrag in jeder Zelle die digitale Wurzel des Produkts der Spalten- und Zeilenüberschriften ist, dh der Rest, wenn das Produkt der Zeilen- und Spaltenüberschriften ist geteilt durch 9 (wobei der Rest 0 durch 9 dargestellt wird). Auf einem vedischen Quadrat können zahlreiche geometrische Muster und Symmetrien beobachtet werden, von denen einige in der traditionellen islamischen Kunst zu finden sind .

Das Hervorheben bestimmter Zahlen innerhalb des vedischen Quadrats zeigt unterschiedliche Formen mit jeweils einer Form von Reflexionssymmetrie .

${\ displaystyle \ circ}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	2	4	6	8	1	3	5	7	9
3	3	6	9	3	6	9	3	6	9
4	4	8	3	7	2	6	1	5	9
5	5	1	6	2	7	3	8	4	9
6	6	3	9	6	3	9	6	3	9
7	7	5	3	1	8	6	4	2	9
8	8	7	6	5	4	3	2	1	9
9	9	9	9	9	9	9	9	9	9

Algebraische Eigenschaften

Das vedische Quadrat kann als Multiplikationstabelle des Monoids angesehen werden, wobei die Menge der positiven ganzen Zahlen durch die Restklassen Modulo 9 unterteilt ist. (Der Operator bezieht sich auf die abstrakte "Multiplikation" zwischen den Elementen dieses Monoids). ${\ displaystyle ((\ mathbb {Z} / 9 \ mathbb {Z}) ^ {\ times}, \ {1, \ circ \})}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 9 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ circ}$

Wenn Elemente von dann sind, kann definiert werden als , wobei das Element 9 eher für die Restklasse 0 als für die traditionelle Wahl von 0 repräsentativ ist. ${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle ((\ mathbb {Z} / 9 \ mathbb {Z}) ^ {\ times}, \ {1, \ circ \})}$${\ displaystyle a \ circ b}$${\ displaystyle (a \ times b) \ mod {9}}$

Dies bildet keine Gruppe, da nicht jedes Nicht-Null-Element ein entsprechendes inverses Element hat . zum Beispiel gibt es aber keine solche . ${\ displaystyle 6 \ circ 3 = 9}$${\ displaystyle a \ in \ {1, \ cdots, 9 \}}$${\ displaystyle 9 \ circ a = 6.}$

Eigenschaften von Teilmengen

Die Teilmenge bildet eine zyklische Gruppe mit 2 als einer Wahl des Generators - dies ist die Gruppe der multiplikativen Einheiten im Ring . Jede Spalte und Zeile enthält alle sechs Zahlen - diese Teilmenge bildet also ein lateinisches Quadrat . ${\ displaystyle \ {1,2,4,5,7,8 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 9 \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ circ}$	1	2	4	5	7	8
1	1	2	4	5	7	8
2	2	4	8	1	5	7
4	4	8	7	2	1	5
5	5	1	2	7	8	4
7	7	5	1	8	4	2
8	8	7	5	4	2	1

Von zwei Dimensionen zu drei Dimensionen

Ein vedischer Würfel ist definiert als das Layout jeder digitalen Wurzel in einer dreidimensionalen Multiplikationstabelle .

Vedische Quadrate in einem höheren Radix

Vedisches Quadrat in Basis 100 (links) und 1000 (rechts)

Vedische Quadrate mit einem höheren Radix (oder einer höheren Zahlenbasis ) können berechnet werden, um die auftretenden symmetrischen Muster zu analysieren. Mit der obigen Berechnung , . Die Bilder in diesem Abschnitt sind farbcodiert, sodass die digitale Wurzel von 1 dunkel und die digitale Wurzel von (Basis-1) hell ist. ${\ displaystyle (a \ times b) \ mod {({\ textrm {base}} - 1)}}$

Siehe auch

• Lateinisches Quadrat
• Modulararithmetik
• Monoid

Verweise

• Deskins, WE (1996), Abstract Algebra , New York: Dover, S. 162–167, ISBN 0-486-68888-7
• Pritchard, Chris (2003), Die sich verändernde Form der Geometrie: Ein Jahrhundert Geometrie und Geometrieunterricht feiern , Großbritannien: Cambridge University Press, S. 119–122, ISBN 0-521-53162-4
• Ghannam, Talal (2012), Das Geheimnis der Zahlen: Aufgedeckt durch ihre digitale Wurzel , CreateSpace Publications, S. 68–73, ISBN 978-1-4776-7841-1
• Teknomo, Kadi (2005), Digitale Wurzel: Vedischer Platz
• Chia-Yu, Lin (2016), Digitale Wurzelmuster des dreidimensionalen Raums , Recreational Mathematics Magazine, S. 9–31, ISSN  2182-1976