Oberer Satz - Upper set

Ein Hasse-Diagramm der Potenzmenge der Menge {1,2,3,4}, wobei die obere Menge ↑{1} grün gefärbt ist. Die weißen Mengen bilden die untere Menge ↓{2,3,4}.

In der Mathematik ist ein oberer Satz (auch genannt nach oben geschlossenem Set , eine Verstimmung oder einen isotone Satz in X aus a) teilweise geordneten Satz ( X , ≤) ist eine Teilmenge S ⊆ X mit folgenden Eigenschaft: Wenn s ist in S und wenn x in x ist größer als s (dh , wenn s ≤ x ) ist , dann x in ist S . In Worten bedeutet dies, dass jedes x- Element von X , das zu einem Element von S ist, notwendigerweise auch ein Element von S ist . Der Begriff untere Satz (auch genannt unteren geschlossenen Satz , nach unten Satz , abnehmend Satz , Anfangssegment oder semi-ideale ist in ähnlicher Weise als eine Untermenge definiert) S von X mit der Eigenschaft , dass jedes Element x von X , die ≤ um einige ist Element von S ist notwendigerweise auch Element von S .

Definition

Seien Sie ein vorbestelltes Set . Eine obere Gruppe in (auch genannt ein nach oben geschlossenen Set , ein Verstimmung oder ein isotone Satz ist eine Untergruppe) , so dass , wenn und falls erfüllt , dann Das heißt, erfüllt: ${\displaystyle (X,\leq)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle u\leq x,}$${\displaystyle x\in U.}$${\displaystyle U}$

für alle wenn dann${\displaystyle u\in U}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle u\leq x}$${\displaystyle x\in U.}$

Der duale Begriff ist eine untere Gruppe (auch genannt eine nach unten abgeschlossene Menge , nach unten Satz , abnehmend Satz , Anfangssegment oder semi-ideale ), die eine Teilmenge ist , so dass, wenn und falls erfüllt , dann Das heißt, erfüllt: ${\displaystyle L\subseteq X}$${\displaystyle l\in L}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\leq l,}$${\displaystyle x\in L.}$${\displaystyle L}$

für alle wenn dann${\displaystyle l\in L}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\leq l}$${\displaystyle x\in L.}$

Die Begriffe Ordnungsideal oder Ideal werden manchmal als Synonyme für niedrigere Menge verwendet. Diese Wahl der Terminologie spiegelt nicht die Vorstellung eines Ideals eines Gitters wider, da eine untere Menge eines Gitters nicht notwendigerweise ein Untergitter ist.

Eigenschaften

• Jede teilweise geordnete Menge ist eine obere Menge ihrer selbst.
• Der Schnitt und die Vereinigung einer beliebigen Familie von oberen Mengen ist wieder eine obere Menge.
• Das Komplement jeder oberen Menge ist eine untere Menge und umgekehrt.
• Bei einer teilweise geordneten Menge ( X , ≤) ist die Familie der oberen Mengen von X, die mit der Inklusionsrelation geordnet sind, ein vollständiges Gitter , das obere Mengengitter .
• Bei einer beliebigen Teilmenge Y einer teilweise geordneten Menge X wird die kleinste obere Menge, die Y enthält, mit einem Aufwärtspfeil als ↑ Y bezeichnet (siehe oberer Abschluss und unterer Abschluss ).
  • Die kleinste untere Menge, die Y enthält, wird unter Verwendung eines Abwärtspfeils als Y bezeichnet .
• Eine untere Menge heißt Prinzipal, wenn sie die Form ↓{ x } hat, wobei x ein Element von X ist .
• Jede untere Menge Y einer endlichen teilgeordneten Menge X ist gleich der kleinsten unteren Menge, die alle maximalen Elemente von Y enthält : Y  = ↓Max( Y ) wobei Max( Y ) die Menge bezeichnet, die die maximalen Elemente von Y enthält .
• Eine gerichtete untere Menge wird Ordnungsideal genannt .
• Die minimalen Elemente einer beliebigen oberen Menge bilden eine Antikette .
  • Umgekehrt bestimmt jede Antikette A eine obere Menge { x : x ≥ y für irgendein y in A }. Für Teilordnungen, die die absteigende Kettenbedingung erfüllen, ist diese Entsprechung zwischen Antiketten und oberen Mengen 1-1, aber für allgemeinere Teilordnungen gilt dies nicht.

Oberer Verschluss und unterer Verschluss

Bei einem Element einer teilweise geordneten Menge definieren wir den oberen Abschluss oder den Aufwärtsabschluss von bezeichnet durch oder wird definiert durch: ${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\leq),}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x^{\uparrow X},}$ ${\displaystyle x^{\uparrow},}$${\displaystyle\uparrow x,}$

${\displaystyle x^{\uparrow X}=\uparrow x=\left\{u\in X:x\leq u\right\}}$

während der untere Abschluss oder Abwärtsabschluss von x , bezeichnet durch oder definiert ist durch: ${\displaystyle x^{\downarrow X},}$ ${\displaystyle x^{\downarrow},}$${\displaystyle \downarrow x,}$

${\displaystyle x^{\downarrow X}=\downarrow x=\left\{l\in X:l\leq x\right\}.}$

Die Mengen und sind jeweils die kleinsten oberen und unteren Mengen, die ein Element enthalten. Allgemeiner gegeben, eine Untergruppe definieren , die obere / Aufwärtsverschluss und die unteren / Abwärtsverschlüsse von A , bezeichnet durch und jeweils als ${\displaystyle\uparrow x}$${\displaystyle \downarrow x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A^{\uparrow X}}$${\displaystyle A^{\downarrow X}}$

${\displaystyle A^{\uparrow X}=A^{\uparrow}=\bigcup_{a\in A}\uparrow\!a}$      und      ${\displaystyle A^{\downarrow X}=A^{\downarrow}=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a.}$

Auf diese Weise gilt ↑ x = ↑{ x } und ↓ x = ↓{ x }, wobei obere und untere Mengen dieser Form als Prinzipal bezeichnet werden . Die oberen Verschlüsse und unteren Verschlüsse eines Satzes sind jeweils der kleinste obere Satz und der untere Satz, der ihn enthält.

Die oberen und unteren Abschlüsse, wenn sie als Funktion von der Potenzmenge von X zu sich selbst betrachtet werden, sind Beispiele für Abschlussoperatoren, da sie alle Kuratowski-Abschluss-Axiome erfüllen . Als Ergebnis ist der obere Abschluss einer Menge gleich dem Schnittpunkt aller oberen Mengen, die sie enthalten, und ähnlich für untere Mengen. Dies ist in der Tat ein allgemeines Phänomen von Abschlussoperatoren. Zum Beispiel ist der topologische Abschluss einer Menge der Schnittpunkt aller abgeschlossenen Mengen, die ihn enthalten; die Spanne einer Menge von Vektoren ist der Schnittpunkt aller Unterräume, die sie enthalten; die von einer Untergruppe einer Gruppe erzeugte Untergruppe ist die Schnittmenge aller Untergruppen, die sie enthalten; das von einer Teilmenge eines Rings erzeugte Ideal ist der Schnittpunkt aller Ideale, die ihn enthalten; und so weiter.

Man kann auch vom strengen oberen Abschluss eines Elements sprechen, der als { y ∈ X  : x < y } definiert ist, und allgemeiner vom strengen oberen Abschluss einer Teilmenge, der als Vereinigung der strengen oberen Abschlüsse seiner Elemente definiert ist, und wir können analoge Definitionen für strenge untere Abschlüsse treffen. Beachten Sie jedoch, dass diese 'Abschlüsse' eigentlich keine Abschlussoperatoren sind, da beispielsweise der strenge obere Abschluss einer Singleton-Menge { x } nicht { x } enthält. ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle A\subseteq X,}$

Ordnungszahlen

Eine Ordnungszahl wird normalerweise mit der Menge aller kleineren Ordnungszahlen identifiziert. Somit bildet jede Ordnungszahl eine untere Menge in der Klasse aller Ordnungszahlen, die vollständig nach Mengeneinschluss geordnet sind.

Siehe auch

• Kofinale Menge – eine Teilmenge U einer teilweise geordneten Menge ( X , ≤), die für jedes Element ein Element y enthält, so dass${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle x\leq y.}$

Verweise

• Blanck, J. (2000). "Domänendarstellungen topologischer Räume" (PDF) . Theoretische Informatik . 247 (1–2): 229–255. doi : 10.1016/s0304-3975(99)00045-6 .
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Konvergenzgrundlagen der Topologie . New Jersey: Weltwissenschaftlicher Verlag. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Hoffman, KH (2001), Die niedrigen Trennungsaxiome (T ₀ ) und (T ₁ )