Zustand der aufsteigenden Kette - Ascending chain condition

In der Mathematik sind die aufsteigende Kettenbedingung ( ACC ) und die absteigende Kettenbedingung ( DCC ) Endlichkeitseigenschaften, die von einigen algebraischen Strukturen erfüllt werden , vor allem Ideale in bestimmten kommutativen Ringen . Diese Bedingungen spielten eine wichtige Rolle bei der Entwicklung der Strukturtheorie kommutativer Ringe in den Werken von David Hilbert , Emmy Noether und Emil Artin . Die Bedingungen selbst können in abstrakter Form angegeben werden, so dass sie für jede teilweise geordnete Menge sinnvoll sind . Diese Sichtweise ist aufgrund von Gabriel und Rentschler in der abstrakten algebraischen Dimensionstheorie nützlich.

Definition

Eine teilweise geordnete Menge (Poset) P soll die Bedingung der aufsteigenden Kette (ACC) erfüllen, wenn keine unendliche streng aufsteigende Sequenz vorliegt

${\ displaystyle a_ {1} <a_ {2} <a_ {3} <\ cdots}$

von Elementen von P existiert. Entsprechend jede schwach aufsteigende Sequenz

${\ displaystyle a_ {1} \ leq a_ {2} \ leq a_ {3} \ leq \ cdots,}$

von Elementen von P stabilisiert sich schließlich, was bedeutet, dass es eine positive ganze Zahl n gibt, so dass

${\ displaystyle a_ {n} = a_ {n + 1} = a_ {n + 2} = \ cdots.}$

In ähnlicher Weise soll P die Bedingung der absteigenden Kette (DCC) erfüllen, wenn es keine unendliche absteigende Kette von Elementen von P gibt . Entsprechend jede schwach absteigende Sequenz

${\ displaystyle a_ {1} \ geq a_ {2} \ geq a_ {3} \ geq \ cdots}$

von Elementen von P stabilisiert sich schließlich.

Bemerkungen

• Unter der Annahme , das Axiom der abhängigen Wahl der absteigenden Kettenbedingung auf (möglicherweise unendliche) poset P entspricht P wird fundierte : jede nicht leere Untergruppe der P einen minimalen Element (auch der angerufene Minimalbedingung oder Minimalbedingung ). Ein vollständig geordnetes Set , das begründet ist, ist ein gut geordnetes Set .
• In ähnlicher Weise ist die aufsteigende Kettenbedingung gleichbedeutend damit, dass P umgekehrt begründet ist (wiederum unter der Annahme einer abhängigen Wahl): Jede nicht leere Teilmenge von P hat ein maximales Element (die maximale Bedingung oder die maximale Bedingung ).
• Jeder endliche Poset erfüllt sowohl die Bedingungen der aufsteigenden als auch der absteigenden Kette und ist somit sowohl begründet als auch umgekehrt begründet.

Beispiel

Betrachten Sie den Ring

${\ displaystyle \ mathbb {Z} = \ {\ dots, -3, -2, -1,0,1,2,3, \ dots \}}$

von ganzen Zahlen. Jedes Ideal von besteht aus allen Vielfachen einer bestimmten Zahl . Zum Beispiel das Ideal ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle I = \ {\ dots, -18, -12, -6,0,6,12,18, \ dots \}}$

besteht aus allen Vielfachen von . Lassen ${\ displaystyle 6}$

${\ displaystyle J = \ {\ dots, -6, -4, -2,0,2,4,6, \ dots \}}$

sei das Ideal, das aus allen Vielfachen von besteht . Das Ideal ist im Ideal enthalten , da jedes Vielfache auch ein Vielfaches von ist . Das Ideal ist wiederum im Ideal enthalten , da jedes Vielfache ein Vielfaches von ist . Zu diesem Zeitpunkt gibt es jedoch kein größeres Ideal; wir haben bei "aufgefüllt" . ${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle 6}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle 2}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Wenn überhaupt, sind Ideale , so dass in enthalten ist , ist auch enthalten , und so weiter, dann gibt es einige , für die alle . Das heißt, nach einem gewissen Punkt sind alle Ideale einander gleich. Daher erfüllen die Ideale die Bedingung der aufsteigenden Kette, wobei die Ideale nach Mengeneinschluss geordnet sind. Daher ist ein Noether-Ring . ${\ displaystyle I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}, \ dots}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle I_ {2}}$${\ displaystyle I_ {3}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle I_ {n} = I_ {n + 1} = I_ {n + 2} = \ cdots}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$

Siehe auch

• Artinian
• Aufsteigende Kettenbedingung für Hauptideale
• Krull-Dimension
• Maximaler Zustand bei Kongruenzen
• Noetherian

Anmerkungen

Verweise

• Atiyah, MF und IG MacDonald, Einführung in die kommutative Algebra , Perseus Books, 1969, ISBN   0-201-00361-9
• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Algebren, Ringe und Module . Kluwer Academic Publishers , 2004. ISBN   1-4020-2690-0
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Ein erster Kurs in abstrakter Algebra . Addison-Wesley Verlag. 5 ed., 1967. ISBN   0-201-53467-3
• Nathan Jacobson . Grundlegende Algebra I. Dover, 2009. ISBN   978-0-486-47189-1

Externe Links

• "Entspricht die Äquivalenz der Bedingung der aufsteigenden Kette und der Maximalbedingung dem Axiom der abhängigen Wahl?" .