Subalgebra - Subalgebra

In der Mathematik ist eine Subalgebra eine Teilmenge einer Algebra , die unter all ihren Operationen abgeschlossen ist und die induzierten Operationen trägt.

" Algebra ", wenn man sich auf eine Struktur bezieht, bedeutet oft einen Vektorraum oder ein Modul, das mit einer zusätzlichen bilinearen Operation ausgestattet ist. Algebren in der universellen Algebra sind viel allgemeiner: Sie sind eine gemeinsame Verallgemeinerung aller algebraischen Strukturen . "Subalgebra" kann sich auf beide Fälle beziehen.

Unteralgebren für Algebren über einem Ring oder Körper

Eine Subalgebra einer Algebra über einem kommutativen Ring oder Körper ist ein Vektorunterraum, der unter der Multiplikation von Vektoren abgeschlossen ist. Die Einschränkung der Algebramultiplikation macht sie zu einer Algebra über demselben Ring oder Feld. Dieser Begriff gilt auch für die meisten Spezialisierungen, bei denen die Multiplikation zusätzliche Eigenschaften erfüllen muss, zB für assoziative Algebren oder Lie-Algebren . Nur für unitale Algebren gibt es einen stärkeren Begriff der unitalen Subalgebra , für die es auch erforderlich ist, dass die Einheit der Subalgebra die Einheit der größeren Algebra ist.

Beispiel

Die 2×2-Matrizen über den reellen Zahlen bilden in offensichtlicher Weise eine unitale Algebra. Die 2×2-Matrizen, bei denen alle Einträge außer der ersten auf der Diagonalen Null sind, bilden eine Subalgebra. Sie ist auch unital, aber keine unitale Subalgebra.

Unteralgebren in der universellen Algebra

In universellen Algebra , eine Unteralgebra eines Algebra A ist eine Teilmenge S von A , die auch die Struktur einer Algebra des gleichen Typs hat , wenn die algebraischen Operationen beschränkt sind S . Wenn die Axiome einer Art algebraischer Struktur von beschrieben wird equational Gesetze , wie es typischerweise der Fall in Universal-Algebra ist, dann ist die einzige Sache , die Bedürfnisse zu prüfen ist , dass S ist geschlossen unter den Operationen.

Einige Autoren betrachten Algebren mit partiellen Funktionen . Für diese gibt es verschiedene Möglichkeiten, Subalgebren zu definieren. Eine weitere Verallgemeinerung von Algebren besteht darin, Relationen zuzulassen. Diese allgemeineren Algebren werden gewöhnlich als Strukturen bezeichnet und werden in der Modelltheorie und in der theoretischen Informatik untersucht . Für Strukturen mit Relationen gibt es Begriffe von schwachen und von induzierten Substrukturen .

Beispiel

Die Standardsignatur für Gruppen in der universellen Algebra ist beispielsweise (•, ⁻¹ , 1) . (Inversion und Einheit werden benötigt, um die richtigen Begriffe des Homomorphismus zu erhalten und damit die Gruppengesetze als Gleichungen ausgedrückt werden können.) Daher ist eine Untergruppe einer Gruppe G eine Untermenge S von G, so dass:

• die Identität e von G gehört zu S (so dass S unter der Identitätskonstantenoperation abgeschlossen ist);
• wann immer x zu S gehört , gilt auch x ⁻¹ (damit S unter der inversen Operation abgeschlossen ist);
• wann immer x und y zu S gehören , gehört auch x • y dazu (so dass S nach der Multiplikationsoperation der Gruppe abgeschlossen ist).

Verweise

• Bourbaki, Nicolas (1989), Elemente der Mathematik, Algebra I , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), A Course in Universal Algebra , Berlin, New York: Springer-Verlag