Linearer Unterraum - Linear subspace

Eindimensionale Unterräume im zweidimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper F 5 . Der mit grünen Kreisen markierte Ursprung (0, 0) gehört zu einem von sechs 1-Unterräumen, während jeder der 24 verbleibenden Punkte zu genau einem gehört; eine Eigenschaft, die für 1-Unterräume über jedem Feld und in allen Dimensionen gilt . Alle F 5 2 (dh ein 5 × 5 Quadrat) wird zur besseren Visualisierung viermal abgebildet

In der Mathematik und insbesondere in der linearen Algebra ist ein linearer Unterraum , auch als Vektorunterraum bekannt, ein Vektorraum , der eine Teilmenge eines größeren Vektorraums ist. Ein linearer Unterraum wird normalerweise einfach als Unterraum bezeichnet, wenn der Kontext dazu dient, ihn von anderen Arten von Unterräumen zu unterscheiden.

Definition

Wenn V ein Vektorraum über ein Feld K , und wenn W eine Teilmenge ist , V , dann W ist ein linearer Unterraum von V , wenn unter den Operationen von V , W ein Vektorraum über ist K . Äquivalent ist eine nichtleere Teilmenge W ein Unterraum von V, wenn, wenn w ₁ , w ₂ Elemente von W und α , β Elemente von K sind , folgt, dass αw ₁ + βw ₂ in W ist .

Als Folge davon sind alle Vektorräume mit mindestens zwei (möglicherweise unterschiedlichen) linearen Unterräumen ausgestattet: dem Nullvektorraum bestehend aus dem Nullvektor allein und dem gesamten Vektorraum selbst. Diese werden als triviale Unterräume des Vektorraums bezeichnet.

Beispiele

Beispiel I

Sei der Körper K die Menge R der reellen Zahlen und der Vektorraum V der reelle Koordinatenraum R ³ . Nehmen W die Menge aller Vektoren in sein V , deren letzte Komponente ist 0. Dann W ist ein Unterraum von V .

Nachweisen:

1. Gegeben u und v in W können sie als u = ( u ₁ , u ₂ , 0) und v = ( v ₁ , v ₂ , 0) ausgedrückt werden . Dann ist u + v = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0+0) = ( u ₁ + v ₁ , u ₂ + v ₂ , 0) . Somit ist u + v auch ein Element von W .
2. Gegeben u in W und ein Skalar c in R , wenn wieder u = ( u ₁ , u ₂ , 0) ist , dann ist c u = ( cu ₁ , cu ₂ , c 0) = ( cu ₁ , cu ₂ ,0) . Somit c u ein Element von W zu.

Beispiel II

Sei der Körper wieder R , aber nun sei der Vektorraum V die kartesische Ebene R ² . Nehmen W die Menge der Punkte (sein x , y ) von R ² , so dass x = y . Dann ist W ein Unterraum von R ² .

Nachweisen:

1. Seien p = ( p ₁ , p ₂ ) und q = ( q ₁ , q ₂ ) Elemente von W , dh Punkte in der Ebene mit p ₁ = p ₂ und q ₁ = q ₂ . Dann p + q = ( p ₁ + q ₁ , p ₂ + q ₂ ) ; da p ₁ = p ₂ und q ₁ = q ₂ , dann p ₁ + q ₁ = p ₂ + q ₂ , also ist p + q ein Element von W .
2. Sei p = ( p ₁ , p ₂ ) ein Element von W , dh ein Punkt in der Ebene mit p ₁ = p ₂ , und sei c ein Skalar in R . Dann c p = ( CP ₁ , CP ₂ ) ; da p ₁ = p ₂ , dann ist cp ₁ = cp ₂ , also ist c p ein Element von W .

Im Allgemeinen ergibt jede Teilmenge des reellen Koordinatenraums R ⁿ , die durch ein System homogener linearer Gleichungen definiert ist, einen Teilraum. (Die Gleichung in Beispiel I war z  = 0 und die Gleichung in Beispiel II war x  =  y .) Geometrisch sind diese Unterräume Punkte, Geraden, Ebenen und Räume, die durch den Punkt 0 gehen .

Beispiel III

Der Körper sei wieder R , aber nun sei der Vektorraum V die Menge R ^R aller Funktionen von R bis R . Sei C( R ) die Teilmenge bestehend aus stetigen Funktionen. Dann ist C( R ) ein Unterraum von R ^R .

Nachweisen:

1. Aus der Infinitesimalrechnung wissen wir, dass 0 ∈ C( R ) R ^R .
2. Aus der Analysis wissen wir, dass die Summe stetiger Funktionen stetig ist.
3. Auch hier wissen wir aus der Infinitesimalrechnung, dass das Produkt einer stetigen Funktion und einer Zahl stetig ist.

Beispiel IV

Behalten Sie den gleichen Körper und Vektorraum wie zuvor bei, betrachten Sie nun die Menge Diff( R ) aller differenzierbaren Funktionen . Dieselbe Art von Argument wie zuvor zeigt, dass dies ebenfalls ein Unterraum ist.

Beispiele, die diese Themen erweitern, sind in der Funktionsanalyse üblich .

Eigenschaften von Unterräumen

Aus der Definition der Vektorräume, folgt daraus , dass Teilräume nicht leer sind, und sind geschlossen unter Summen und unter skalaren Vielfachen. Äquivalent können Unterräume durch die Eigenschaft charakterisiert werden, unter Linearkombinationen abgeschlossen zu sein. Das heißt, eine nichtleere Menge W ist genau dann ein Unterraum, wenn jede Linearkombination endlich vieler Elemente von W auch zu W gehört . Die äquivalente Definition besagt, dass es auch äquivalent ist, Linearkombinationen von zwei Elementen gleichzeitig zu betrachten.

In einem topologischen Vektorraum X muss ein Unterraum W nicht topologisch abgeschlossen sein , aber ein endlichdimensionaler Unterraum ist immer abgeschlossen. Das gleiche gilt für Unterräume endlicher Kodimension (dh Unterräume, die durch eine endliche Anzahl stetiger linearer Funktionale bestimmt werden ).

Beschreibungen

Beschreibungen von Teilräumen umfassen die Lösungsmenge eines homogenen Systems linearer Gleichungen , die Teilmenge des euklidischen Raums, beschrieben durch ein System homogener linearer parametrischer Gleichungen , die Spanne einer Sammlung von Vektoren und den Nullraum , Spaltenraum und Zeilenraum von eine Matrix . Geometrisch (insbesondere über den Körper der reellen Zahlen und seine Unterfelder) ist ein Unterraum eine Ebene in einem n- Raum, die durch den Ursprung geht.

Eine natürliche Beschreibung eines 1-Unterraums ist die skalare Multiplikation eines von Null verschiedenen Vektors v mit allen möglichen Skalarwerten. 1-Unterräume, die durch zwei Vektoren angegeben werden, sind genau dann gleich, wenn ein Vektor durch skalare Multiplikation aus einem anderen erhalten werden kann:

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (oder }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf { v} '{\text{)}}}$

Diese Idee wird für höhere Dimensionen mit linearer Spanne verallgemeinert , aber Kriterien für die Gleichheit von k- Räumen, die durch Sätze von k- Vektoren spezifiziert werden , sind nicht so einfach.

Eine duale Beschreibung wird mit linearen Funktionalen (normalerweise als lineare Gleichungen implementiert) bereitgestellt . Ein von Null verschiedenes lineares Funktional F spezifiziert seinen Kern- Unterraum F  = 0 der Kodimension 1. Unterräume der Kodimension 1, die von zwei linearen Funktionalen spezifiziert werden, sind genau dann gleich, wenn ein Funktional durch Skalarmultiplikation (im Dualraum ) aus einem anderen erhalten werden kann. :

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (oder }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf { F} '{\text{)}}}$

Sie wird für höhere Kodimensionen mit einem Gleichungssystem verallgemeinert . Die folgenden zwei Unterabschnitte werden diese letztere Beschreibung im Detail präsentieren, und die verbleibenden vier Unterabschnitte beschreiben weiter die Idee der linearen Spannweite.

Lineare Gleichungssysteme

Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Variablen ist ein Unterraum im Koordinatenraum K ⁿ :

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\ !\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\ cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\; &&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\ cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$

Zum Beispiel die Menge aller Vektoren ( x ,  y ,  z ) (über reelle oder rationale Zahlen ) die die Gleichungen

${\displaystyle x+3y+2z=0\;\;\;\;{\text{und}}\;\;\;\;2x-4y+5z=0}$

ist ein eindimensionaler Unterraum. Allgemeiner gesagt, das heißt, dass bei einer gegebenen Menge von n unabhängigen Funktionen die Dimension des Unterraums in K ^k die Dimension der Nullmenge von A ist , der zusammengesetzten Matrix der n Funktionen.

Nullraum einer Matrix

In einem endlichdimensionalen Raum kann ein homogenes lineares Gleichungssystem als eine einzige Matrixgleichung geschrieben werden:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Die Menge der Lösungen dieser Gleichung wird als Nullraum der Matrix bezeichnet. Zum Beispiel ist der oben beschriebene Unterraum der Nullraum der Matrix

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

Jeder Unterraum von K ⁿ kann als Nullraum einer Matrix beschrieben werden (siehe § Algorithmen weiter unten).

Lineare parametrische Gleichungen

Die Teilmenge von K ^n, die durch ein System homogener linearer parametrischer Gleichungen beschrieben wird, ist ein Teilraum:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\ !\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12 }t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&a_ {22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1 }t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for einige }}t_{1},\ldots,t_{m}\in K\right\}.}$

Zum Beispiel die Menge aller Vektoren ( x ,  y ,  z ) parametrisiert durch die Gleichungen

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{und}} \;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

ist ein zweidimensionaler Unterraum von K ³ , falls K ein Zahlenkörper (wie reelle oder rationale Zahlen) ist.

Spanne der Vektoren

In der linearen Algebra kann das System parametrischer Gleichungen als einzelne Vektorgleichung geschrieben werden:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{ bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

Der rechte Ausdruck heißt Linearkombination der Vektoren (2, 5, −1) und (3, −4, 2). Diese beiden Vektoren sollen den resultierenden Unterraum überspannen .

Im Allgemeinen ist eine Linearkombination von Vektoren v ₁ ,  v ₂ , ... ,  v _k jeder Vektor der Form

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v}_{k}.}$

Die Menge aller möglichen Linearkombinationen wird Spanne genannt :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf{v}_{k}:t_{1},\ldots,t_{k}\in K\right\}.}$

Wenn die Vektoren v ₁ , ...,  v _k haben n - Komponenten, so ist ihre Spannweite ein Unterraum von K ⁿ . Geometrisch ist die Spanne die Ebene durch den Ursprung im n- dimensionalen Raum, bestimmt durch die Punkte v ₁ , ... ,  v _k .

Beispiel

Die xz -Ebene in R ³ kann durch die Gleichungen

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

Als Unterraum wird die xz -Ebene von den Vektoren (1, 0, 0) und (0, 0, 1) aufgespannt. Jeder Vektor in der xz- Ebene kann als Linearkombination dieser beiden geschrieben werden:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

Geometrisch entspricht dies der Tatsache, dass jeder Punkt auf der xz- Ebene vom Ursprung aus erreicht werden kann, indem man zuerst eine Strecke in Richtung (1, 0, 0) und dann eine Strecke in Richtung (0, 0 , 1).

Spaltenabstand und Zeilenabstand

Ein System linearer parametrischer Gleichungen in einem endlichdimensionalen Raum kann auch als einzelne Matrixgleichung geschrieben werden:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{ 2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

In diesem Fall besteht der Unterraum aus allen möglichen Werten des Vektors x . In der linearen Algebra ist dieser Unterraum als Spaltenraum (oder Bild ) der Matrix A bekannt . Es ist genau der von den Spaltenvektoren von A aufgespannte Unterraum von K ⁿ .

Der Zeilenraum einer Matrix ist der von ihren Zeilenvektoren aufgespannte Unterraum. Der Zeilenraum ist interessant, weil er das orthogonale Komplement des Nullraums ist (siehe unten).

Unabhängigkeit, Basis und Dimension

Im Allgemeinen hat ein Unterraum von K ⁿ bestimmt durch k Parameter (oder aufgespannt durch k Vektoren) die Dimension k . Es gibt jedoch Ausnahmen von dieser Regel. Zum Beispiel ist der Unterraum von K ³ aufgespannt durch die drei Vektoren (1, 0, 0), (0, 0, 1) und (2, 0, 3) nur die xz- Ebene, wobei jeder Punkt auf der Ebene beschrieben durch unendlich viele verschiedene Werte von t ₁ , t ₂ , t ₃ .

Im Allgemeinen heißen Vektoren v ₁ , ... ,  v _k linear unabhängig, wenn

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{ 1}+\cdots+u_{k}\mathbf{v}_{k}}$

für ( t ₁ ,  t ₂ , ... ,  t _k ) ( u ₁ ,  u ₂ , ... ,  u _k ). Wenn v ₁ , ..., v _k linear unabhängig sind, dann sind die Koordinaten t ₁ , ..., t _k für einen Vektor in der Spanne eindeutig bestimmt.

Eine Basis für einen Unterraum S ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren, deren Spannweite S ist . Die Anzahl der Elemente in einer Basis ist immer gleich der geometrischen Dimension des Unterraums. Jede aufspannende Menge für einen Unterraum kann in eine Basis umgewandelt werden, indem redundante Vektoren entfernt werden (siehe § Algorithmen unten für mehr).

Beispiel

Sei S der Unterraum von R ⁴ definiert durch die Gleichungen

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{und}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Dann sind die Vektoren (2, 1, 0, 0) und (0, 0, 5, 1) eine Basis für S . Insbesondere kann jeder Vektor, der die obigen Gleichungen erfüllt, eindeutig als Linearkombination der beiden Basisvektoren geschrieben werden:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5, 1).}$

Der Unterraum S ist zweidimensional. Geometrisch ist es die Ebene in R ^4, die durch die Punkte (0, 0, 0, 0) verläuft, (2, 1, 0, 0) und (0, 0, 5, 1).

Operationen und Beziehungen auf Unterräumen

Aufnahme

Die binäre mengentheoretische Inklusionsrelation spezifiziert eine partielle Ordnung auf der Menge aller Unterräume (jeglicher Dimension).

Ein Unterraum kann in keinem Unterraum geringerer Dimension liegen. Wenn dim  U  =  k , eine endliche Zahl, und U  ⊂  W ist , dann ist dim  W  =  k genau dann, wenn U  =  W .

Überschneidung

Gegeben Unterräume U und W eines Vektorraums V , dann ist deren Durchschnitt U  ∩  W  := { v  ∈  V  : v  Element von U und  W } auch ein Unterraum von V .

Nachweisen:

1. Seien v und w Elemente von U  ∩  W . Dann gehören v und w sowohl zu U als auch zu W . Da U ein Unterraum ist, gehört v  +  w zu U . Da W ein Unterraum ist, gehört auch v  +  w zu W . Somit gehört v  +  w zu U  ∩  W .
2. Sei v zu U  ∩  W , und sei c ein Skalar. Dann gehört v sowohl zu U als auch zu W . Da U und W Unterräume sind, gehört c v sowohl zu U als auch zu  W .
3. Da U und W Vektorräume sind, gehört 0 zu beiden Mengen. Somit gehört 0 zu U  ∩  W .

Für jeden Vektorraum V sind die Menge { 0 } und V selbst Unterräume von V .

Summe

Wenn U und W Unterräume sind, ist ihre Summe der Unterraum

${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf{u} +\mathbf{w}\colon\mathbf{u}\in U,\mathbf{w}\in W\right\}.}$

Die Summe zweier Linien ist beispielsweise die Ebene, die beide enthält. Die Dimension der Summe erfüllt die Ungleichung

${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$

Hier tritt das Minimum nur auf, wenn ein Unterraum im anderen enthalten ist, während das Maximum der allgemeinste Fall ist. Die Dimension des Schnittpunkts und die Summe hängen durch die folgende Gleichung zusammen:

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$

Eine Menge von Unterräumen ist unabhängig, wenn der einzige Schnittpunkt zwischen einem Paar von Unterräumen der triviale Unterraum ist. Die direkte Summe ist die Summe unabhängiger Unterräume, geschrieben als . Eine äquivalente Neuformulierung ist, dass eine direkte Summe eine Unterraumsumme ist, unter der Bedingung, dass jeder Unterraum zur Spanne der Summe beiträgt. ${\displaystyle U\oplus W}$

Die Dimension einer direkten Summe ist dieselbe wie die Summe der Unterräume, kann aber verkürzt werden, da die Dimension des trivialen Unterraums Null ist. ${\displaystyle U\oplus W}$

Gitter von Unterräumen

Die Operationen Schnitt und Summe machen die Menge aller Unterräume zu einem beschränkten modularen Gitter , wobei der {0} Unterraum , das kleinste Element , ein Identitätselement der Summenoperation ist und der identische Unterraum V , das größte Element, ein Identitätselement ist des Kreuzungsbetriebs.

Orthogonale Ergänzungen

Wenn ein innerer Produktraum und eine Teilmenge von ist , dann ist das orthogonale Komplement von , bezeichnet mit , wieder ein Unterraum. Wenn endlichdimensional und ein Unterraum ist, dann erfüllen die Dimensionen von und die komplementäre Beziehung . Außerdem ist kein Vektor orthogonal zu sich selbst, also ist und die direkte Summe von und . Durch zweimaliges Anwenden orthogonaler Komplemente wird der ursprüngliche Unterraum zurückgegeben: für jeden Unterraum . ${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp}}$${\displaystyle \dim(N)+\dim(N^{\perp})=\dim(V)}$${\displaystyle N\cap N^{\perp}=\{0\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{\perp}}$${\displaystyle (N^{\perp})^{\perp}=N}$${\displaystyle N}$

Diese als Negation ( ) verstandene Operation macht das Gitter von Unterräumen zu einem (möglicherweise unendlichen ) orthokomplementären Gitter (wenn auch nicht zu einem distributiven Gitter). ${\displaystyle \neg}$

In Räumen mit anderen bilinearen Formen gelten einige, aber nicht alle dieser Ergebnisse noch. In pseudoeuklidischen Räumen und symplektischen Vektorräumen existieren beispielsweise orthogonale Komplemente. Diese Räume können jedoch Nullvektoren haben , die zu sich selbst orthogonal sind, und folglich existieren Unterräume wie . Als Ergebnis verwandelt diese Operation das Gitter von Unterräumen nicht in eine Boolesche Algebra (oder eine Heyting-Algebra ). ${\displaystyle N}$${\displaystyle N\cap N^{\perp}\neq \{0\}}$

Algorithmen

Die meisten Algorithmen zum Umgang mit Unterräumen beinhalten eine Zeilenreduktion . Dies ist der Vorgang, bei dem elementare Zeilenoperationen auf eine Matrix angewendet werden, bis sie entweder die Zeilenstufenform oder die reduzierte Zeilenstufenform erreicht . Die Zeilenreduzierung hat die folgenden wichtigen Eigenschaften:

1. Die reduzierte Matrix hat den gleichen Nullraum wie das Original.
2. Die Zeilenreduktion verändert die Spanne der Zeilenvektoren nicht, dh die reduzierte Matrix hat den gleichen Zeilenabstand wie das Original.
3. Die Zeilenreduktion beeinflusst die lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren nicht.

Basis für einen Zeilenraum

Eingabe An m  ×  n Matrix A .

Ausgabe A Basis für den Zeilenraum von A .

1. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in die Zeilenstufenform zu bringen.
2. Die von Null verschiedenen Zeilen der Stufenform sind eine Basis für den Zeilenraum von A .

Ein Beispiel finden Sie im Artikel über Zeilenabstand .

Wenn wir stattdessen die Matrix A in eine reduzierte Zeilenstufenform bringen, dann ist die resultierende Basis für den Zeilenraum eindeutig bestimmt. Dies stellt einen Algorithmus zum Prüfen bereit, ob zwei Zeilenräume gleich sind und ob zwei Unterräume von K ⁿ gleich sind.

Subspace-Mitgliedschaft

Geben Sie eine Basis { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } für einen Unterraum S von K ⁿ und einen Vektor v mit n Komponenten ein.

Ausgabe Bestimmt, ob v ein Element von S . ist

1. Erzeuge eine ( k  + 1) ×  n Matrix A, deren Zeilen die Vektoren b ₁ , ... ,  b _k und v sind .
2. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in die Zeilenstufenform zu bringen.
3. Wenn die Staffelform eine Reihe von Nullen hat, dann sind die Vektoren { b ₁ , ..., b _k , v } linear abhängig und daher v ∈ S .

Basis für einen Spaltenraum

Eingang An m  ×  n- Matrix A

Ausgabe A Basis für den Spaltenraum von A

1. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in die Zeilenstufenform zu bringen.
2. Bestimmen Sie, welche Spalten des Stufenformulars Pivots haben . Grundlage für den Spaltenraum sind die entsprechenden Spalten der Originalmatrix.

Ein Beispiel finden Sie im Artikel zum Spaltenraum .

Dies erzeugt eine Basis für den Spaltenraum, die eine Teilmenge der ursprünglichen Spaltenvektoren ist. Es funktioniert, weil die Spalten mit Pivots eine Basis für den Spaltenraum der Staffelform sind und die Zeilenreduktion die linearen Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Spalten nicht ändert.

Koordinaten für einen Vektor

Geben Sie A Basis { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } für einen Unterraum S von K ⁿ und einen Vektor v ∈ S . ein

Ausgabenummern t ₁ , t ₂ , ..., t _k , so dass v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Erstellen Sie eine erweiterte Matrix A, deren Spalten b ₁ ,..., b _{k sind} , wobei die letzte Spalte v ist .
2. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in eine reduzierte Zeilenstufenform zu bringen.
3. Drücken Sie die letzte Spalte der reduzierten Staffelform als Linearkombination der ersten k Spalten aus. Die verwendeten Koeffizienten sind die gewünschten Zahlen t ₁ , t ₂ , ..., t _k . (Dies sollten genau die ersten k Einträge in der letzten Spalte der reduzierten Staffelform sein.)

Wenn die letzte Spalte der reduzierten Zeilenstufenform einen Pivot enthält, liegt der Eingabevektor v nicht in S .

Basis für einen Nullraum

Eingabe An m  ×  n Matrix A .

Ausgabe A Basis für den Nullraum von A

1. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in eine reduzierte Zeilenstufenform zu bringen.
2. Bestimmen Sie unter Verwendung der reduzierten Zeilenstufenform, welche der Variablen x ₁ , x ₂ , ..., x _n frei sind. Schreiben Sie Gleichungen für die abhängigen Variablen in Bezug auf die freien Variablen.
3. Wähle für jede freie Variable x _i einen Vektor im Nullraum, für den x _i = 1 ist und die restlichen freien Variablen null sind. Die resultierende Sammlung von Vektoren ist eine Basis für den Nullraum von A .

Ein Beispiel finden Sie im Artikel über Nullraum .

Basis für Summe und Schnitt zweier Unterräume

Gegeben zwei Unterräume U und W von V kann eine Basis der Summe und des Schnitts mit dem Zassenhaus-Algorithmus berechnet werden${\displaystyle U+W}$${\displaystyle U\cap W}$

Gleichungen für einen Unterraum

Eingabe A Basis { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } für einen Unterraum S von K ⁿ

Ausgabe Eine ( n  −  k ) ×  n- Matrix, deren Nullraum S ist .

1. Erstellen Sie eine Matrix A, deren Zeilen b ₁ , b ₂ , ..., b _{k sind} .
2. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, um A in eine reduzierte Zeilenstufenform zu bringen.
3. Seien c ₁ , c ₂ , ..., c _n die Spalten der reduzierten Zeilenstufenform. Schreiben Sie für jede Spalte ohne Pivot eine Gleichung, die die Spalte als Linearkombination der Spalten mit Pivot ausdrückt.
4. Dies ergibt ein homogenes System von n − k linearen Gleichungen mit den Variablen c ₁ ,..., c _n . Die diesem System entsprechende ( n − k ) × n- Matrix ist die gesuchte Matrix mit dem Nullraum S .

Beispiel

Wenn die reduzierte Reihe von Echelon Form A ist

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\; \;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

dann erfüllen die Spaltenvektoren c ₁ , ..., c ₆ die Gleichungen

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf { c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6} &=4\mathbf{c}_{2}-9\mathbf{c}_{4}\end{alignedat}}}$

Daraus folgt, dass die Zeilenvektoren von A die Gleichungen

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4} \\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

Insbesondere die Zeilenvektoren von A sind eine Basis für den Nullraum der entsprechenden Matrix.

Siehe auch

• Zyklischer Unterraum
• Invarianter Unterraum
• Multilineares Subraum-Lernen
• Quotientenraum (lineare Algebra)
• Signalunterraum
• Unterraumtopologie

Anmerkungen

Zitate

Quellen

Lehrbuch

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Netz

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Externe Links

• Strang, Gilbert (7. Mai 2009). „Die vier fundamentalen Unterräume“ . Abgerufen am 17. Februar 2021 – über YouTube .
• Strang, Gilbert (5. Mai 2020). "Das große Bild der linearen Algebra" . Abgerufen am 17. Februar 2021 – über YouTube .