Prime-Zählfunktion - Prime-counting function

In der Mathematik , der Prime-Zählfunktion ist die Funktion , die Anzahl der Zählung Primzahlen kleiner oder gleich einem reellen Zahl x . Es wird mit π ( x ) bezeichnet (unabhängig von der Zahl π ).

Die Werte von π ( n ) für die ersten 60 positiven ganzen Zahlen

Geschichte

Von großem Interesse in der Zahlentheorie ist die Wachstumsrate der Primzahlzählfunktion. Es wurde vermutet , am Ende des 18. Jahrhunderts von Gauss und von Legendre sein ca.

${\displaystyle {\frac {x}{\log(x)}}}$

in dem Sinne, dass

${\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty }{\frac {\pi(x)}{x/\log(x)}}=1.}$

Diese Aussage ist der Primzahlensatz . Eine äquivalente Aussage ist

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty}\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1}$

wobei li die logarithmische Integralfunktion ist. Der Primzahlsatz wurde erstmals im Jahr 1896 von beweist Jacques Hadamard und von Charles de la Vallée Poussin unabhängig anhand der Eigenschaften der Funktion Riemann zeta durch eingeführt Riemann in 1859. Proofs des Primzahlsatzes nicht die Zeta - Funktion oder mit komplexer Analyse wurden gefunden um 1948 von Atle Selberg und von Paul Erdős (größtenteils unabhängig).

1899 bewies de la Vallée Poussin , dass (siehe auch Satz 23 von)

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x \zu \infty}$

für eine positive Konstante a . Hier ist O (...) die große O- Notation .

Genauere Schätzungen sind inzwischen bekannt. Das hat beispielsweise Kevin Ford 2002 bewiesen ${\displaystyle \pi(x)\!}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \ log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).}$

Mossinghoff und Trudgian haben eine explizite obere Schranke für die Differenz zwischen und nachgewiesen : ${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$

${\displaystyle {\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}} \exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)}$

für . ${\displaystyle x\geq 229}$

Für die meisten von uns interessierenden Werte (dh wenn nicht unangemessen groß ist) ist größer als . Es ist jedoch bekannt, das Vorzeichen unendlich oft zu ändern. Eine Diskussion dazu finden Sie in Skewes' Nummer . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$

Genaues Formular

Für let wenn eine Primzahl ist , und sonst. Von grundlegender Bedeutung hat Bernhard Riemann bewiesen, dass dies ebenbürtig ist ${\displaystyle x>1}$${\displaystyle \pi_{0}(x)=\pi(x)-1/2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pi_{0}(x)=\pi(x)}$ ${\displaystyle \pi_{0}(x)}$

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })}$

wo

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/ n}),}$

μ ( n ) ist die Möbius - Funktion , Li ( x ) wird den Integrallogarithmus , ρ Indizes jede Null der zeta - Funktion Riemann und Li ( x ^{ρ / n} ) nicht mit einem ausgewerteten Verzweigungsschnitt , sondern als als Ei ( ρ/nlog x ) wobei Ei( x ) das Exponentialintegral ist . Wenn die trivialen Nullstellen gesammelt werden und die Summe nur über die nicht-trivialen Nullstellen ρ der Riemannschen Zetafunktion gebildet wird , dann kann angenähert werden durch ${\displaystyle \pi_{0}(x)}$

${\displaystyle \pi _{0}(x)\approx \operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho})-{\frac {1} {\log {x}}}+{\frac {1}{\pi}}\arctan {\frac {\pi }{\log {x}}}.}$

Die Riemann-Hypothese legt nahe, dass jede solche nicht-triviale Nullstelle entlang Re( s ) =1/2.

Tabelle von π ( x ), x / log x und li ( x )

Die Tabelle zeigt den Vergleich der drei Funktionen π ( x ), x / log x und li( x ) bei Zehnerpotenzen. Siehe auch und

x	π ( x )	π ( x ) − x / log x	li( x ) − π ( x )	x / π ( x )	x / log x  % Fehler
10	4	−0,3	2.2	2.500	-7,5%
10 2	25	3.3	5.1	4.000	13,20%
10 3	168	23	10	5.952	13,69%
10 4	1.229	143	17	8.137	11,64%
10 5	9.592	906	38	10.425	9,45%
10 6	78.498	6.116	130	12.740	7,79 %
10 7	664.579	44.158	339	15.047	6,64%
10 8	5.761.455	332.774	754	17.357	5,78%
10 9	50.847.534	2.592.592	1.701	19.667	5,10 %
10 10	455.052.511	20.758.029	3.104	21.975	4,56%
10 11	4.118.054.813	169.923.159	11.588	24.283	4,13%
10 12	37.607.912.018	1.416.705.193	38.263	26.590	3,77%
10 13	346.065.536.839	11.992.858.452	108.971	28.896	3,47%
10 14	3.204.941.750.802	102.838.308.636	314.890	31.202	3.21%
10 15	29.844.570.422.669	891.604.962.452	1.052.619	33.507	2,99%
10 16	279.238.341.033.925	7.804.289.844.393	3.214.632	35.812	2,79 %
10 17	2.623.557.157.654.233	68.883.734.693.281	7.956.589	38.116	2,63%
10 18	24.739.954.287.740.860	612.483.070.893.536	21.949.555	40.420	2,48 %
10 19	234.057.667.276.344.607	5.481.624.169.369.960	99.877.775	42.725	2,34 %
10 20	2.220.819.602.560.918.840	49.347.193.044.659.701	222.744.644	45.028	2,22%
10 21	21.127.269.486.018.731.928	446.579.871.578.168.707	597.394.254	47.332	2,11 %
10 22	201.467.286.689.315.906.290	4.060.704.006.019.620.994	1.932.355.208	49.636	2.02%
10 23	1.925.320.391.606.803.968.923	37.083.513.766.578.631.309	7.250.186.216	51.939	1,93%
10 24	18.435.599.767.349.200.867.866	339.996.354.713.708.049.069	17.146.907.278	54.243	1,84%
10 25	176.846.309.399.143.769.411.680	3.128.516.637.843.038.351.228	55.160.980.939	56.546	1,77 %
10 26	1.699.246.750.872.437.141.327.603	28.883.358.936.853.188.823.261	155.891.678.121	58.850	1,70%
10 27	16.352.460.426.841.680.446.427.399	267.479.615.610.131.274.163.365	508.666.658.006	61.153	1,64%

Graph, der das Verhältnis der Primzahlzählfunktion π ( x ) zu zwei ihrer Näherungen, x /log x und Li( x ) zeigt. Mit zunehmendem x (beachte, dass die x- Achse logarithmisch ist) tendieren beide Verhältnisse gegen 1. Das Verhältnis für x /log x konvergiert von oben sehr langsam, während das Verhältnis für Li( x ) von unten schneller konvergiert.

In der Online -Encyclopedia of Integer Sequences ist die Spalte π ( x ) die Sequenz OEIS :  A006880 , π ( x ) - x /log x ist die Sequenz OEIS :  A057835 , und li( x ) - π ( x ) ist die Sequenz OEIS :  A057752 .

Der Wert für π (10 ²⁴ ) wurde ursprünglich von J. Buethe, J. Franke , A. Jost und T. Kleinjung unter Annahme der Riemann-Hypothese berechnet . Es wurde später in einer Berechnung von DJ Platt bedingungslos verifiziert. Der Wert für π (10 ²⁵ ) stammt von J. Buethe, J. Franke , A. Jost und T. Kleinjung. Der Wert für π (10 ²⁶ ) wurde von DB Staple berechnet. Alle anderen früheren Einträge in dieser Tabelle wurden ebenfalls im Rahmen dieser Arbeit überprüft.

Der Wert für 10 ²⁷ wurde 2015 von David Baugh und Kim Walisch bekannt gegeben.

Algorithmen zur Auswertung von π ( x )

Ein einfacher Weg, um herauszufinden , ob , wenn nicht zu groß ist, besteht darin, das Sieb von Eratosthenes zu verwenden, um die Primzahlen kleiner oder gleich zu produzieren und sie dann zu zählen. ${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Eine ausgefeiltere Methode zum Finden ist auf Legendre zurückzuführen (unter Verwendung des Einschluss-Ausschluss-Prinzips ): Wenn gegeben , wenn verschiedene Primzahlen sind, dann ist die Anzahl der ganzen Zahlen kleiner oder gleich, die durch no teilbar sind ${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum_{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor { \frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum_{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j} p_{k}}}\right\rfloor +\cdots}$

(wo bezeichnet die Bodenfunktion ). Diese Zahl ist daher gleich ${\displaystyle \lfloor {x}\rfloor}$

${\displaystyle \pi(x)-\pi\left({\sqrt {x}}\right)+1}$

wenn die Zahlen Primzahlen kleiner oder gleich der Quadratwurzel von sind . ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle x}$

Der Meissel-Lehmer-Algorithmus

In einer Reihe von Artikeln, die zwischen 1870 und 1885 veröffentlicht wurden, beschrieb (und verwendete) Ernst Meissel eine praktische kombinatorische Methode zur Bewertung von . Seien die ersten Primzahlen und bezeichne durch die Anzahl der natürlichen Zahlen, die nicht größer sind als die durch nein teilbar sind . Dann ${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Phi (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left({\frac{m}{p_{n}}},n-1\right).}$

Gegeben eine natürliche Zahl , wenn und wenn , dann ${\displaystyle m}$${\displaystyle n=\pi\left({\sqrt[{3}]{m}}\right)}$${\displaystyle \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n}$

${\displaystyle \pi(m)=\Phi(m,n)+n(\mu+1)+{\frac {\mu^{2}-\mu}{2}}-1-\sum_{ k=1}^{\mu}\pi\left({\frac{m}{p_{n+k}}}\right).}$

Unter Verwendung dieses Ansatzes berechnete Meissel für gleich 5 × 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ und 10 ⁸ . ${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle x}$

1959 erweiterte und vereinfachte Derrick Henry Lehmer die Methode von Meissel. Definieren, für echte und für natürliche Zahlen und , wie die Anzahl der Zahlen nicht größer als m mit genau k Primfaktoren, die alle größer als . Stellen Sie außerdem . Dann ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle P_{k}(m,n)}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle P_{0}(m,n)=1}$

${\displaystyle \Phi(m,n)=\sum_{k=0}^{+\infty}P_{k}(m,n)}$

wobei die Summe tatsächlich nur endlich viele Terme ungleich Null hat. Lassen Sie eine ganze Zahl wie bezeichnen , und Satz . Dann und wann . Deswegen, ${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}}$${\displaystyle n=\pi(y)}$${\displaystyle P_{1}(m,n)=\pi(m)-n}$${\displaystyle P_{k}(m,n)=0}$${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle \pi(m)=\Phi(m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

Die Berechnung von kann auf diese Weise erhalten werden: ${\displaystyle P_{2}(m,n)}$

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum_{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi\left({\frac {m}{p}}\right )-\pi(p)+1\rechts),}$

wobei die Summe über den Primzahlen liegt.

Andererseits kann die Berechnung von nach den folgenden Regeln erfolgen: ${\displaystyle \Phi (m,n)}$

1. ${\displaystyle \Phi(m,0)=\lfloor m\rfloor}$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi\left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

Mit seiner Methode und einem IBM 701 konnte Lehmer rechnen . ${\displaystyle \pi \left(10^{10}\right)}$

Weitere Verbesserungen dieser Methode wurden von Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise und Rivat vorgenommen.

Andere Primzahlzählfunktionen

Andere Funktionen zum Zählen von Primzahlen werden ebenfalls verwendet, da sie bequemer zu handhaben sind. Eine davon ist die Riemannsche Primzahlzählfunktion, die normalerweise als oder bezeichnet wird . Dieser hat Sprünge von 1/ n für Primzahlen p ⁿ , wobei er bei Diskontinuitäten einen Wert auf halbem Weg zwischen den beiden Seiten annimmt. Dieses zusätzliche Detail wird verwendet, weil dann die Funktion durch eine inverse Mellin-Transformation definiert werden kann . Formal können wir definieren durch ${\displaystyle \Pi_{0}(x)}$${\displaystyle J_{0}(x)}$${\displaystyle \Pi_{0}(x)}$

${\displaystyle \Pi_{0}(x)={\frac {1}{2}}\left(\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ + \sum _{p^{n}\leq x}{\frac{1}{n}}\right)}$

wobei p eine Primzahl ist.

Wir dürfen auch schreiben

${\displaystyle \Pi_{0}(x)=\sum_{n=2}^{x}{\frac {\Lambda(n)}{\log n}}-{\frac {1}{2 }}{\frac{\Lambda(x)}{\log x}}=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{n}}\pi_{0}{\ bigl (}x^{1/n}{\bigr)}}$

wo ist die von Mangoldt-Funktion und ${\displaystyle \Lambda(n)}$

${\displaystyle \pi_{0}(x)=\lim_{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon)+\pi (x+\varepsilon)}{2}}.}$

Die Möbius-Inversionsformel liefert dann

${\displaystyle \pi_{0}(x)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {\mu(n)}{n}}\Pi_{0}{\bigl ( }x^{1/n}{\bigr)}}$

Wenn wir die Beziehung zwischen dem Logarithmus der Riemann-Zeta-Funktion und der von Mangoldt-Funktion kennen und die Perron-Formel verwenden , haben wir ${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle \log\zeta(s)=s\int_{0}^{\infty}\Pi_{0}(x)x^{-s-1}\,dx}$

Die Chebyshev-Funktion gewichtet Primzahlen oder Primzahlen p ⁿ mit log( p ):

${\displaystyle \theta(x)=\sum _{p\leq x}\log p}$

${\displaystyle \psi(x)=\sum _{p^{n}\leq x}\log p=\sum _{n=1}^{\infty}\theta {\bigl(}x^{1 /n}{\bigr)}=\sum_{n\leq x}\Lambda(n).}$

Formeln für Primzahlenzählfunktionen

Es gibt zwei Arten von Formeln für Primzahlenzählfunktionen: arithmetische Formeln und analytische Formeln. Analytische Formeln für das Primzahlenzählen waren die ersten, die verwendet wurden, um den Primzahlsatz zu beweisen . Sie stammen aus der Arbeit von Riemann und von Mangoldt und werden allgemein als explizite Formeln bezeichnet .

Wir haben den folgenden Ausdruck für ψ :

${\displaystyle \psi_{0}(x)=x-\sum_{\rho }{\frac {x^{\rho}}{\rho}}-\log 2\pi -{\frac {1 }{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}$

wo

${\displaystyle \psi_{0}(x)=\lim_{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon)+\psi (x+\varepsilon)}{2}}.}$

Dabei sind ρ die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion im kritischen Streifen, wobei der Realteil von ρ zwischen Null und Eins liegt. Die Formel gilt für Werte von x größer als eins, was den interessierenden Bereich darstellt. Die Summe über den Wurzeln ist bedingt konvergent und sollte in der Reihenfolge des steigenden Absolutwertes des Imaginärteils genommen werden. Beachten Sie, dass die gleiche Summe über die trivialen Wurzeln den letzten Subtrahend in der Formel ergibt.

Denn wir haben eine kompliziertere Formel ${\displaystyle \Pi_{0}(x)}$

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int _ {x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}$

Riemanns explizite Formel mit den ersten 200 nicht-trivialen Nullstellen der Zetafunktion

Auch hier gilt die Formel für x > 1, während ρ die nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion nach ihrem Absolutwert geordnet sind. Das Integral ist gleich der Reihe über die trivialen Nullstellen:

${\displaystyle \int _{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int _{ x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}(\sum_{m}t^{-2m})\,\mathrm {d} t=\sum_{m}\ int _{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{ -2m})}{=}}-\sum_{m}\operatorname {li} (x^{-2m})}$

Der erste Term li( x ) ist die übliche logarithmische Integralfunktion ; der Ausdruck li( x ^ρ ) im zweiten Term sollte als Ei( ρ  log  x ) betrachtet werden, wobei Ei die analytische Fortsetzung der Exponentialintegralfunktion von negativen reellen Zahlen zur komplexen Ebene mit Verzweigungsschnitt entlang der positiven reellen Zahlen ist.

Somit gibt uns die Möbius-Inversionsformel

${\displaystyle \pi_{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho}\operatorname {R} (x^{\rho})-\sum _{m}\ Betreibername {R} (x^{-2m})}$

gültig für x > 1, wobei

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/ n})=1+\sum_{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

ist die Riemannsche R-Funktion und μ ( n ) ist die Möbius-Funktion . Die letztere Serie dafür ist als Gram- Serie bekannt. Denn für alle konvergiert diese Reihe für alle positiven x im Vergleich mit der Reihe für . Der Logarithmus in der Gram-Reihe der Summe über den nicht-trivialen Nullbeitrag sollte als und nicht ausgewertet werden . ${\displaystyle\log(x)<x}$${\displaystyle x>0}$${\displaystyle e^{x}}$${\displaystyle \rho\log x}$${\displaystyle \log x^{\rho}}$

Δ-Funktion (rote Linie) auf Log-Skala

Die Summe über nicht-triviale Zeta-Nullen in der Formel für beschreibt die Fluktuationen von, während die restlichen Terme den "glatten" Teil der Primzahlzählfunktion ergeben, so dass man verwenden kann ${\displaystyle \pi_{0}(x)}$${\displaystyle \pi_{0}(x),}$

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum _{m=1}^{\infty}\operatorname {R} (x^{-2m})}$

als guter Schätzer von für x > 1. Da der zweite Term gegen 0 konvergiert, während es bei der Amplitude des "verrauschten" Teils heuristisch darum geht , durch zu schätzen${\displaystyle \pi(x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}/\logx,}$${\displaystyle \pi(x)}$

${\displaystyle\operatorname {R} (x)}$

allein ist genauso gut, und Schwankungen der Verteilung von Primzahlen lassen sich mit der Funktion

${\displaystyle {\bigl (}\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr)}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}$

Eine umfangreiche Tabelle mit den Werten der nahezu identischen Funktion steht zur Verfügung. Hier stammen die zusätzlichen Terme aus einer Annäherung an Riesel und Göhl. ${\displaystyle \Delta(x)=\left(\pi_{0}(x)-\operatorname {R}(x)+{\tfrac {1}{\log x}}-{\tfrac {1} {\pi}}\arctan {\tfrac {\pi}{\log x}}\right){\tfrac {\log x}{\sqrt {x}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\log x}}-{\tfrac {1}{\pi}}\arctan {\tfrac {\pi }{\log x}}=O{\bigl (}( \log x)^{-3}{\bigr)}}$${\displaystyle \sum_{m}\operatorname {R} (x^{-2m})}$

Ungleichungen

Hier sind einige nützliche Ungleichungen für π ( x ).

${\displaystyle {\frac {x}{\log x}}<\pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}}$

für x ≥ 17.

Die linke Ungleichung gilt für x ≥ 17 und die rechte Ungleichung für x > 1. Die Konstante 1.25506 ist auf 5 Dezimalstellen genau, ebenso wie ihr Maximalwert bei x = 113. ${\textstyle {\frac {30\log 113}{113}}}$${\textstyle {\frac {\pi(x)\logx}{x}}}$

Pierre Dusart hat 2010 bewiesen:

${\displaystyle {\frac {x}{\log x-1}}<\pi (x)}$für , und${\displaystyle x\geq 5393}$

${\displaystyle \pi(x)<{\frac {x}{\log x-1.1}}}$für .${\displaystyle x\geq 60184}$

Hier sind einige Ungleichungen für die n- te Primzahl p _n . Die obere Schranke geht auf Rosser (1941), die untere auf Dusart (1999):

${\displaystyle n(\log(n\logn)-1)<p_{n}<n{\log(n\logn)}}$für n ≥ 6.

Die linke Ungleichung gilt für n 2 und die rechte Ungleichung für n ≥ 6.

Eine Näherung für die n- te Primzahl ist

${\displaystyle p_{n}=n(\log(n\log n)-1)+{\frac {n(\log\log n-2)}{\log n}}+O\left({\ frac {n(\log\log n)^{2}}{(\log n)^{2}}}\right).}$

Ramanujan hat bewiesen, dass die Ungleichung

${\displaystyle \pi(x)^{2}<{\frac {ex}{\log x}}\pi \left({\frac {x}{e}}\right)}$

gilt für alle hinreichend großen Werte von . ${\displaystyle x}$

In Dusart bewies (Proposition 6.6), dass für , ${\displaystyle n\geq 688383}$

${\displaystyle p_{n}\leq n\left(\log n+\log\log n-1+{\frac {\log\log n-2}{\log n}}\right),}$

und (Proposition 6.7), dass für , ${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle p_{n}\geq n\left(\log n+\log\log n-1+{\frac {\log\log n-2.1}{\log n}}\right).}$

In jüngerer Zeit hat Dusart bewiesen (Satz 5.1), dass für , ${\displaystyle x>1}$

${\displaystyle \pi(x)\leq {\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^ {2}x}}+{\frac {7.59}{\log^{3}x}}\right)}$ ,

und dass, für , ${\displaystyle x\geq 88789}$

${\displaystyle \pi(x)>{\frac {x}{\log x}}\left(1+{\frac {1}{\log x}}+{\frac {2}{\log ^{ 2}x}}\rechts).}$

Die Riemannsche Hypothese

Die Riemann-Hypothese ist äquivalent zu einer viel engeren Fehlergrenze in der Schätzung für , und damit zu einer regelmäßigeren Verteilung der Primzahlen, ${\displaystyle \pi(x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}$

Speziell,

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{ für alle }}x\geq 2657.}$

Siehe auch

• Foias-Konstante
• Bertrands Postulat
• Oppermanns Vermutung
• Ramanujan-Primzahl

Verweise

Externe Links

• Chris Caldwell, The N. Prime Page bei The Prime Pages .
• Tomás Oliveira e Silva, Tabellen der Primzahlenzählfunktionen .