Funkce počítání prvočísel - Prime-counting function

V matematice se připravit-počítat funkci je funkce počítání počtu prvočísel méně než nebo se rovnat k nějaké reálné číslo x . Označuje se π ( x ) (nesouvisí s číslem π ).

Hodnoty π ( n ) pro prvních 60 kladných celých čísel

Dějiny

Velký zájem o teorii čísel je rychlost růstu funkce prvotního počítání. To bylo dohadoval na konci 18. století Gauss a Legendre být přibližně

${\ displaystyle {\ frac {x} {\ log (x)}}}$

V tom smyslu, že

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {\ pi (x)} {x/\ log (x)}} = 1.}$

Toto tvrzení je věta o prvočíslech . Ekvivalentní prohlášení je

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} \ pi (x)/\ operatorname {li} (x) = 1}$

kde li je logaritmická integrální funkce. Věta o prvočísle byla poprvé prokázána v roce 1896 Jacquesem Hadamardem a Charlesem de la Vallée Poussinem nezávisle, pomocí vlastností funkce Riemann zeta zavedené Riemannem v roce 1859. Byly nalezeny důkazy o větě prvočísla, která nepoužívá funkci zeta nebo komplexní analýzu kolem roku 1948 Atle Selbergem a Paulem Erdősem (z větší části samostatně).

V roce 1899 to prokázal de la Vallée Poussin (viz také Věta 23 z)

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x)+O \ left (xe^{-a {\ sqrt {\ log x}}} \ right) \ quad {\ text {as}} x \ do \ infty}$

pro nějakou pozitivní konstantu a . Tady O (...) je velký O zápis .

Nyní jsou známy přesnější odhady . Například v roce 2002 to dokázal Kevin Ford${\ displaystyle \ pi (x) \!}$

${\ Displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x)+O \ left (x \ exp \ left (-0,2098 (\ log x)^{\ frac {3} {5}} (\ log \ log x)^{-{\ frac {1} {5}}} \ right) \ right).}$

Mossinghoff a Trudgian prokázali explicitní horní hranici rozdílu mezi a : ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x)}$

${\ displaystyle {\ big |} \ pi (x)-\ operatorname {li} (x) {\ big |} \ leq 0.2593 {\ frac {x} {(\ log x)^{3/4}}} \ exp \ left (-{\ sqrt {\ frac {\ log x} {6.315}}} \ right)}$

pro . ${\ Displaystyle x \ geq 229}$

U většiny hodnot, které nás zajímají (tj. Když nejsou nepřiměřeně velké), je větší než . Je však známo, že mění znamení nekonečně mnohokrát. Pro diskusi o tom viz Skewesovo číslo . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ operatorname {li} (x)}$${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle \ pi (x)-\ operatorname {li} (x)}$

Přesná forma

U pronájmu , kdy je prvočíslo, a jinak. Bernhard Riemann, který má hluboký význam, dokázal, že se rovná ${\ Displaystyle x> 1}$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x) -1/2}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ pi (x)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ operatorname {R} (x)-\ sum _ {\ rho} \ operatorname {R} (x^{\ rho})}$

kde

${\ displaystyle \ operatorname {R} (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ operatorname {li} (x^{1/ n}),}$

μ ( n ) je Möbiova funkce , li ( x ) je logaritmická integrální funkce , ρ indexuje každou nulu Riemannovy zeta funkce a li ( x ^ρ/n ) není vyhodnoceno řezem větve, ale místo toho je považováno za Ei ( ρ/nlog x ) kde Ei ( x ) je exponenciální integrál . Pokud jsou shromážděny triviální nuly a součet je převzat pouze nad netriviálními nulami ρ funkce Riemannova zeta , pak může být aproximován ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) \ cca \ operatorname {R} (x)-\ sum _ {\ rho} \ operatorname {R} (x^{\ rho})-{\ frac {1} {\ log {x}}}+{\ frac {1} {\ pi}} \ arctan {\ frac {\ pi} {\ log {x}}}.}$

Riemann hypotéza naznačuje, že každý takový netriviální nula leží podél Re ( y ) =1/2.

Tabulka π ( x ), x / log x a li ( x )

Tabulka ukazuje, jak se tři funkce π ( x ), x / log x a li ( x ) porovnávají při mocninách 10. Viz také a

X	π ( x )	π ( x ) - x / log x	li ( x ) - π ( x )	x / π ( x )	x / log x  % Chyba
10	4	−0,3	2.2	2 500	-7,5%
10 2	25	3.3	5.1	4 000	13,20%
10 3	168	23	10	5,952	13,69%
10 4	1 229	143	17	8,137	11,64%
10 5	9 592	906	38	10,425	9,45%
10 6	78,498	6,116	130	12,740	7,79%
10 7	664 579	44 158	339	15,047	6,64%
10 8	5 761 455	332 774	754	17,357	5,78%
10 9	50,847,534	2 592 592	1,701	19,667	5,10%
10 10	455 052 511	20 758 029	3,104	21,975	4,56%
10 11	4,118,054,813	169 923 159	11 588	24,283	4,13%
10 12	37 607 912 018	1,416,705,193	38,263	26,590	3,77%
10 13	346 065 536 839	11,992,858,452	108,971	28,896	3,47%
10 14	3,204,941,750,802	102 838 308 636	314 890	31,202	3,21%
10 15	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,507	2,99%
10 16	279 238 341 033 925	7,804,289,844,393	3,214,632	35,812	2,79%
10 17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	7,956,589	38,116	2,63%
10 18	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21,949,555	40,420	2,48%
10 19	234 057 667 276 344 607	5,481,624,169,369,960	99 877 775	42,725	2,34%
10 20	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 193 044 659 701	222 744 644	45,028	2,22%
10 21	21,127,269,486,018,731,928	446 579 871 578 168 707	597,394,254	47,332	2,11%
10 22	201 467 286 689 315 906 290	4,060,704,006,019,620,994	1 932 355 208	49,636	2,02%
10 23	1,925,320,391,606,803,968,923	37 083 513 766 578 631 309	7250186216	51,939	1,93%
10 24	18,435,599,767,349,200,867,866	339 996 354 713 708 049 069	17,146,907,278	54,243	1,84%
10 25	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228	55,160,980,939	56,546	1,77%
10 26	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58,850	1,70%
10 27	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61,153	1,64%

Graf ukazující poměr funkce počítání prvočísel π ( x ) ke dvěma jejím aproximacím, x /log x a Li ( x ). Jak se x zvětšuje ( osa x je logaritmická), oba poměry směřují k 1. Poměr pro x /log x konverguje shora velmi pomalu, zatímco poměr pro Li ( x ) konverguje rychleji zespodu.

V Online encyklopedie sekvencí celého čísla je π ( x sloupec) je sekvence OEIS :  A006880 , π ( x ) - x / log x je sekvence OEIS :  A057835 , a Li ( x ) - π ( x ) je sekvence OEIS :  A057752 .

Hodnotu π (10 ²⁴ ) původně vypočetli J. Buethe, J. Franke , A. Jost a T. Kleinjung za předpokladu Riemannovy hypotézy . Později to bylo bezpodmínečně ověřeno ve výpočtu DJ Plattem. Hodnota za π (10 ²⁵ ) je dána J. Buethem, J. Frankem , A. Jostem a T. Kleinjungem. Hodnota pro π (10 ²⁶ ) byla vypočítána pomocí DB Staple. Všechny ostatní předchozí položky v této tabulce byly také ověřeny jako součást této práce.

Hodnotu za 10 ²⁷ oznámili v roce 2015 David Baugh a Kim Walisch.

Algoritmy pro vyhodnocení π ( x )

Jednoduchý způsob, jak zjistit , není -li příliš velký, je použít Eratosthenovo síto k vytvoření prvočísel menších nebo rovných a jejich počítání. ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Propracovanější způsob hledání je díky Legendre (pomocí principu inkluze -vyloučení ): vzhledem k tomu , že pokud jde o odlišná prvočísla, pak počet celých čísel menších nebo rovných, které jsou dělitelné číslem ne, je ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {i}}$

${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor -\ sum _ {i} \ left \ lfloor {\ frac {x} {p_ {i}}} \ right \ rfloor +\ sum _ {i <j} \ left \ lfloor { \ frac {x} {p_ {i} p_ {j}}} \ right \ rfloor -\ sum _ {i <j <k} \ left \ lfloor {\ frac {x} {p_ {i} p_ {j} p_ {k}}} \ right \ rfloor +\ cdots}$

(kde označuje funkci podlahy ). Toto číslo se tedy rovná ${\ Displaystyle \ lfloor {x} \ rfloor}$

${\ Displaystyle \ pi (x)-\ pi \ left ({\ sqrt {x}} \ right) +1}$

když jsou čísla prvočísla menší nebo rovná odmocnině z . ${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle x}$

Algoritmus Meissel – Lehmer

V sérii článků publikovaných v letech 1870 až 1885 Ernst Meissel popsal (a použil) praktický kombinatorický způsob hodnocení . Buďme první prvočísla a označujeme počtem přirozených čísel, která nejsou větší než ta, která jsou dělitelná číslem . Pak ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ Phi (m, n)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p_ {i}}$

${\ Displaystyle \ Phi (m, n) = \ Phi (m, n-1)-\ Phi \ left ({\ frac {m} {p_ {n}}}, n-1 \ right).}$

Přirozené číslo , jestli a jestli , tak ${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle n = \ pi \ left ({\ sqrt [{3}] {m}} \ right)}$${\ Displaystyle \ mu = \ pi \ left ({\ sqrt {m}} \ right) -n}$

${\ Displaystyle \ pi (m) = \ Phi (m, n)+n (\ mu +1)+{\ frac {\ mu ^{2}-\ mu} {2}}-1- \ sum _ k = 1}^{\ mu} \ pi \ vlevo ({\ frac {m} {p_ {n+k}}} \ vpravo).}$

Při použití tohoto přístupu, Meissel vypočítaný pro rovno 5 x 10 ⁵ , 10 ⁶ , 10 ⁷ , a 10 ⁸ . ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle x}$

V roce 1959 Derrick Henry Lehmer rozšířil a zjednodušil Meisselovu metodu. Definovat, pro skutečné a přirozených čísel a , jako počet čísel není větší než m s přesně k hlavní faktory, to vše větší než . Dále nastavit . Pak ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle P_ {k} (m, n)}$${\ displaystyle p_ {n}}$${\ displaystyle P_ {0} (m, n) = 1}$

${\ Displaystyle \ Phi (m, n) = \ sum _ {k = 0}^{+\ infty} P_ {k} (m, n)}$

kde součet má ve skutečnosti jen konečný počet nenulových výrazů. Dovolit značí celé číslo takové, že a nastavit . Potom a kdy . Proto, ${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle {\ sqrt [{3}] {m}} \ leq y \ leq {\ sqrt {m}}}$${\ Displaystyle n = \ pi (y)}$${\ Displaystyle P_ {1} (m, n) = \ pi (m) -n}$${\ Displaystyle P_ {k} (m, n) = 0}$${\ Displaystyle k \ geq 3}$

${\ Displaystyle \ pi (m) = \ Phi (m, n)+n-1-P_ {2} (m, n)}$

Výpočet lze získat tímto způsobem: ${\ displaystyle P_ {2} (m, n)}$

${\ Displaystyle P_ {2} (m, n) = \ sum _ {y <p \ leq {\ sqrt {m}}} \ left (\ pi \ left ({\ frac {m} {p}} \ right )-\ pi (p) +1 \ vpravo),}$

kde součet přesahuje prvočísla.

Na druhou stranu, výpočet lze provést pomocí následujících pravidel: ${\ Displaystyle \ Phi (m, n)}$

1. ${\ Displaystyle \ Phi (m, 0) = \ lfloor m \ rfloor}$
2. ${\ Displaystyle \ Phi (m, b) = \ Phi (m, b-1)-\ Phi \ left ({\ frac {m} {p_ {b}}}, b-1 \ right)}$

Lehmer dokázal pomocí své metody a IBM 701 vypočítat . ${\ displaystyle \ pi \ left (10^{10} \ right)}$

Další vylepšení této metody provedli Lagarias, Miller, Odlyzko, Deléglise a Rivat.

Další funkce počítání prvočísel

Používají se také další funkce počítání prvočísel, protože se s nimi pracuje pohodlněji. Jedním z nich je Riemannova funkce prvotního počítání, obvykle označovaná jako nebo . To má skoky o 1/ n pro hlavní síly p ⁿ , přičemž při nespojitostech nabývá hodnoty na půli cesty mezi oběma stranami. Tento přidaný detail je použit, protože pak může být funkce definována inverzní Mellinovou transformací . Formálně můžeme definovat podle ${\ displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$${\ displaystyle J_ {0} (x)}$${\ displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = {\ frac {1} {2}} \ left (\ sum _ {p^{n} <x} {\ frac {1} {n}} \ + \ sum _ {p^{n} \ leq x} {\ frac {1} {n}} \ right)}$

kde p je prvočíslo.

Můžeme také psát

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = \ sum _ {n = 2}^{x} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log n}}-{\ frac {1} {2 }} {\ frac {\ Lambda (x)} {\ log x}} = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {1} {n}} \ pi _ {0} {\ bigl (} x^{1/n} {\ bigr)}}$

kde je von Mangoldtova funkce a ${\ Displaystyle \ Lambda (n)}$

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ pi (x- \ varepsilon)+\ pi (x+\ varepsilon)} {2}}.}$

Inverze vzorec Möbiovo pak dává

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ Pi _ {0} {\ bigl ( } x^{1/n} {\ bigr)}}$

Znalost vztahu mezi logaritmem funkce Riemann zeta a von Mangoldtovou funkcí a pomocí Perronova vzorce máme ${\ Displaystyle \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ log \ zeta (s) = s \ int _ {0}^{\ infty} \ Pi _ {0} (x) x^{-s-1} \, dx}$

Funkce Chebyshev váží prvočísla nebo primární síly p ⁿ podle logu ( p ):

${\ Displaystyle \ theta (x) = \ sum _ {p \ leq x} \ log p}$

${\ Displaystyle \ psi (x) = \ sum _ {p^{n} \ leq x} \ log p = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} \ theta {\ bigl (} x^{1 /n} {\ bigr)} = \ součet _ {n \ leq x} \ Lambda (n).}$

Vzorce pro funkce prvotního počítání

Vzorce pro funkce prvotního počítání se dělí na dva druhy: aritmetické vzorce a analytické vzorce. Analytické vzorce pro počítání prvočísel byly poprvé použity k prokázání věty o prvočíslech . Pocházejí z díla Riemanna a von Mangoldta a jsou obecně známé jako explicitní vzorce .

Pro ψ máme následující výraz :

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {x^{\ rho}} {\ rho}}-\ log 2 \ pi-{\ frac {1 } {2}} \ log \ vlevo (1-x^{-2} \ vpravo),}$

kde

${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ psi (x- \ varepsilon)+\ psi (x+\ varepsilon)} {2}}.}$

Zde ρ jsou nuly Riemannovy zeta funkce v kritickém pásu, kde je skutečná část ρ mezi nulou a jedničkou. Vzorec platí pro hodnoty x větší než jedna, což je oblast zájmu. Součet přes kořeny je podmíněně konvergentní a měl by být vzat v pořadí podle rostoucí absolutní hodnoty imaginární části. Všimněte si, že stejný součet přes triviální kořeny dává poslední podtrend ve vzorci.

Pro máme složitější vzorec ${\ displaystyle \ Pi _ {0} (x)}$

${\ Displaystyle \ Pi _ {0} (x) = \ operatorname {li} (x)-\ sum _ {\ rho} \ operatorname {li} (x^{\ rho})-\ log 2+ \ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {dt} {t \ left (t^{2} -1 \ right) \ log t}}.}$

Riemannův explicitní vzorec využívající prvních 200 netriviálních nul funkce zeta

Vzorec opět platí pro x > 1, zatímco ρ jsou netriviální nuly funkce zeta seřazené podle jejich absolutní hodnoty. Integrál se rovná řadě přes triviální nuly:

${\ Displaystyle \ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {t \ left (t^{2} -1 \ right) \ log t}} = \ int _ { x}^{\ infty} {\ frac {1} {t \ log t}} (\ sum _ {m} t^{-2m}) \, \ mathrm {d} t = \ sum _ {m} \ int _ {x}^{\ infty} {\ frac {t^{-2m}} {t \ log t}} \, \ mathrm {d} t \, \, {\ overset {(u = t^{ -2m})} {=}}-\ sum _ {m} \ operatorname {li} (x^{-2m})}$

První výraz li ( x ) je obvyklá logaritmická integrální funkce ; výraz Li ( x ^ρ ) v druhém členu je třeba považovat za Ei ( ρ  log  x ), kde Ei je analytické pokračování v exponenciální integrální funkci ze záporných reálných čísel do komplexní roviny s pobočkovou řezu podél pozitivních reálných čísel.

Tak, Möbius inverzní formule nám dává

${\ Displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ operatorname {R} (x)-\ sum _ {\ rho} \ operatorname {R} (x^{\ rho})-\ sum _ {m} \ jméno operátora {R} (x^{-2m})}$

platí pro x > 1, kde

${\ displaystyle \ operatorname {R} (x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n}} \ operatorname {li} (x^{1/ n}) = 1+ \ sum _ {k = 1}^{\ infty} {\ frac {(\ log x)^{k}} {k! k \ zeta (k+1)}}}}$

je Riemannova R-funkce a μ ( n ) je Möbiova funkce . Druhá řada je známá jako Gramova řada. Protože pro všechny tato řada konverguje pro všechna kladná x ve srovnání se sérií pro . Logaritmus v gramové řadě součtu nad netriviální nulový příspěvek by měl být vyhodnocen jako a ne . ${\ displaystyle \ log (x) <x}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle e^{x}}$${\ displaystyle \ rho \ log x}$${\ displaystyle \ log x^{\ rho}}$

Funkce Δ (červená čára) na stupnici log

Součet přes netriviální nuly ve vzorci pro popisuje kolísání, zatímco zbývající výrazy dávají „hladkou“ část funkce prvotního počítání, takže lze použít ${\ displaystyle \ pi _ {0} (x)}$${\ displaystyle \ pi _ {0} (x),}$

${\ displaystyle \ operatorname {R} (x)-\ sum _ {m = 1}^{\ infty} \ operatorname {R} (x^{-2m})}$

jako dobrý odhadu pro x > 1. Ve skutečnosti, protože druhý člen konverguje k 0 ° C, zatímco amplituda části „rušivým“ je heuristicky o odhadu od ${\ displaystyle \ pi (x)}$${\ displaystyle {\ sqrt {x}}/\ log x,}$${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ displaystyle \ operatorname {R} (x)}$

sám je stejně dobrý a fluktuace rozdělení prvočísel mohou být s funkcí jasně reprezentovány

${\ displaystyle {\ bigl (} \ pi _ {0} (x)-\ operatorname {R} (x) {\ bigr)} {\ frac {\ log x} {\ sqrt {x}}}.}$

K dispozici je rozsáhlá tabulka hodnot prakticky identické funkce . Zde další podmínky pocházejí z přiblížení k Riesel a Göhl. ${\ Displaystyle \ Delta (x) = \ left (\ pi _ {0} (x)-\ operatorname {R} (x)+{\ tfrac {1} {\ log x}}-{\ tfrac {1} {\ pi}} \ arctan {\ tfrac {\ pi} {\ log x}} \ right) {\ tfrac {\ log x} {\ sqrt {x}}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ log x}}-{\ tfrac {1} {\ pi}} \ arctan {\ tfrac {\ pi} {\ log x}} = O {\ bigl (} ( \ log x)^{-3} {\ bigr)}}$${\ displaystyle \ sum _ {m} \ operatorname {R} (x^{-2m})}$

Nerovnosti

Zde jsou některé užitečné nerovnosti pro π ( x ).

${\ displaystyle {\ frac {x} {\ log x}} <\ pi (x) <1,25506 {\ frac {x} {\ log x}}}$

pro x ≥ 17.

Levá nerovnost platí pro x ≥ 17 a pravá nerovnost platí pro x > 1. Konstanta 1,25506 je na 5 desetinných míst, stejně jako její maximální hodnota při x = 113. ${\ textstyle {\ frac {30 \ log 113} {113}}}$${\ textstyle {\ frac {\ pi (x) \ log x} {x}}}$

Pierre Dusart v roce 2010 dokázal:

${\ displaystyle {\ frac {x} {\ log x-1}} <\ pi (x)}$pro , a${\ Displaystyle x \ geq 5393}$

${\ displaystyle \ pi (x) <{\ frac {x} {\ log x-1.1}}}$pro .${\ Displaystyle x \ geq 60184}$

Zde jsou některé nerovnosti pro n -té prvočíslo, p _n . Horní hranice je dána Rosserem (1941), spodní Dusartovi (1999):

${\ Displaystyle n (\ log (n \ log n) -1) <p_ {n} <n {\ log (n \ log n)}}$pro n ≥ 6.

Levá nerovnost platí pro n ≥ 2 a pravá nerovnost platí pro n ≥ 6.

Aproximace pro n -té prvočíslo je

${\ Displaystyle p_ {n} = n (\ log (n \ log n) -1)+{\ frac {n (\ log \ log n-2)} {\ log n}}+O \ left ({\ frac {n (\ log \ log n)^{2}} {(\ log n)^{2}}} \ right).}$

Ramanujan dokázal, že nerovnost

${\ Displaystyle \ pi (x)^{2} <{\ frac {ex} {\ log x}} \ pi \ left ({\ frac {x} {e}} \ right)}$

platí pro všechny dostatečně velké hodnoty . ${\ displaystyle x}$

V Dusart dokázal (Proposition 6.6), že pro , ${\ Displaystyle n \ geq 688383}$

${\ Displaystyle p_ {n} \ leq n \ left (\ log n+\ log \ log n-1+{\ frac {\ log \ log n-2} {\ log n}} \ right),}$

a (Návrh 6.7), že pro , ${\ Displaystyle n \ geq 3}$

${\ Displaystyle p_ {n} \ geq n \ left (\ log n+\ log \ log n-1+{\ frac {\ log \ log n-2.1} {\ log n}} \ right).}$

Nověji Dusart se ukázalo (Věta 5.1), že pro , ${\ Displaystyle x> 1}$

${\ Displaystyle \ pi (x) \ leq {\ frac {x} {\ log x}} \ left (1+{\ frac {1} {\ log x}}+{\ frac {2} {\ log ^ {2} x}}+{\ frac {7.59} {\ log ^{3} x}} \ right)}$ ,

a to pro , ${\ Displaystyle x \ geq 88789}$

${\ Displaystyle \ pi (x)> {\ frac {x} {\ log x}} \ left (1+{\ frac {1} {\ log x}}+{\ frac {2} {\ log ^{ 2} x}} \ vpravo).}$

Riemannova hypotéza

Riemann hypotéza je ekvivalentní k mnohem pevněji vázán na chyby v odhadu pro , a tudíž k větší pravidelné distribuci prvočísel, ${\ displaystyle \ pi (x)}$

${\ displaystyle \ pi (x) = \ operatorname {li} (x)+O ({\ sqrt {x}} \ log {x}).}$

Konkrétně

${\ Displaystyle | \ pi (x)-\ operatorname {li} (x) | <{\ frac {\ sqrt {x}} {8 \ pi}} \, \ log {x}, \ qquad {\ text { pro všechny}} x \ geq 2657.}$

Viz také

• Foiasova konstanta
• Bertrandův postulát
• Oppermannova domněnka
• Ramanujan prime

Reference

externí odkazy

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page na stránkách Prime .
• Tomás Oliveira e Silva, Tabulky funkcí primárního počítání .