Matrixkoeffizient - Matrix coefficient

In der Mathematik ist ein Matrixkoeffizient (oder Matrixelement ) eine Funktion einer Gruppe einer speziellen Form, die von einer linearen Darstellung der Gruppe und zusätzlichen Daten abhängt . Genauer gesagt, ist es eine Funktion auf einer kompakte topologischen Gruppe G erhalten Komponieren eine Darstellung von G auf einem Vektorraum V mit einer linearen Karte von den Endomorphismen von V in V ‚s darunter liegendes Feld . Es wird auch als repräsentative Funktion bezeichnet . Sie ergeben sich natürlich aus endlichdimensionalen Darstellungen von G als Matrixeintrittsfunktionen der entsprechenden Matrixdarstellungen. Das Peter-Weyl-Theorem besagt, dass die Matrixkoeffizienten auf G im Hilbert-Raum quadratintegrierbarer Funktionen auf G dicht sind .

Es stellte sich heraus, dass Matrix-Repräsentationskoeffizienten von Lie-Gruppen eng mit der Theorie der Sonderfunktionen verbunden sind und einen einheitlichen Ansatz für große Teile dieser Theorie bieten. Wachstumseigenschaften der Matrixkoeffizienten spielen eine Schlüsselrolle bei der Klassifizierung von irreduziblen Darstellungen von lokal kompakten Gruppen , insbesondere reduktiven realen und p -adic Gruppen. Der Formalismus der Matrixkoeffizienten führt zu einer Verallgemeinerung des Begriffs einer modularen Form . In einer anderen Richtung werden die Mischeigenschaften bestimmter dynamischer Systeme durch die Eigenschaften geeigneter Matrixkoeffizienten gesteuert.

Definition

Ein Matrixkoeffizient (oder Matrixelement ) einer linearen Darstellung ρ einer Gruppe G auf einem Vektorraum V ist eine Funktion f v, η auf der Gruppe des Typs

wobei v ein Vektor in V ist , η eine kontinuierliche lineare Funktion auf V ist und g ein Element von G ist . Diese Funktion nimmt Skalarwerte für G an . Wenn V ein Hilbert-Raum ist , haben nach dem Riesz-Repräsentationssatz alle Matrixkoeffizienten die Form

für einige Vektoren v und w in V .

Für V mit endlicher Dimension und v und w auf Standardbasis ist dies tatsächlich die Funktion, die durch den Matrixeintrag an einer festen Stelle gegeben ist.

Anwendungen

Endliche Gruppen

Matrixkoeffizienten irreduzibler Darstellungen endlicher Gruppen spielen eine herausragende Rolle in der Darstellungstheorie dieser Gruppen, wie sie von Burnside , Frobenius und Schur entwickelt wurde . Sie erfüllen die Orthogonalitätsbeziehungen von Schur . Der Charakter einer Darstellung ρ ist eine Summe der Matrixkoeffizienten f v i , η i , wobei { v i } eine Basis im Repräsentationsraum von ρ bilden und {η i } die duale Basis bilden .

Endlich dimensionale Lie-Gruppen und Sonderfunktionen

Matrixkoeffizienten von Darstellungen von Lie-Gruppen wurden zuerst von Élie Cartan betrachtet . Israel Gelfand erkannte, dass viele klassische Sonderfunktionen und orthogonale Polynome als Matrix-Repräsentationskoeffizienten der Lie-Gruppen G ausgedrückt werden können . Diese Beschreibung bietet einen einheitlichen Rahmen für den Nachweis vieler bisher unterschiedlicher Eigenschaften spezieller Funktionen wie Additionsformeln, bestimmter Wiederholungsrelationen, Orthogonalitätsrelationen, Integraldarstellungen und Eigenwerteigenschaften in Bezug auf Differentialoperatoren. Spezielle Funktionen der mathematischen Physik wie die trigonometrischen Funktionen , die hypergeometrische Funktion und ihre Verallgemeinerungen, orthogonale Legendre- und Jacobi- Polynome und Bessel-Funktionen entstehen als Matrixkoeffizienten von Darstellungen von Lie-Gruppen. Theta-Funktionen und reale analytische Eisenstein-Reihen , die für die algebraische Geometrie und Zahlentheorie wichtig sind , lassen solche Realisierungen ebenfalls zu.

Automorphe Formen

Ein leistungsfähiger Ansatz zur Theorie der klassischen Modulformen , initiiert von Gelfand, Graev und Piatetski-Shapiro , Ansichten sie als Matrix - Koeffizienten bestimmter unendlichdimensionale einheitlichen Darstellungen, automorphe Darstellungen von ADELIC Gruppen . Dieser Ansatz wurde weiter entwickelt von Langlands , für die allgemeine reduktiven algebraischen Gruppen über globale Felder .

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Theodor Bröcker und Tammo tom Dieck, Darstellungen kompakter Lie-Gruppen , Diplomtexte in Mathematik 98 , Springer-Verlag, Berlin, 1995.
  2. ^ "Sonderfunktionen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  3. ^ Siehe die Referenzen für die vollständige Behandlung.

Verweise

  • Vilenkin, N. Ja. Sonderfunktionen und die Theorie der Gruppendarstellung . Übersetzt aus dem Russischen von VN Singh. Übersetzungen mathematischer Monographien, Bd. 22 American Mathematical Society, Providence, RI 1968
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Vertretung von Lie-Gruppen und Sonderfunktionen. Jüngste Fortschritte . Übersetzt aus dem russischen Manuskript von VA Groza und AA Groza. Mathematik und ihre Anwendungen, 316. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xvi + 497 S. ISBN   0-7923-3210-5
  • Vilenkin, N. Ja., Klimyk, AU Vertretung von Lie-Gruppen und Sonderfunktionen. Vol. 3. Klassische und Quantengruppen und spezielle Funktionen . Übersetzt aus dem Russischen von VA Groza und AA Groza. Mathematik und ihre Anwendungen (sowjetische Reihe), 75. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992. xx + 634 S. ISBN   0-7923-1493-X
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