Gausskreisproblem - Gauss circle problem

Ein Kreis mit Radius 5, der im Ursprung zentriert ist, hat eine Fläche von 25 π , ungefähr 78,54, aber er enthält 81 ganzzahlige Punkte, so dass der Fehler bei der Schätzung seiner Fläche durch Zählen von Gitterpunkten ungefähr 2,46 beträgt. Bei einem Kreis mit etwas kleinerem Radius ist die Fläche fast gleich, aber der Kreis enthält nur 69 Punkte, was einen größeren Fehler von ungefähr 9,54 ergibt. Das Gauss-Kreisproblem betrifft die Begrenzung dieses Fehlers allgemeiner als Funktion des Kreisradius.

In der Mathematik ist das Gauss-Kreisproblem das Problem zu bestimmen, wie viele ganzzahlige Gitterpunkte es in einem Kreis mit Mittelpunkt und Radius gibt . Diese Zahl wird durch die Fläche des Kreises angenähert, daher besteht das eigentliche Problem darin, den Fehlerterm genau zu begrenzen, der beschreibt, wie sich die Anzahl der Punkte von der Fläche unterscheidet. Die ersten Fortschritte bei einer Lösung wurden von Carl Friedrich Gauß gemacht , daher der Name. ${\displaystyle r}$

Das Problem

Betrachten Sie einen Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius . Das Gauss-Kreisproblem fragt, wie viele Punkte es innerhalb dieses Kreises der Form gibt, wo und beide ganze Zahlen sind. Da die Gleichung des Kreises in gegeben kartesisch durch , wird die Frage in äquivalenter Weise zu fragen , wie viele Paare von ganzen Zahlen m und n sind , so dass ${\displaystyle \mathbb{R} ^{2}}$${\displaystyle r\geq 0}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.}$

Wenn die Antwort für eine gegebene Angabe mit gekennzeichnet ist, zeigt die folgende Liste die ersten paar Werte von für eine ganze Zahl zwischen 0 und 12, gefolgt von der Liste der auf die nächste ganze Zahl gerundeten Werte : ${\displaystyle r}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle N(r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (Sequenz A000328 im OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (Sequenz A075726 im OEIS )

Beschränkt sich auf eine Lösung und Vermutung

${\displaystyle N(r)}$ist ungefähr die Fläche innerhalb eines Radiuskreises . Dies liegt daran, dass jedes Einheitsquadrat im Durchschnitt einen Gitterpunkt enthält. Somit entspricht die tatsächliche Anzahl der Gitterpunkte im Kreis ungefähr seiner Fläche, . Also ist damit zu rechnen ${\displaystyle \pi r^{2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,}$

für einen Fehlerterm von relativ kleinem Absolutwert. Das Finden einer korrekten oberen Schranke für ist somit die Form des Problems. Beachten Sie, dass dies keine ganze Zahl sein muss. Nachdem man an diesen Stellen um erhöht hat, nimmt es (mit einer Rate von ) ab, bis es das nächste Mal zunimmt. ${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle \mid E(r)\mid}$${\displaystyle r}$${\displaystyle N(4)=49}$${\displaystyle N({\sqrt {17}})=57,N({\sqrt {18}})=61,N({\sqrt {20}})=69,N(5)=81.}$${\displaystyle E(r)}$${\displaystyle 8,4,8,12}$${\displaystyle 2\pi r}$

Gauß hat das bewiesen

${\displaystyle |E(r)|\leq 2{\sqrt {2}}\pi r.}$

Hardy und unabhängig davon Landau fanden eine untere Schranke, indem sie zeigten, dass

${\displaystyle |E(r)|\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),}$

mit der kleinen O-Notation . Es wird vermutet, dass die korrekte Schranke

${\displaystyle |E(r)|=O\left(r^{1/2+\varepsilon}\right).}$

Schreiben , die aktuellen Grenzen für sind ${\displaystyle E(r)\leq Cr^{t}}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0,6298\ldots,}$

mit der unteren Schranke von Hardy und Landau im Jahr 1915 und der oberen Schranke von Martin Huxley im Jahr 2000.

Genaue Formen

Der Wert von kann durch mehrere Reihen angegeben werden. Als Summe unter Einbeziehung der Floor-Funktion kann sie wie folgt ausgedrückt werden: ${\displaystyle N(r)}$

${\displaystyle N(r)=1+4\sum_{i=0}^{\infty}\left(\left\lfloor {\frac{r^{2}}{4i+1}}\right\ rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4i+3}}\right\rfloor \right).}$

Dies ist eine Folge von Jacobis Zweiquadratsatz, der fast unmittelbar aus dem Jacobi-Tripelprodukt folgt .

Eine viel einfachere Summe ergibt sich, wenn die Quadratsummenfunktion als die Anzahl der Schreibweisen der Zahl als Summe zweier Quadrate definiert ist. Dann ${\displaystyle r_{2}(n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle N(r)=\sum_{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n).}$

Der jüngste Fortschritt beruht auf der folgenden Identität, die zuerst von Hardy entdeckt wurde:

${\displaystyle N(x)-{\frac {r_{2}(x^{2})}{2}}=\pi x^{2}+x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {r_{2}(n)}{\sqrt {n}}}J_{1}(2\pi x{\sqrt {n}}),}$

wobei bezeichnet die Bessel-Funktion erster Art mit Ordnung 1. ${\displaystyle J_{1}}$

Verallgemeinerungen

Obwohl das ursprüngliche Problem nach ganzzahligen Gitterpunkten in einem Kreis verlangt, gibt es keinen Grund, andere Formen, zum Beispiel Kegelschnitte , nicht in Betracht zu ziehen ; tatsächlich ist das Divisorproblem von Dirichlet das äquivalente Problem, bei dem der Kreis durch die rechteckige Hyperbel ersetzt wird . In ähnlicher Weise könnte man die Frage von zwei Dimensionen auf höhere Dimensionen erweitern und nach ganzzahligen Punkten innerhalb einer Kugel oder anderen Objekten fragen . Zu diesen Problemen gibt es umfangreiche Literatur. Wenn man die Geometrie ignoriert und das Problem lediglich als algebraische diophantische Ungleichung betrachtet, dann könnte man dort die im Problem auftretenden Exponenten von Quadraten zu Kuben oder höher erhöhen.

Das Punktplanimeter ist ein physikalisches Gerät zum Abschätzen der Fläche von Formen nach dem gleichen Prinzip. Es besteht aus einem quadratischen Punktraster, das auf eine transparente Folie gedruckt ist; Die Fläche einer Form kann als Produkt der Anzahl der Punkte in der Form mit der Fläche eines Rasterquadrats geschätzt werden.

Das primitive Kreisproblem

Eine weitere Verallgemeinerung besteht darin, die Anzahl der teilerfremden ganzzahligen Lösungen der Ungleichung zu berechnen${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,}$

Dieses Problem ist als primitives Kreisproblem bekannt , da es die Suche nach primitiven Lösungen für das ursprüngliche Kreisproblem beinhaltet. Sie kann intuitiv als die Frage verstanden werden, wie viele Bäume im Abstand von r in der Eukliden-Obstplantage im Ursprung stehend zu sehen sind. Wenn die Anzahl solcher Lösungen angegeben wird, dann sind die Werte für kleine ganzzahlige Werte ${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle V(r)}$${\displaystyle r}$

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (Sequenz A175341 im OEIS ).

Unter Verwendung der gleichen Ideen wie beim gewöhnlichen Gauß-Kreisproblem und der Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei ganze Zahlen teilerfremd sind, gleich ist , ist es relativ einfach zu zeigen, dass ${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi}}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon}).}$

Wie beim üblichen Kreisproblem besteht der problematische Teil des primitiven Kreisproblems darin, den Exponenten im Fehlerterm zu reduzieren. Der derzeit bekannteste Exponent ist, wenn man die Riemannsche Hypothese annimmt . Ohne Annahme der Riemann-Hypothese ist die bekannteste obere Schranke ${\displaystyle 221/304+\varepsilon}$

${\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi}}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r ^{2})^{-1/5}))}$

für eine positive Konstante . Insbesondere ist derzeit keine Begrenzung des Fehlerterms der Form für irgendeine bekannt, die nicht die Riemannsche Hypothese annimmt. ${\displaystyle c}$${\displaystyle 1-\varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

Anmerkungen

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Gauss-Kreisproblem" . MathWorld .
• Grant Sanderson, "Pi versteckt sich in erstklassigen Regelmäßigkeiten" , 3Blue1Brown