Gaussův kruhový problém - Gauss circle problem

Kruh o poloměru 5 se středem na počátku má oblast 25 π , přibližně 78,54, ale obsahuje 81 celých bodů, takže chyba při odhadu jeho plochy spočítáním bodů mřížky je přibližně 2,46. U kruhu s mírně menším poloměrem je plocha téměř stejná, ale kruh obsahuje pouze 69 bodů, což způsobuje větší chybu přibližně 9,54. Problém Gaussova kruhu se týká ohraničení této chyby obecněji v závislosti na poloměru kruhu.

V matematice je problém Gaussova kruhu problémem určení, kolik bodů celé mřížky je v kruhu se středem na počátku as poloměrem . Toto číslo je aproximováno oblastí kruhu, takže skutečným problémem je přesně svázat chybový člen popisující, jak se počet bodů liší od oblasti. První pokrok v řešení provedl Carl Friedrich Gauss , odtud jeho název. ${\ displaystyle r}$

Problém

Zvažte kruh se středem na počátku a poloměru . Gauss kruhu problém se zeptá, kolik bodů existuje uvnitř tohoto kruhu formě kde a jsou obě celá čísla. Protože rovnice tohoto kruhu je dána v kartézských souřadnicích vztahem , otázka se ekvivalentně ptá, kolik dvojic celých čísel m a n existuje tak, že ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle r \ geq 0}$${\ Displaystyle (m, n)}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle x^{2}+y^{2} = r^{2}}$

${\ Displaystyle m^{2}+n^{2} \ leq r^{2}.}$

Pokud je odpověď na danou hodnotu označena, pak následující seznam ukazuje prvních několik hodnot pro celé číslo mezi 0 a 12 a poté seznam hodnot zaokrouhlený na nejbližší celé číslo: ${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle N (r)}$${\ Displaystyle N (r)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ pi r^{2}}$

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317, 377, 441 (sekvence A000328 v OEIS )

0, 3, 13, 28, 50, 79, 113, 154, 201, 254, 314, 380, 452 (sekvence A075726 v OEIS )

Váže se na řešení a dohady

${\ Displaystyle N (r)}$je zhruba je oblast uvnitř kruhu o poloměru . Důvodem je, že v průměru každý jednotkový čtverec obsahuje jeden mřížkový bod. To znamená, že skutečný počet bodů mřížky v kruhu je přibližně rovna své oblasti . S tím se tedy dalo počítat ${\ displaystyle \ pi r^{2}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ pi r^{2}}$

${\ Displaystyle N (r) = \ pi r^{2}+E (r) \,}$

pro nějaký chybový termín relativně malé absolutní hodnoty. Nalezení správné horní hranice pro je tedy formou, kterou problém nabral. Všimněte si, že to nemusí být celé číslo. Poté, co jeden má Na těchto místech se zvyšuje o, po kterém klesá (rychlostí ), až se příště zvýší. ${\ Displaystyle E (r)}$${\ Displaystyle \ mid E (r) \ mid}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle N (4) = 49}$${\ Displaystyle N ({\ sqrt {17}}) = 57, N ({\ sqrt {18}}) = 61, N ({\ sqrt {20}}) = 69, N (5) = 81.}$${\ Displaystyle E (r)}$${\ Displaystyle 8,4,8,12}$${\ Displaystyle 2 \ pi r}$

Gaussovi se to podařilo dokázat

${\ Displaystyle | E (r) | \ leq 2 {\ sqrt {2}} \ pi r.}$

Hardy a nezávisle Landau našli spodní hranici tím, že to ukázali

${\ Displaystyle | E (r) | \ neq o \ left (r^{1/2} (\ log r)^{1/4} \ right),}$

pomocí malé o-notace . Předpokládá se, že správná hranice je

${\ Displaystyle | E (r) | = O \ left (r^{1/2+\ varepsilon} \ right).}$

Psaní , aktuální hranice jsou ${\ Displaystyle E (r) \ leq Cr^{t}}$${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} <t \ leq {\ frac {131} {208}} = 0,6298 \ ldots,}$

s dolní hranicí od Hardyho a Landaua v roce 1915 a horní hranicí prokázal Martin Huxley v roce 2000.

Přesné formy

Hodnota může být dána několika sériemi. Pokud jde o součet zahrnující funkci podlahy , může být vyjádřen jako: ${\ Displaystyle N (r)}$

${\ Displaystyle N (r) = 1+4 \ sum _ {i = 0}^{\ infty} \ left (\ left \ lfloor {\ frac {r^{2}} {4i+1}} \ right \ rfloor -\ left \ lfloor {\ frac {r^{2}} {4i+3}} \ right \ rfloor \ right).}$

To je důsledek Jacobiho věty o dvou čtvercích, která téměř okamžitě vyplývá z Jacobiho trojnásobku .

Mnohem jednodušší součet se objeví, pokud je funkce součtu čtverců definována jako počet způsobů zápisu čísla jako součet dvou čtverců. Pak ${\ displaystyle r_ {2} (n)}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle N (r) = \ sum _ {n = 0}^{r^{2}} r_ {2} (n).}$

Nejnovější pokrok spočívá na následující identitě, kterou poprvé objevil Hardy:

${\ Displaystyle N (x)-{\ frac {r_ {2} (x^{2})} {2}} = \ pi x^{2}+x \ sum _ {n = 1}^{\ infty } {\ frac {r_ {2} (n)} {\ sqrt {n}}} J_ {1} (2 \ pi x {\ sqrt {n}}),}$

kde označuje Besselovu funkci prvního druhu s řádem 1. ${\ displaystyle J_ {1}}$

Zobecnění

Ačkoli původní problém požaduje celočíselné mřížkové body v kruhu, není důvod neuvažovat o jiných tvarech, například o kuželovitých ; opravdu Dirichletův dělitel je ekvivalentní problém, kde je kruh nahrazen obdélníkovou hyperbolou . Podobně lze otázku rozšířit ze dvou dimenzí do vyšších dimenzí a požádat o celočíselné body v kouli nebo jiných objektech. O těchto problémech existuje rozsáhlá literatura. Pokud někdo ignoruje geometrii a považuje problém za algebraický s diofantickými nerovnostmi, pak by mohl zvýšit počet exponentů objevujících se v problému ze čtverců na kostky nebo výše.

Tečka planimetr je fyzické zařízení pro odhad plochy tvarů založené na stejném principu. Skládá se ze čtvercové mřížky bodů vytištěné na průhledném listu; oblast tvaru lze odhadnout jako součin počtu bodů ve tvaru s plochou čtverce mřížky.

Primitivní kruhový problém

Další generalizace je vypočítat počet ceprime celočíselných řešení nerovnosti ${\ displaystyle m, n}$

${\ Displaystyle m^{2}+n^{2} \ leq r^{2}. \,}$

Tento problém je známý jako primitivní kruhový problém , protože zahrnuje hledání primitivních řešení původního kruhového problému. Lze to intuitivně chápat jako otázku, kolik stromů ve vzdálenosti r je viditelných v Euclidově sadu , stojícího v původu. Pokud je počet takových řešení označen, pak hodnoty pro přijímání malých celočíselných hodnot jsou ${\ Displaystyle V (r)}$${\ Displaystyle V (r)}$${\ displaystyle r}$

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 ... (sekvence A175341 v OEIS ).

Použitím stejné myšlenky jako obvyklé Gauss kruhu problém a skutečnost, že pravděpodobnost, že dvě celá čísla jsou coprime je , že je poměrně snadné prokázat, že ${\ Displaystyle 6/\ pi ^{2}}$

${\ Displaystyle V (r) = {\ frac {6} {\ pi}} r^{2}+O (r^{1+ \ varepsilon}).}$

Stejně jako u obvyklého kruhového problému je problémovou částí primitivního kruhového problému redukce exponentu v chybovém členu. V současné době je nejznámějším exponentem předpoklad Riemannovy hypotézy . Aniž bychom předpokládali Riemannovu hypotézu, nejznámější horní mez je ${\ Displaystyle 221/304+\ varepsilon}$

${\ Displaystyle V (r) = {\ frac {6} {\ pi}} r^{2}+O (r \ exp (-c (\ log r)^{3/5} (\ log \ log r ^{2})^{-1/5}))}}$

pro kladnou konstantu . Zejména vázán na chybový člen formuláře pro jakékoliv současné době je známo, že nepředpokládá Riemann hypotéza. ${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle 1- \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$

Poznámky

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Gaussův kruhový problém“ . MathWorld .
• Grant Sanderson, „Pi skrývající se v hlavních zákonitostech“ , 3Blue1Brown