Teilerfunktion - Divisor function

In der Mathematik und insbesondere in der Zahlentheorie ist eine Teilerfunktion eine arithmetische Funktion, die sich auf die Teiler einer ganzen Zahl bezieht . Wenn gemäß der Divisor Funktion, zählt er die Anzahl von Teilern einer ganzen Zahl (einschließlich 1 und der Zahl selbst). Es erscheint in einer Reihe von bemerkenswerten Identitäten, einschließlich Beziehungen auf der Riemannschen Zetafunktion und die Eisensteinreihen von Modulformen . Teilerfunktionen wurden von Ramanujan untersucht , der eine Reihe wichtiger Kongruenzen und Identitäten angab ; diese werden im Artikel Ramanujans Summe gesondert behandelt .

Eine verwandte Funktion ist die Divisor summatory Funktion , die, wie der Name schon sagt, eine Summe über die Divisor - Funktion ist.

Definition

Die Summe der positiven Teilerfunktion σ _x ( n ) für eine reelle oder komplexe Zahl x ist als die Summe der x- ten Potenzen der positiven Teiler von n definiert . Es kann in Sigma-Notation ausgedrückt werden als

${\displaystyle \sigma_{x}(n)=\sum_{d\mid n}d^{x}\,\!,}$

wo ist die Abkürzung für " d teilt n ". Die Notationen d ( n ), ν ( n ) und τ ( n ) (für die deutschen Teiler = Teiler) werden auch verwendet, um σ ₀ ( n ) oder die Anzahl-der-Teiler-Funktion ( OEIS :  A000005 ) zu bezeichnen. Wenn x 1 ist, wird die Funktion als Sigma-Funktion oder Teilersummenfunktion bezeichnet , und der Index wird oft weggelassen, sodass σ( n ) gleich ₁ ( n ) ist ( OEIS :  A000203 ). ${\displaystyle {d\mid n}}$

Die Aliquotsumme s ( n ) von n ist die Summe der richtigen Teiler (d. h. der Teiler ohne n selbst, OEIS :  A001065 ) und ist gleich σ ₁ ( n ) −  n ; die aliquotierte Folge von n wird durch wiederholtes Anwenden der aliquoten Summenfunktion gebildet.

Beispiel

Zum Beispiel ist σ ₀ (12) die Anzahl der Teiler von 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+ 12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1+1=6,\end{ausgerichtet}}}$

während σ ₁ (12) die Summe aller Teiler ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+ 12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{ausgerichtet}}}$

und die Aliquotsumme s(12) der richtigen Teiler ist:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+ 2+3+4+6=16.\end{ausgerichtet}}}$

Wertetabelle

Die Fälle x = 2 bis 5 sind aufgelistet in OEIS :  A001157 − OEIS :  A001160 , x = 6 bis 24 sind aufgelistet in OEIS :  A013954 − OEIS :  A013972 .

n	Faktorisierung	σ 0 ( n )	σ 1 ( n )	σ 2 ( n )	𝜎 3 ( n )	σ 4 ( n )
1	1	1	1	1	1	1
2	2	2	3	5	9	17
3	3	2	4	10	28	82
4	2 2	3	7	21	73	273
5	5	2	6	26	126	626
6	2×3	4	12	50	252	1394
7	7	2	8	50	344	2402
8	2 3	4	fünfzehn	85	585	4369
9	3 2	3	13	91	757	6643
10	2×5	4	18	130	1134	10642
11	11	2	12	122	1332	14642
12	2 2 × 3	6	28	210	2044	22386
13	13	2	14	170	2198	28562
14	2×7	4	24	250	3096	40834
fünfzehn	3×5	4	24	260	3528	51332
16	2 4	5	31	341	4681	69905
17	17	2	18	290	4914	83522
18	2×3 2	6	39	455	6813	112931
19	19	2	20	362	6860	130322
20	2 2 × 5	6	42	546	9198	170898
21	3×7	4	32	500	9632	196964
22	2×11	4	36	610	11988	248914
23	23	2	24	530	12168	279842
24	2 3 × 3	8	60	850	16380	358258
25	5 2	3	31	651	15751	391251
26	2×13	4	42	850	19782	485554
27	3 3	4	40	820	20440	538084
28	2 2 × 7	6	56	1050	25112	655746
29	29	2	30	842	24390	707282
30	2×3×5	8	72	1300	31752	872644
31	31	2	32	962	29792	923522
32	2 5	6	63	1365	37449	1118481
33	3×11	4	48	1220	37296	1200644
34	2×17	4	54	1450	44226	1419874
35	5×7	4	48	1300	43344	1503652
36	2 2 × 3 2	9	91	1911	55261	1813539
37	37	2	38	1370	50654	1874162
38	2×19	4	60	1810	61740	2215474
39	3×13	4	56	1700	61544	2342084
40	2 3 × 5	8	90	2210	73710	2734994
41	41	2	42	1682	68922	2825762
42	2×3×7	8	96	2500	86688	3348388
43	43	2	44	1850	79508	3418802
44	2 2 × 11	6	84	2562	97236	3997266
45	3 2 × 5	6	78	2366	95382	4158518
46	2×23	4	72	2650	109512	4757314
47	47	2	48	2210	103824	4879682
48	2 4 × 3	10	124	3410	131068	5732210
49	7 2	3	57	2451	117993	5767203
50	2×5 2	6	93	3255	141759	6651267

Eigenschaften

Formeln bei Primzahlen

Für eine Primzahl p gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}( p)&=p+1\end{ausgerichtet}}}$

denn per Definition sind die Faktoren einer Primzahl 1 und sich selbst. Auch wenn p _n # das Primorial bezeichnet ,

${\displaystyle \sigma_{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

da n Primfaktoren eine Folge binärer Auswahl ( oder 1) aus n Termen für jeden gebildeten richtigen Teiler ermöglichen. ${\displaystyle p_{i}}$

Offensichtlich für alle , und für alle , . ${\displaystyle 1<\sigma_{0}(n)<n}$${\displaystyle n>2}$${\displaystyle \sigma_{x}(n)>n}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle x>0}$

Die Divisorfunktion ist multiplikativ , aber nicht vollständig multiplikativ :

${\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma_{x}(ab)=\sigma_{x}(a)\sigma_{x}(b).}$

Die Folge davon ist, dass, wenn wir schreiben

${\displaystyle n=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

wobei r  =  ω ( n ) die ist Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von n , p _i der IS i Faktor th prime und a _i ist die maximale Leistung von P _i durch welche n ist teilbar , dann haben wir:

${\displaystyle \sigma_{x}(n)=\prod_{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\ prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\ rechts).}$

die, wenn x  ≠ 0, der nützlichen Formel entspricht:

${\displaystyle \sigma_{x}(n)=\prod_{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_ {i}^{x}-1}}.}$

Wenn x  = 0, ist d ( n ):

${\displaystyle \sigma_{0}(n)=\prod_{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Wenn n beispielsweise 24 ist, gibt es zwei Primfaktoren ( p ₁ ist 2; p ₂ ist 3); Beachten Sie, dass 24 das Produkt von 2 ³ × 3 ^{1 ist} , a ₁ 3 und a _{2 1} ist. Somit können wir wie folgt berechnen : ${\displaystyle \sigma_{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma_{0}(24)=\prod_{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2= 8.}$

Die acht Teiler, die von dieser Formel gezählt werden, sind 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 und 24.

Andere Eigenschaften und Identitäten

Euler bewies die bemerkenswerte Wiederholung:

${\displaystyle {\begin{ausgerichtet}\sigma (n)&=\sigma (n-1)+\sigma (n-2)-\sigma (n-5)-\sigma (n-7)+\sigma (n-12)+\sigma (n-15)+\cdots \\&=\sum _{i\in\mathbb{Z}}(-1)^{i+1}\left(\sigma\left (n-{\frac{1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma\left(n-{\frac{1}{2}}\left( 3i^{2}+i\right)\right)\right)\end{ausgerichtet}}}$

wobei wir setzen ob es auftritt und für sind die fünfeckigen Zahlen . Euler hat dies in der Tat durch logarithmische Differenzierung der Identität in seinem Pentagonal-Zahlensatz bewiesen . ${\displaystyle \sigma (0)=n}$${\displaystyle \sigma (i)=0}$${\displaystyle i\leq 0,}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)}$

Für eine nicht quadratische ganze Zahl n ist jeder Teiler d von n gepaart mit Teiler n / d von n und ist gerade; für eine quadratische ganze Zahl ist ein Teiler (nämlich ) nicht mit einem bestimmten Teiler gepaart und ungerade. Ebenso ist die Zahl genau dann ungerade, wenn n ein Quadrat oder zweimal ein Quadrat ist. ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle \sigma_{1}(n)}$

Wir beachten auch s ( n ) = σ ( n ) −  n . Hier bezeichnet s ( n ) die Summe der echten Teiler von n , dh die Teiler von n ohne n selbst. Diese Funktion wird verwendet, um perfekte Zahlen zu erkennen , die die n sind, für die s ( n ) =  n ist . Wenn s ( n ) > n ist n eine reichlich vorhandene Zahl und wenn s ( n ) < n dann ist n eine defiziente Zahl .

Wenn n zum Beispiel eine Potenz von 2 ist , dann gilt und s(n) = n – 1 , was n fast perfekt macht . ${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle \sigma(n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1,}$

Als Beispiel für zwei verschiedene Primzahlen p und q mit p <q , lassen

${\displaystyle n=pq.}$

Dann

${\displaystyle \sigma(n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi(n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

und

${\displaystyle n+1=(\sigma(n)+\varphi(n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

wo ist die Totient-Funktion von Euler . ${\displaystyle\varphi(n)}$

Dann die Wurzeln von:

${\displaystyle (xp)(xq)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[ (\sigma(n)+\varphi(n))/2-1]=0}$

erlaubt es uns auszudrücken p und q in Form von σ ( n ) und φ ( n ) allein, ohne zu wissen , n oder p + q , wie:

${\displaystyle p=(\sigma(n)-\varphi(n))/4-{\sqrt {[(\sigma(n)-\varphi(n))/4]^{2}-[(\ Sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma(n)-\varphi(n))/4+{\sqrt {[(\sigma(n)-\varphi(n))/4]^{2}-[(\ Sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

Wenn wir n und entweder oder kennen (oder p+q und entweder oder kennen ), können wir p und q leicht finden . ${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle\varphi(n)}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle\varphi(n)}$

1984 bewies Roger Heath-Brown , dass die Gleichberechtigung

${\displaystyle \sigma_{0}(n)=\sigma_{0}(n+1)}$

gilt für unendlich viele Werte von n, siehe OEIS :  A005237 .

Reihenbeziehungen

Zwei Dirichlet-Reihen mit Teilerfunktion sind:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma_{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (sa)\ quad {\text{für}}\quad s>1,s>a+1,}$

was für d ( n ) =  σ ₀ ( n ) ergibt:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta^{2}(s)\quad {\text{for }}\quad s>1,}$

und eine Ramanujan- Identität

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma_{a}(n)\sigma_{b}(n)}{n^{s}}}={\ frac {\zeta (s)\zeta (sa)\zeta (sb)\zeta (sab)}{\zeta (2s-ab)}},}$

Dies ist ein Spezialfall der Rankin-Selberg-Faltung .

Eine Lambert-Reihe mit Teilerfunktion lautet:

${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}q^{n}\sigma_{a}(n)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum _{j= 1}^{\infty}n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{ 1-q^{n}}}}$

für beliebigen Komplex | q | ≤ 1 und  a . Diese Summation erscheint auch als Fourier-Reihe der Eisenstein-Reihe und als Invarianten der elliptischen Funktionen von Weierstraß .

Für gibt es eine explizite Reihendarstellung mit Ramanujan-Summen als: ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma_{k}(n)=\zeta(k+1)n^{k}\sum_{m=1}^{\infty}{\frac {c_{m}(n)} {m^{k+1}}}.}$

Die Berechnung der ersten Terme von zeigt seine Schwingungen um den "Mittelwert" : ${\displaystyle c_{m}(n)}$${\displaystyle\zeta(k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma_{k}(n)=\zeta(k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1 }}}+{\frac{2\cos{\frac{2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n }{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots\right]}$

Wachstumsrate

In Little-O-Notation erfüllt die Divisorfunktion die Ungleichung:

${\displaystyle {\mbox{für alle}}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon}).}$

Genauer gesagt hat Severin Wigert gezeigt, dass:

${\displaystyle \limsup_{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

Andererseits, da es unendlich viele Primzahlen gibt ,

${\displaystyle \liminf_{n\to\infty}d(n)=2.}$

In Big-O-Notation zeigte Peter Gustav Lejeune Dirichlet , dass die durchschnittliche Ordnung der Teilerfunktion die folgende Ungleichung erfüllt:

${\displaystyle {\mbox{für alle }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x }}),}$

wo ist die Eulersche Gammakonstante . Das Verbessern der Schranke in dieser Formel ist als Dirichlet-Divisorproblem bekannt . ${\displaystyle\gamma}$${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

Das Verhalten der Sigma-Funktion ist unregelmäßig. Die asymptotische Wachstumsrate der Sigma-Funktion kann ausgedrückt werden durch:

${\displaystyle \limsup_{n\rightarrow\infty }{\frac {\sigma(n)}{n\,\log\log n}}=e^{\gamma},}$

wobei lim sup die Grenze höher ist . Dieses Ergebnis ist Grönwall ‚s Theorem , im Jahr 1913 veröffentlicht ( Grönwall 1913 ). Sein Beweis verwendet den 3. Satz von Mertens , der besagt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{ \gamma},}$

wobei p eine Primzahl bezeichnet.

1915 bewies Ramanujan, dass unter der Annahme der Riemann-Hypothese die Ungleichung:

${\displaystyle\\sigma(n)<e^{\gamma}n\log\log n}$ (Robinsche Ungleichung)

gilt für alle hinreichend großen n ( Ramanujan 1997 ). Der größte bekannte Wert, der die Ungleichung verletzt, ist n = 5040 . 1984 bewies Guy Robin , dass die Ungleichung für alle n > 5040 genau dann gilt, wenn die Riemann-Hypothese wahr ist ( Robin 1984 ). Dies ist der Satz von Robin und die Ungleichung wurde nach ihm bekannt. Robin weiterhin gezeigt , dass , wenn die Riemannsche Hypothese falsch ist dann eine unendliche Anzahl von Werten gibt es n , die die Ungleichheit verletzen, und es ist bekannt , dass die kleinste solche n > 5040 muss superabundant ( Akbary & Friggstad 2009 ). Es wurde gezeigt, dass die Ungleichung für große ungerade und quadratfreie ganze Zahlen gilt und dass die Riemannsche Hypothese der Ungleichung nur für n, das durch die fünfte Potenz einer Primzahl teilbar ist, äquivalent ist ( Choie et al. 2007 ).

Robin hat auch bedingungslos bewiesen, dass die Ungleichung:

${\displaystyle\\sigma(n)<e^{\gamma}n\log\log n+{\frac {0,6483\ n}{\log\log n}}}$

gilt für alle n ≥ 3.

Eine verwandte Schranke wurde 2002 von Jeffrey Lagarias angegeben , der bewies, dass die Riemann-Hypothese äquivalent zu der Aussage ist, dass:

${\displaystyle \sigma(n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

für jede natürliche Zahl n > 1, wobei die n- te harmonische Zahl ist ( Lagarias 2002 ). ${\displaystyle H_{n}}$

Siehe auch

• Divisorsummenfaltungen , listet einige Identitäten auf, die die Divisorfunktionen beinhalten
• Eulersche Totient-Funktion , Eulersche Phi-Funktion
• Refactorable Nummer
• Teilertabelle
• Einheitlicher Teiler

Anmerkungen

Verweise

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis" (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, doi : 10.4169/193009709X470128 , archiviert vom Original (PDF) am 2014-04- 11.
• Apostol, Tom M. (1976), Einführung in die analytische Zahlentheorie , Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, HERR  0434929 , Zbl  0335.10001
• Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Algorithmic Number Theory , Band 1, 1996, MIT Press. ISBN  0-262-02405-5 , siehe Seite 234 in Abschnitt 8.8.
• Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis ; Sondow, Jonathan (2011), "Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 11 : A33, arXiv : 1110.5078 , Bibcode : 2011arXiv1110.5078C
• Choie, YoungJu ; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter ; Solé, Patrick (2007), "On Robins Kriterium für die Riemann-Hypothese", Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 19 (2): 357–372, arXiv : math.NT/0604314 , doi : 10.5802/jtnb.591 , ISSN  1246-7405 , MR  2394891 , S2CID  3207238 , Zbl  1163.11059
• Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Einige asymptotische Ausdrücke in der Zahlentheorie", Transactions of the American Mathematical Society , 14 : 113–122, doi : 10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938], Eine Einführung in die Zahlentheorie , überarbeitet von DR Heath-Brown und JH Silverman . Vorwort von Andrew Wiles . (6. Aufl.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-921986-5, MR  2445243 , Zbl  1159.11001
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Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Divisorfunktion" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Theorem von Robin" . MathWorld .
• Elementare Bewertung bestimmter Faltungssummen mit Divisorfunktionen PDF eines Artikels von Huard, Ou, Spearman und Williams. Enthält elementare (dh nicht auf die Theorie der modularen Formen beruhende) Beweise von Teilersummenfaltungen, Formeln für die Anzahl der Darstellungsmöglichkeiten einer Zahl als Summe von Dreieckszahlen und zugehörige Ergebnisse.