Vollständig multiplikative Funktion - Completely multiplicative function

In der Zahlentheorie sind Funktionen positiver Ganzzahlen, die Produkte respektieren, wichtig und werden als vollständig multiplikative Funktionen oder vollständig multiplikative Funktionen bezeichnet . Ein schwächerer Zustand ist ebenfalls wichtig, da nur Produkte von Coprime- Zahlen berücksichtigt werden, und solche Funktionen werden als multiplikative Funktionen bezeichnet . Außerhalb der Zahlentheorie wird der Begriff "multiplikative Funktion" häufig als Synonym für "vollständig multiplikative Funktion" im Sinne dieses Artikels angesehen.

Definition

Eine vollständig multiplikative Funktion (oder vollständig multiplikative Funktion ) ist eine arithmetische Funktion (dh eine Funktion, deren Domäne die natürlichen Zahlen sind ), so dass f (1) = 1 und f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) gilt für alle positiven ganzen Zahlen a und b .

Ohne die Anforderung, dass f (1) = 1 ist, könnte man immer noch f (1) = 0 haben, aber dann ist f ( a ) = 0 für alle positiven ganzen Zahlen a , so dass dies keine sehr starke Einschränkung ist.

Die obige Definition kann in der Sprache der Algebra umformuliert werden: Eine vollständig multiplikative Funktion ist ein Homomorphismus vom Monoid ( dh den positiven Ganzzahlen unter Multiplikation) zu einem anderen Monoid. ${\ displaystyle (\ mathbb {Z} ^ {+}, \ cdot)}$

Beispiele

Das einfachste Beispiel für eine vollständig multiplikative Funktion ist ein Monom mit dem führenden Koeffizienten 1: Definieren Sie für eine bestimmte positive ganze Zahl n f ( a ) = a ⁿ . Dann f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) , f ( c ) und f (1) = 1 ⁿ = 1 ist .

Die Liouville-Funktion ist ein nicht triviales Beispiel für eine vollständig multiplikative Funktion, ebenso wie Dirichlet-Zeichen , das Jacobi-Symbol und das Legendre-Symbol .

Eigenschaften

Eine vollständig multiplikative Funktion wird vollständig durch ihre Werte an den Primzahlen bestimmt, eine Folge des Grundsatzes der Arithmetik . Wenn also n ein Produkt von Potenzen verschiedener Primzahlen ist, sagen wir n = p ^a q ^b ..., dann ist f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

Während die Dirichlet-Faltung zweier multiplikativer Funktionen multiplikativ ist, muss die Dirichlet-Faltung zweier vollständig multiplikativer Funktionen nicht vollständig multiplikativ sein.

Es gibt eine Vielzahl von Aussagen über eine Funktion, die einer vollständigen Multiplikation entsprechen. Wenn eine Funktion zum Beispiel f multiplikativen ist , dann ist es vollkommen multiplikativen wenn und nur wenn seine Dirichlet inversen ist , wo die IS - Funktion Möbius . ${\ displaystyle \ mu \ cdot f}$${\ displaystyle \ mu}$

Vollständig multiplikative Funktionen erfüllen auch ein Verteilungsgesetz. Wenn f vollständig multiplikativ ist, dann

${\ displaystyle f \ cdot (g * h) = (f \ cdot g) * (f \ cdot h)}$

Dabei steht * für das Dirichlet-Produkt und für die punktweise Multiplikation . Eine Folge davon ist, dass man für jede vollständig multiplikative Funktion f hat ${\ displaystyle \ cdot}$

${\ displaystyle f * f = \ tau \ cdot f}$

was aus dem Obigen abgeleitet werden kann, indem beide gesetzt werden , wobei die konstante Funktion ist . Hier ist die Divisor-Funktion . ${\ displaystyle g = h = 1}$${\ displaystyle 1 (n) = 1}$${\ displaystyle \ tau}$

Nachweis des Vertriebseigentums

${\ displaystyle {\ begin {align} f \ cdot \ left (g * h \ right) (n) & = f (n) \ cdot \ sum _ {d | n} g (d) h \ left ({\ frac {n} {d}} \ rechts) = \\ & = \ sum _ {d | n} f (n) \ cdot (g (d) h \ links ({\ frac {n} {d}} \ rechts)) = \\ & = \ sum _ {d | n} (f (d) f \ links ({\ frac {n} {d}} \ rechts)) \ cdot (g (d) h \ links ( {\ frac {n} {d}} \ right)) {\ text {(da}} f {\ text {ist vollständig multiplikativ)}} = \\ & = \ sum _ {d | n} (f (d ) g (d)) \ cdot (f \ left ({\ frac {n} {d}} \ right) h \ left ({\ frac {n} {d}} \ right)) \\ & = (f \ cdot g) * (f \ cdot h). \ end {align}}}$

Dirichlet-Serie

Die L-Funktion einer vollständig (oder vollständig) multiplikativen Dirichlet-Reihe erfüllt ${\ displaystyle a (n)}$

${\ displaystyle L (s, a) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a (n)} {n ^ {s}}} = \ prod _ {p} {\ biggl (} 1 - {\ frac {a (p)} {p ^ {s}}} {\ biggr)} ^ {- 1},}$

Dies bedeutet, dass die Summe aller natürlichen Zahlen gleich dem Produkt aller Primzahlen ist.

Siehe auch

• Multiplikative Funktion
• Dirichlet-Serie
• Dirichlet L-Funktion
• Arithmetische Funktion

Verweise