Luftige Funktion - Airy function

In den physikalischen Wissenschaften ist die Airy-Funktion (oder Airy-Funktion erster Art ) Ai( x ) eine spezielle Funktion, die nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy (1801-1892) benannt wurde. Die Funktion Ai( x ) und die zugehörige Funktion Bi( x ) sind linear unabhängige Lösungen der Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-xy=0,\,\!}$

bekannt als Airy-Gleichung oder Stokes-Gleichung . Dies ist die einfachste lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einem Wendepunkt (ein Punkt, an dem sich der Charakter der Lösungen von oszillatorisch zu exponentiell ändert).

Eine andere Funktion , die auch nach Airy benannt ist, ist in der Mikroskopie und Astronomie von Bedeutung ; es beschreibt das Muster , das aufgrund von Beugung und Interferenz von einer Punktlichtquelle erzeugt wird (eine, die viel kleiner ist als die Auflösungsgrenze eines Mikroskops oder Teleskops ).

Definitionen

Plot von Ai( x ) in Rot und Bi( x ) in Blau

Für reelle Werte von x kann die Airy-Funktion erster Art durch das uneigentliche Riemann-Integral definiert werden :

${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)={\dfrac {1}{\pi}}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\dfrac {t^{3}}{ 3}}+xt\right)\,dt\equiv {\dfrac {1}{\pi}}\lim _{b\to \infty}\int _{0}^{b}\cos \left({ \dfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt,}$

die durch den Dirichlet-Test konvergiert . Für jede reelle Zahl gibt es eine positive reelle Zahl, so dass die Funktion steigend, unbeschränkt und konvex mit stetiger und unbeschränkter Ableitung auf Intervall ist . Die Konvergenz des Integrals auf diesem Intervall kann durch den Dirichlet-Test nach Substitution bewiesen werden . ${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$${\displaystyle [M,\infty)}$${\displaystyle u={\dfrac {t^{3}}{3}}+xt}$

y = Ai( x ) erfüllt die Airy-Gleichung

${\displaystyle y''-xy=0.}$

Diese Gleichung hat zwei linear unabhängige Lösungen. Bis auf die Skalarmultiplikation ist Ai( x ) die Lösung unter der Bedingung y → 0 als x → ∞. Die Standardwahl für die andere Lösung ist die Airy-Funktion zweiter Art, die als Bi( x ) bezeichnet wird. Es ist definiert als die Lösung mit der gleichen Schwingungsamplitude wie Ai( x ) als x → −∞, die sich in der Phase um π/2 unterscheidet:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{ 3}}{3}}+xt\right)+\sin\left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]dt.}$

Eigenschaften

Die Werte von Ai( x ) und Bi( x ) und ihre Ableitungen bei x = 0 sind gegeben durch

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {2}{3}}\Gamma ({\tfrac {2}{ 3}})}},&\quad \operatorname {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{3^{\frac {1}{3}}\Gamma ({\tfrac { 1}{3}})}},\\\Operatorname {Bi} (0)&{}={\frac {1}{3^{\frac {1}{6}}\Gamma ({\tfrac { 2}{3}})}},&\quad \operatorname {Bi} '(0)&{}={\frac {3^{\frac {1}{6}}}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}.\end{aligned}}}$

Dabei bezeichnet Γ die Gamma-Funktion . Daraus folgt, dass die Wronski-Funktion von Ai( x ) und Bi( x ) 1/π ist.

Wenn x positiv ist, ist Ai( x ) positiv, konvex und nimmt exponentiell auf Null ab, während Bi( x ) positiv, konvex und exponentiell ansteigend ist. Wenn x negativ ist, schwingen Ai( x ) und Bi( x ) mit immer größer werdender Frequenz und immer kleiner werdender Amplitude um Null. Dies wird durch die asymptotischen Formeln unten für die Airy-Funktionen unterstützt.

Die Airy-Funktionen sind in dem Sinne orthogonal, dass

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (t+x)\operatorname {Ai} (t+y)dt=\delta (xy)}$

wieder unter Verwendung eines uneigentlichen Riemann-Integrals.

Asymptotische Formeln

Ai(blau) und sinusförmige/exponentielle asymptotische Form von Ai(magenta)

Bi(blau) und sinusförmige/exponentielle asymptotische Form von Bi(magenta)

Wie weiter unten erklärt, können die Airy-Funktionen auf die komplexe Ebene erweitert werden, wodurch ganze Funktionen erhalten werden . Das asymptotische Verhalten der Airy-Funktionen als |z| geht ins Unendliche bei einem konstanten Wert von arg ( z ) hängt von arg( z ) ab: dies wird als Stokes-Phänomen bezeichnet . Für |arg( z )| < π haben wir die folgende asymptotische Formel für Ai( z ):

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)\sim {\dfrac {e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi}}\,z^{\frac {1}{4}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\ Gamma (n+{\frac{5}{6}})\Gamma (n+{\frac{1}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right)^{n}} {2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$

und ein ähnliches für Bi( z ), aber nur anwendbar, wenn |arg( z )| < π/3:

${\displaystyle \operatorname {Bi} (z)\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {\ pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum_{n=0}^{\infty }{\dfrac {\Gamma (n+{\frac {5}{ 6}})\Gamma (n+{\frac{1}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n /2}}}\right].}$

Eine genauere Formel für Ai( z ) und eine Formel für Bi( z ) wenn π/3 < |arg( z )| < π oder äquivalent für Ai( −z ) und Bi( −z ) wenn |arg( z )| < 2π/3 aber nicht Null, sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-z)\sim &{}{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3} {2}}+{\frac{\pi}{4}}\right)}{{\sqrt {\pi}}\,z^{\frac{1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6 .) }})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{} -{\frac{\cos\left({\frac{2}{3}}z^{\frac{3}{2}}+{\frac{\pi}{4}}\right)}{{ \sqrt {\pi}}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n }\Gamma (2n+{\frac{11}{6}})\Gamma (2n+{\frac{7}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right)^{2n +1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} (-z)\sim &{}{\frac {\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\ pi }}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma ( 2n+{\frac{5}{6}})\Gamma (2n+{\frac{1}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right)^{2n}}{2 \pi (2n)!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}+{\frac {\sin \left({\frac {2}{3}}z^{\frac { 3}{2}}+{\frac{\pi}{4}}\right) }{{\sqrt {\pi}}\,z^{\frac {1}{4}}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1) ^{n}\Gamma (2n+{\frac{11}{6}})\Gamma (2n+{\frac{7}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right) ^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right].\end{ausgerichtet}}}$

Wenn |arg( z )| = 0 sind dies gute Näherungen, aber nicht asymptotisch, da das Verhältnis zwischen Ai( −z ) oder Bi( −z ) und der obigen Näherung gegen unendlich geht, wenn Sinus oder Kosinus gegen Null geht. Asymptotische Erweiterungen für diese Grenzen sind ebenfalls verfügbar. Diese sind in (Abramowitz und Stegun, 1983) und (Olver, 1974) aufgeführt.

Man kann auch asymptotische Ausdrücke für die Ableitungen Ai'(z) und Bi'(z) erhalten. Ähnlich wie zuvor, wenn |arg(z)|<π:

$${\displaystyle \operatorname {Ai} '(z)\sim -{\dfrac {z^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi}}\,}}\left[\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1- 6n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (n+{\frac {5}{6}})\Gamma (n+{\frac {1}{6}})\left({\ frac {3}{4}}\right)^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$$

Wenn |arg(z)|<π/3 gilt:

$${\displaystyle \operatorname {Bi} '(z)\sim {\frac {z^{\frac {1}{4}}e^{{\frac {2}{3}}z^{\frac {3 }{2}}}}{{\sqrt {\pi}}\,}}\left[\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {1+6n}{1-6n}} {\dfrac{\Gamma (n+{\frac{5}{6}})\Gamma (n+{\frac{1}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right) ^{n}}{2\pi n!z^{3n/2}}}\right].}$$

Ähnlich ist ein Ausdruck für Ai'(− z ) und Bi'(− z ) wenn |arg( z )| < 2π/3 aber nicht Null, are

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} '(-z)\sim &{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac { 2}{3}}z^{\frac{3}{2}}+{\frac{\pi}{4}}\right)}{{\sqrt {\pi}}\,}}\left[ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{) 6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n)!z^ {3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left({\frac {2}{3}}z^ {\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi}}\,}}\left[\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma ( 2n+{\frac{7}{6}})\left({\frac{3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+ 3/2}}}\right]\\[6pt]\operatorname {Bi} '(-z)\sim &{}{\frac {z^{\frac {1}{4}}\sin \left( {\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}{{\sqrt {\pi}}\,} }\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+12n}{1-12n}}{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {5}{6}})\Gamma (2n+{\frac {1}{6}})\left({\frac {3}{4}}\right)^{2n}}{2\pi (2n )!z^{3n}}}\right]\\[6pt]&{}-{\fr ac {z^{\frac {1}{4}}\cos \left({\frac {2}{3}}z^{\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{ 4}}\right)}{{\sqrt {\pi}}\,}}\left[\sum_{n=0}^{\infty }{\frac {7+12n}{-5-12n} }{\dfrac {(-1)^{n}\Gamma (2n+{\frac {11}{6}})\Gamma (2n+{\frac {7}{6}})\left({\frac { 3}{4}}\right)^{2n+1}}{2\pi (2n+1)!z^{3n+3/2}}}\right]\\\end{ausgerichtet}}}$$

Komplexe Argumente

Wir können die Definition der Airy-Funktion auf die komplexe Ebene erweitern um

${\displaystyle \operatorname {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\tfrac {t^{3}}{3}} -zt\rechts)\,dt,}$

wobei das Integral über einen Pfad C verläuft , der am Punkt im Unendlichen mit Argument −π/3 beginnt und am Punkt im Unendlichen mit Argument π/3 endet. Alternativ können wir die Differentialgleichung y ′′ − xy = 0 verwenden, um Ai( x ) und Bi( x ) zu ganzen Funktionen auf der komplexen Ebene zu erweitern.

Die asymptotische Formel für Ai( x ) ist in der komplexen Ebene noch gültig, wenn der Hauptwert von x ^2/3 genommen wird und x von der negativen reellen Achse wegbegrenzt wird. Die Formel für Bi( x ) ist gültig, vorausgesetzt x liegt im Sektor { x ∈ C  : |arg( x )| < (π/3)−δ} für ein positives δ. Schließlich sind die Formeln für Ai(− x ) und Bi(− x ) gültig, wenn x im Sektor { x ∈ C  : |arg( x )| < (2π/3)−δ}.

Aus dem asymptotischen Verhalten der Airy-Funktionen folgt, dass sowohl Ai( x ) als auch Bi( x ) unendlich viele Nullstellen auf der negativen reellen Achse haben. Die Funktion Ai( x ) hat keine weiteren Nullstellen in der komplexen Ebene, während die Funktion Bi( x ) auch unendlich viele Nullstellen im Sektor hat { z ∈ C  : π/3 < |arg( z )| < /2}.

Grundstücke

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Ai} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Ai} (x+iy)\right]\,}$

${\displaystyle \Re \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle \Im \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]}$	${\displaystyle |\operatorname {Bi} (x+iy)|\,}$	${\displaystyle \operatorname {arg} \left[\operatorname {Bi} (x+iy)\right]\,}$

Bezug zu anderen Sonderfunktionen

Für positive Argumente beziehen sich die Airy-Funktionen auf die modifizierten Bessel-Funktionen :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi}}{\sqrt {\frac {x}{3}}}\,K_{ \frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right),\\\Operatorname {Bi} (x)&{ }={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left(I_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3 }{2}}\right)+I_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right )\rechts).\end{ausgerichtet}}}$

Dabei sind I _±1/3 und K _1/3 Lösungen von

${\displaystyle x^{2}y''+xy'-\left(x^{2}+{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

Die erste Ableitung der Airy-Funktion ist

${\displaystyle \operatorname {Ai'} (x)=-{\frac {x}{\pi {\sqrt {3}}}}\,K_{\frac {2}{3}}\left({\ tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right).}$

Die Funktionen K _1/3 und K _2/3 lassen sich durch schnell konvergente Integrale darstellen (siehe auch modifizierte Bessel-Funktionen )

Bei negativen Argumenten stehen die Airy-Funktionen in Beziehung zu den Bessel-Funktionen :

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{9}}}\left(J_{\frac {1}{3}} \left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)+J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac { 2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right),\\\Operatorname {Bi} (-x)&{}={\sqrt {\frac {x}{ 3}}}\left(J_{-{\frac {1}{3}}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)- J_{\frac {1}{3}}\left({\tfrac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Hier sind J _±1/3 Lösungen von

${\displaystyle x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-{\tfrac {1}{9}}\right)y=0.}$

Die Funktionen Hi (x) und -Gi (x) des Scorers lösen die Gleichung y ′′ − xy = 1/π. Sie können auch in den Airy-Funktionen ausgedrückt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Gi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{x}^{\infty}\operatorname {Ai} (t)\, dt+\operatorname {Ai} (x)\int _{0}^{x}\operatorname {Bi} (t)\,dt,\\\operatorname {Hi} (x)&{}=\operatorname {Bi} (x)\int _{-\infty}^{x}\operatorname {Ai} (t)\,dt-\operatorname {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\operatorname { Bi} (t)\,dt.\end{ausgerichtet}}}$

Fourier-Transformation

Unter Verwendung der Definition der Airy-Funktion Ai( x ) ist es einfach zu zeigen, dass ihre Fourier-Transformation gegeben ist durch

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ e^{-2\ pi ikx}\,dx=e^{{\frac {i}{3}}(2\pi k)^{3}}.}$

Anwendungen

Quantenmechanik

Die Airy-Funktion ist die Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen, das in einem dreieckigen Potentialtopf eingeschlossen ist, und für ein Teilchen in einem eindimensionalen konstanten Kraftfeld. Aus dem gleichen Grund dient es auch dazu, gleichmäßige semiklassische Näherungen nahe einem Wendepunkt in der WKB-Näherung bereitzustellen , wenn das Potential lokal durch eine lineare Positionsfunktion angenähert werden kann. Die dreieckige Potentialtopflösung ist direkt relevant für das Verständnis von Elektronen, die in Halbleiter- Heteroübergängen gefangen sind .

Optik

Ätzmittel

Die Airy-Funktion liegt der Form der Intensität nahe einer optisch gerichteten Kaustik , wie der des Regenbogens, zugrunde . Historisch gesehen war dies das mathematische Problem, das Airy dazu veranlasste, diese spezielle Funktion zu entwickeln.

Transmission eines Fabry-Pérot-Interferometers

"Airy-Funktion" im Sinne der Fabry-Pérot-Interferometer-Transmission.

Die Transmissionsfunktion eines Fabry-Pérot-Interferometers wird auch als Airy-Funktion bezeichnet :

${\displaystyle T_{e}={\frac {1}{1+F\sin^{2}({\frac {\delta }{2}})}},}$

wobei beide Oberflächen das Reflexionsvermögen R und haben

${\displaystyle F={\frac {4R}{(1-R)^{2}}}}$

ist der Feinheitskoeffizient .

Beugung an einer kreisförmigen Blende

"Airy-Funktion" im Sinne der Beugung an kreisrunder Blende.

Unabhängig davon wird als dritte Bedeutung des Begriffs, die Form der Scheibe Airy aus den Wellen resultierenden Beugungs auf einer kreisförmige Öffnung wird manchmal auch bezeichnet als Airy - Funktion (siehe zB hier ). Diese Art von Funktion ist eng mit der Bessel-Funktion verwandt .

Geschichte

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen und Physiker George Biddell Airy (1801–1892) benannt, der ihr bei seinem frühen Studium der Optik in der Physik (Airy 1838) begegnete . Die Notation Ai( x ) wurde von Harold Jeffreys eingeführt . Airy war 1835 britischer Astronomer Royal geworden und hatte diesen Posten bis zu seiner Pensionierung im Jahr 1881 inne.

Siehe auch

• Der Beweis von Wittens Vermutung verwendete eine matrixbewertete Verallgemeinerung der Airy-Funktion.
• Luftige Zeta-Funktion

Anmerkungen

Verweise

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , Hrsg. (1983) [Juni 1964]. "Kapitel 10" . Handbuch mathematischer Funktionen mit Formeln, Graphen und mathematischen Tabellen . Reihe Angewandte Mathematik. 55 (Neunter Nachdruck mit zusätzlichen Korrekturen des zehnten Originaldrucks mit Korrekturen (Dezember 1972); 1. Aufl.). Washington, D.C; New York: Handelsministerium der Vereinigten Staaten, National Bureau of Standards; Dover-Publikationen. P. 448. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0.167.642 . LCCN  65-12253 .
• Airy (1838), "Über die Intensität des Lichts in der Nähe einer Ätzung" , Transactions of the Cambridge Philosophical Society , University Press, 6 : 379–402, Bibcode : 1838TCaPS...6..379A
• Frank William John Olver (1974). Asymptotik und Sonderfunktionen, Kapitel 11. Academic Press, New York.
• Drücken Sie, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 6.6.3. Airy Functions" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3. Aufl.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Vallée, Olivier; Soares, Manuel (2004), Airy Functions and Applications to physics , London: Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-478-9, MR  2114198 , archiviert vom Original am 13.01.2010 , abgerufen 2010-05-14

Externe Links

• "Luftige Funktionen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Luftige Funktionen" . MathWorld .
• Wolfram-Funktionsseiten für Ai- und Bi- Funktionen. Enthält Formeln, Funktionsauswertung und Plot-Rechner.
• Olver, FWJ (2010), „Luftige und verwandte Funktionen“ , in Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (Hrsg.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248