Tensortæthed - Tensor density

I differentiel geometri er en tensortæthed eller relativ tensor en generalisering af tensorfeltbegrebet . En tensordensitet transformeres som et tensorfelt, når det passerer fra et koordinatsystem til et andet (se tensorfelt ), bortset fra at det desuden multipliceres eller vægtes med en effekt W af den Jacobianske determinant for koordinatovergangsfunktionen eller dens absolutte værdi. Der skelnes mellem (autentiske) tensordensiteter, pseudotensordensiteter, endda tensordensiteter og ulige tensortætheder. Undertiden kaldes tensordensiteter med negativ vægt W tensorkapacitet. En tensordensitet kan også betragtes som en sektion af tensorproduktet af et tensorbundt med et densitetsbundt .

Motivering

I fysik og relaterede felter er det ofte nyttigt at arbejde med komponenterne i et algebraisk objekt snarere end selve objektet. Et eksempel ville være nedbrydning af en vektor i en sum af basis -vektorer vægtet med nogle koefficienter såsom

${\ displaystyle {\ vec {v}} = c_ {1} {\ vec {e}} _ {1} + c_ {2} {\ vec {e}} _ {2} + c_ {3} {\ vec {e}} _ {3}}$

hvor er en vektor i det 3-dimensionelle euklidiske rum , er de sædvanlige standardbasisvektorer i det euklidiske rum. Dette er normalt nødvendigt til beregningsformål og kan ofte være indsigtsfuldt, når algebraiske objekter repræsenterer komplekse abstraktioner, men deres komponenter har konkrete fortolkninger. Men med denne identifikation skal man være omhyggelig med at spore ændringer i det underliggende grundlag, hvor mængden udvides; i løbet af en beregning kan det være hensigtsmæssigt at ændre grundlaget, mens vektoren forbliver fast i det fysiske rum. Mere generelt, hvis et algebraisk objekt repræsenterer et geometrisk objekt, men udtrykkes i form af et bestemt grundlag, er det nødvendigt at, når basis ændres, også ændre repræsentationen. Fysikere kalder ofte denne repræsentation af et geometrisk objekt for en tensor, hvis den transformeres under en sekvens af lineære kort givet en lineær ændring af basis (skønt forvirrende andre kalder det underliggende geometriske objekt, som ikke har ændret sig under koordinatransformationen en "tensor", en konvention denne artikel undgår strengt). Generelt er der repræsentationer, der transformeres på vilkårlige måder afhængigt af, hvordan den geometriske invariant rekonstrueres fra repræsentationen. I visse specielle tilfælde er det praktisk at bruge repræsentationer, der transformerer næsten som tensorer, men med en yderligere, ikke-lineær faktor i transformationen. Et prototypisk eksempel er en matrix, der repræsenterer krydsproduktet (areal med spændt parallelogram) på . Repræsentationen er givet i standardbasis af ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle c_ {i} \ in \ mathbb {R} ^ {n} {\ text {and}} {\ vec {e}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ vec {u}} \ times {\ vec {v}} = {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 og 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} v_ {1} \\ v_ {2} \ end {bmatrix}} = u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1}}$

Hvis vi nu forsøger at udtrykke det samme udtryk på et andet grundlag end standardbasis, så ændres komponenterne i vektorerne, siger ifølge hvor der er en matrix på 2 til 2 med reelle tal. I betragtning af at arealet af det spændte parallelogram er en geometrisk invariant, kan det ikke have ændret sig under ændringen af ​​basis, og den nye repræsentation af denne matrix skal derfor være: ${\ textstyle {\ begin {bmatrix} u '_ {1} & u' _ {2} \ end {bmatrix}} ^ {\ textsf {T}} = A {\ begin {bmatrix} u_ {1} & u_ {2 } \ end {bmatrix}} ^ {\ textsf {T}}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ textsf {T}} {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix}} A ^ {- 1}}$

som, når det udvides kun er det originale udtryk, men ganget med determinanten for , hvilket også er . Faktisk kunne denne repræsentation betragtes som en to-indeks tensor transformation, men i stedet er det beregningsmæssigt lettere at tænke på tensor transformation reglen som multiplikation med snarere end som 2 matrix multiplikationer (Faktisk i højere dimensioner, den naturlige udvidelse af dette er matrixmultiplikationer, som for store er fuldstændig umulige). Objekter, der transformeres på denne måde, kaldes tensortætheder, fordi de opstår naturligt, når man overvejer problemer med hensyn til områder og volumener, og så ofte bruges til integration. ${\ displaystyle A ^ {- 1}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ textstyle {\ frac {1} {\ det A}}}$${\ displaystyle n, n \ times n}$${\ displaystyle n}$

Definition

Nogle forfattere klassificerer tensordensiteter i de to typer, der kaldes (autentiske) tensordensiteter og pseudotensordensiteter i denne artikel. Andre forfattere klassificerer dem forskelligt i de typer, der kaldes lige tensortætheder og ulige tensortætheder. Når en tensordensitetsvægt er et heltal, er der en ækvivalens mellem disse tilgange, der afhænger af, om heltalet er lige eller ulige.

Bemærk, at disse klassifikationer belyse de forskellige måder at tensor tætheder kan forvandle noget patologisk under orienterings- reversering koordinere transformationer. Uanset deres klassifikationer i disse typer, er der kun én måde at tensor tætheder omdanne under orienterings- bevare koordinat transformationer.

I denne artikel har vi valgt den konvention, der tildeler en vægt på +2 til determinanten for den metriske tensor udtrykt med covariante indekser. Med dette valg vil klassiske tætheder, som ladningstæthed, blive repræsenteret af tensortætheder med vægt +1. Nogle forfattere bruger en tegnkonvention for vægte, der er benægtelsen af ​​den, der præsenteres her.

I modsætning til betydningen brugt i denne artikel betyder " pseudotensor " i generel relativitet undertiden et objekt, der ikke transformerer som en tensor eller relativ tensor af nogen vægt.

Tensor- og pseudotensordensiteter

For eksempel transformeres en blandet rang-to (autentisk) tensordensitet af vægt W som:

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} { \ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak { T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      ((autentisk) tensordensitet på (heltal) vægt W )

hvor er rang-to tensordensitet i koordinatsystemet, er den transformerede tensortæthed i koordinatsystemet; og vi bruger den Jacobianske determinant . Da determinanten kan være negativ, hvilket det er til en orienteringsomvendende koordinatransformation, er denne formel kun anvendelig, når W er et heltal. (Se dog lige og ulige tensortætheder nedenfor.) ${\ displaystyle {\ bar {\ mathfrak {T}}}}$${\ displaystyle {\ bar {x}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}}}$${\ displaystyle {x}}$

Vi siger, at en tensortæthed er en pseudotensortæthed, når der er et ekstra tegn, der vender under en orienteringsomvendende koordinattransformation. En blandet rang-to pseudotensordensitet af vægt W transformeres som

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ højre]} \ højre) \ venstre (\ det {\ venstre [{\ frac {\ delvis {\ bar {x}} ^ {\ iota }} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right) ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar { x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar { \ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,,}$      (pseudotensordensitet af (heltal) vægt W )

hvor sgn () er en funktion, der returnerer +1, når argumentet er positivt, eller -1, når dets argument er negativt.

Jævn og ulige tensortætheder

Transformationerne for lige og ulige tensortætheder har fordelen ved at være veldefinerede, selv når W ikke er et heltal. Man kan således tale om f.eks. En ulige tensortæthed på vægt +2 eller en jævn tensortæthed på vægt -1/2.

Når W er et lige helt tal, kan ovenstående formel for en (autentisk) tensordensitet omskrives som

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bar {x }} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ partial {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bar {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (jævn tensor vægtvægt W )

Tilsvarende, når W er et ulige heltal, kan formlen for en (autentisk) tensordensitet omskrives som

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ beta} ^ {\ alpha} = \ operatorname {sgn} \ left (\ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ { \ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ højre]} \ højre) \ venstre \ vert \ det {\ venstre [{\ frac {\ delvis {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ right \ vert ^ {W} \, {\ frac {\ partial {x} ^ {\ alpha}} {\ partial {\ bjælke {x}} ^ {\ delta}}} \, {\ frac {\ delvis {\ bar {x}} ^ {\ epsilon}} {\ delvis {x} ^ {\ beta}}} \, {\ bjælke {\ mathfrak {T}}} _ {\ epsilon} ^ {\ delta} \ ,.}$      (ulige tensordensitet af vægt W )

Vægte på nul og en

En tensortæthed af enhver type, der har vægt nul, kaldes også en absolut tensor . En (jævn) autentisk tensordensitet på nulvægt kaldes også en almindelig tensor .

Hvis en vægt ikke er specificeret, men ordet "relativ" eller "tæthed" bruges i en sammenhæng, hvor der er behov for en bestemt vægt, antages det normalt, at vægten er +1.

Algebraiske egenskaber

1. En lineær kombination (aka vægtet sum ) af tensortætheder af samme type og vægt W er igen en tensortæthed af denne type og vægt.
2. Et produkt af to tensor densiteter af alle typer og med vægte W ₁ og W ₂ er en tensor densitet på vægten W ₁ + W ₂ .

   Et produkt med autentiske tensordensiteter og pseudotensordensiteter vil være en autentisk tensordensitet, når et lige antal af faktorerne er pseudotensordensiteter; det vil være en pseudotensortæthed, når et ulige antal af faktorerne er pseudotensortætheder. Tilsvarende vil et produkt med jævn tensordensitet og ulige tensordensitet være en jævn tensortæthed, når et lige antal af faktorerne er ulige tensordensiteter; det vil være en ulige tensortæthed, når et ulige antal af faktorerne er ulige tensordensiteter.

3. Sammentrækning af indekser på en tensor tæthed med vægt W igen giver en tensor densitet på vægt W .
4. Ved hjælp af (2) og (3) ser man, at hæve og sænke indekser ved hjælp af metrisk tensor (vægt 0) efterlader vægten uændret.

Matrixinversion og matrixdeterminant for tensordensiteter

Hvis der er en ikke-ental matrix og en rang-to tensordensitet af vægt W med covariante indekser, så vil dens matrix inverse være en rang-to tensordensitet af vægt - W med kontravariant indekser. Lignende udsagn gælder, når de to indekser er kontravariant eller er blandede i kombination og kontravariant. ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$

Hvis er en rang-to tensordensitet af vægt W med covariante indekser, så vil matrixdeterminanten have vægten NW + 2 , hvor N er antallet af rumtidsdimensioner. Hvis er en rang-to tensordensitet af vægt W med kontravariant indeks, så vil matrixdeterminanten have vægten NW - 2 . Matrixdeterminanten har vægt NW . ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} ^ {\ alpha \ beta}}$${\ displaystyle \ det {\ mathfrak {T}} _ {~ \ beta} ^ {\ alpha}}$

Generel relativitet

En del af en serie artikler om
Generel relativitet
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introduktion Historie Matematisk formulering Test
Grundlæggende begreber Princippet om relativitet Relativitetsteori Generel kovarians Samtidighed Relativitet af samtidighed Relativ bevægelse Begivenhed Referenceramme Træningsreferenceramme Masse Træningsmasse Hvilestel Center-of-momentum-ramme Krumning Geodesic Geon Ækvivalensprincip Mass i generel relativitet Mass-energi ækvivalens Invariant Invariant masse Rummet symmetrier Speciel relativitet Dobbelt speciel relativitet de Sitter invariant speciel relativitet Skala relativitet Lysets hastighed Tidsafledt Korrekt tid Korrekt længde Længde sammentrækning Handling på afstand Princip for lokalitet Riemannian geometri Energitilstand
Fænomener Gravitoelektromagnetisme Kepler-problem Tyngdekraft Gravitationsfelt Tyngdekraften godt Gravitationslinser Gravitationsbølger Gravitations rødskift Rødskift Blueshift Tidsudvidelse Gravitationel tidsudvidelse Shapiro tidsforsinkelse Gravitationspotentiale Gravitationel kompression Gravitationel sammenbrud Træk i rammen Geodetisk effekt Tilsyneladende horisont Begivenhedshorisont Gravitationel singularitet Nøgen singularitet Sort hul Hvidt hul Rumtid Tidens pil Let kegle Verdenslinje Tredimensionelt rum Fire-dimensionelt rum Plads Tid Manifold Glat manifold Riemannian manifold Konfigurationsplads Statligt rum Faseplads Hilbert plads Euklidisk rum Topologisk rum Topologisk defekt Rumtidsdiagrammer Minkowski rumtid Lorentz skalar Lukket tidlignende kurve (CTC) Ormehul Ellis ormehul
Ligninger Formalismer Ligninger Lineariseret tyngdekraft Einstein feltligninger Friedmann Geodesik Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Krumning invariant (generel relativitet) Lorentz transformation Lorentzian manifold Globalt hyperbolsk manifold Årsagsforhold Årsagsstruktur Formalismer ADM BSSN Newman – Penrose Post-Newtonian Avanceret teori Brans – Dicke teori Kosmisk censurhypotese Kaluza – Klein teori Kvantegravitation Overvægt
Løsninger Relativistisk disk Schwarzschild ( interiør ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-bølge van Stockum støv Weyl – Lewis – Papapetrou Vakuumopløsning
Sætninger Birkhoffs sætning Gerochs splittede sætning Goldberg – Sachs sætning Lovelocks sætning No-hair sætning Penrose – Hawking singularitetssætninger Positiv energisætning
Forskere Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen Walker Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Ny mand Yau Thorne andre
v t e

Forholdet mellem den Jacobianske determinant og metriske tensor

Enhver ikke-ental almindelig tensor transformeres som ${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ kappa}} {\ partial {x} ^ {\ mu}}} {\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} {\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ lambda}} {\ partial {x} ^ {\ nu}}} \ ,,}$

hvor højre side kan ses som produktet af tre matricer. At tage determinanten af ​​begge sider af ligningen (ved hjælp af, at determinanten for et matrixprodukt er produktet af determinanterne), dividere begge sider med og tage deres kvadratrod giver ${\ displaystyle \ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ højre)}$

${\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ højre \ vert = {\ sqrt {\ frac {\ det ({T} _ {\ mu \ nu})} {\ det \ left ({\ bar {T}} _ {\ kappa \ lambda} \ højre)} }} \ ,.}$

Når tensoren T er den metriske tensor , og er et lokalt inertielt koordinatsystem, hvor diag (−1, + 1, + 1, + 1), Minkowski-metricen , derefter −1 og så ${\ displaystyle {g} _ {\ kappa \ lambda}}$${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {\ iota}}$${\ displaystyle {\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda} =}$ ${\ displaystyle \ det \ left ({\ bar {g}} _ {\ kappa \ lambda} \ right) = \ det (\ eta _ {\ kappa \ lambda}) =}$ 

${\ displaystyle \ left \ vert \ det {\ left [{\ frac {\ partial {\ bar {x}} ^ {\ iota}} {\ partial {x} ^ {\ gamma}}} \ right]} \ højre \ vert = {\ sqrt {- {g}}} \ ,,}$

hvor er determinanten for den metriske tensor . ${\ displaystyle {g} = \ det \ left ({g} _ {\ mu \ nu} \ right)}$${\ displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$

Brug af metrisk tensor til at manipulere tensordensiteter

Derfor kan en jævn tensortæthed , af vægt W , skrives i formen ${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ prikker} \ ,,}$

hvor er en almindelig tensor. I et lokalt inertielt koordinatsystem, hvor , vil det være tilfældet, og vil blive repræsenteret med de samme tal. ${\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$${\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda} = \ eta _ {\ kappa \ lambda}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$${\ displaystyle T _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} \,}$

Når man bruger den metriske forbindelse ( Levi-Civita-forbindelse ), defineres det covariante derivat med en jævn tensortæthed som

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} T _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} = {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {- W} {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ prikker} ^ {\ mu \ prikker} \ højre) _ {; \ alpha} \ ,.}$

For en vilkårlig forbindelse defineres det covariante derivat ved at tilføje et ekstra udtryk, nemlig

${\ displaystyle -W \, \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} \, {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots}}$

til det udtryk, der ville være passende for det covariante derivat af en almindelig tensor.

Tilsvarende overholdes produktreglen

${\ displaystyle \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots} ^ {\ mu \ dots} {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ dots} ^ {\ sigma \ dots} \ right ) _ {; \ alpha} = \ left ({\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ dots; \ alpha} ^ {\ mu \ dots} \ right) {\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ prikker} ^ {\ sigma \ prikker} + {\ mathfrak {T}} _ {\ nu \ prikker} ^ {\ mu \ prikker} \ venstre ({\ mathfrak {S}} _ {\ tau \ prikker; \ alpha } ^ {\ sigma \ dots} \ right) \ ,,}$

hvor, for den metriske forbindelse, det covariante derivat af enhver funktion af altid er nul, ${\ displaystyle g _ {\ kappa \ lambda}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} g _ {\ kappa \ lambda; \ alpha} & = 0 \\\ left ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ right) _ {; \ alpha} & = \ venstre ({\ sqrt {-g}} \; ^ {W} \ højre) _ {, \ alpha} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {- g}} \; ^ {W} = {\ frac {W} {2}} g ^ {\ kappa \ lambda} g _ {\ kappa \ lambda, \ alpha} {\ sqrt {-g}} \; ^ { W} -W \ Gamma _ {~ \ delta \ alpha} ^ {\ delta} {\ sqrt {-g}} \; ^ {W} = 0 \,. \ End {justeret}}}$

Eksempler

Udtrykket er en skalær tæthed. I henhold til konventionen i denne artikel har den en vægt på +1. ${\ displaystyle {\ sqrt {-g}}}$

Densiteten af ​​elektrisk strøm (f.eks. Er mængden af ​​elektrisk ladning, der krydser 3-volumenelementet divideret med dette element - brug ikke metricen i denne beregning) er en kontravariant vektordensitet af vægt +1. Det skrives ofte som eller , hvor og differentieringsformen er absolutte tensorer, og hvor er Levi-Civita-symbolet ; se nedenunder. ${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {2}}$${\ displaystyle dx ^ {3} \, dx ^ {4} \, dx ^ {1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = J ^ {\ mu} {\ sqrt {-g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {J}} ^ {\ mu} = \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma} {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma} / 3!}$${\ displaystyle J ^ {\ mu} \,}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {J}} _ {\ alpha \ beta \ gamma}}$${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ mu \ alpha \ beta \ gamma}}$

Tætheden af Lorentz-kraften ( dvs. det lineære momentum, der overføres fra det elektromagnetiske felt til materie inden for et 4-volumenelement divideret med dette element - brug ikke metricen i denne beregning) er en covariant vektordensitet af vægt +1. ${\ displaystyle {\ mathfrak {f}} _ {\ mu}}$${\ displaystyle dx ^ {1} \, dx ^ {2} \, dx ^ {3} \, dx ^ {4}}$

I N -dimensionel rumtid kan Levi-Civita-symbolet betragtes som enten en rang- N- kovariant (ulige) autentisk tensordensitet af vægt -1 (ε _{α 1 ⋯ α N} ) eller en rang- N kontravariant (ulige) autentisk tensordensitet af vægt +1 (ε ^{α ₁ ⋯ α _N} ). Bemærk, at Levi-Civita-symbolet (så betragtet) ikke overholder den sædvanlige konvention for hævning eller sænkning af indekser med den metriske tensor. Det er, det er sandt det

${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \, g _ {\ alpha \ kappa} \, g _ {\ beta \ lambda} \, g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \, = \, \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} \, g \ ,,}$

men i almindelighed relativitet, hvor altid er negativt, er dette aldrig lig med . ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu}}$

Den afgørende faktor for den metriske tensor,

${\ displaystyle g = \ det \ left (g _ {\ rho \ sigma} \ right) = {\ frac {1} {4!}} \ varepsilon ^ {\ alpha \ beta \ gamma \ delta} \ varepsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} g _ {\ alpha \ kappa} g _ {\ beta \ lambda} g _ {\ gamma \ mu} g _ {\ delta \ nu} \ ,,}$

er en (jævn) autentisk skalær tæthed på vægt +2.

Se også

• Relativ skalar
• Pseudotensor
• Noether's sætning
• Variationsprincip
• Bevarelseslov
• Handling (fysik)

Bemærkninger

Referencer

• Spivak, Michael (1999), A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol I (3. udgave), s. 134 .
• Kuptsov, LP (2001) [1994], "Tensor Density" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press .
• Charles Misner ; Kip S Thorne og John Archibald Wheeler (1973). Gravitation . WH Freeman . s. 501ff. ISBN   0-7167-0344-0 . CS1 maint: flere navne: forfatterliste ( link )
• Weinberg, Steven (1972), Gravitation and Cosmology , John Wiley & sons, Inc, ISBN   0-471-92567-5