Newtons potentiale - Newtonian potential

I matematik er det newtonske potentiale eller Newtons potentiale en operator i vektorberegning, der fungerer som det inverse til det negative laplacian , på funktioner, der er glatte og henfalder hurtigt nok i det uendelige. Som sådan er det et grundlæggende objekt for undersøgelse i potentiel teori . I sin generelle natur er det en ental integral operator , defineret ved konvolution med en funktion, der har en matematisk singularitet ved oprindelsen, den newtonske kerne Γ, som er den grundlæggende løsning for Laplace -ligningen . Det er opkaldt efter Isaac Newton , der først opdagede det og beviste, at det var en harmonisk funktion i specialtilfældet med tre variabler , hvor det tjente som det grundlæggende gravitationspotentiale i Newtons lov om universel gravitation . I moderne potentialteori betragtes det newtonske potentiale i stedet som et elektrostatisk potentiale .

Det newtonske potentiale for en kompakt understøttet integrerbar funktion ƒ defineres som konvolutionen

${\displaystyle u(x)=\Gamma *f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)f(y)\,dy}$

hvor den newtonske kerne Γ i dimension d er defineret af

${\displaystyle \Gamma (x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|x|}&d=2\\{\frac {1}{d(2-d)\omega _{d}}}|x|^{2-d}&d\neq 2.\end{cases}}}$

Her ω _d er mængden af ​​enheden d -bold (undertiden kan tegnkonventioner variere; sammenligne ( Evans 1998 ) og ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). For eksempel for vi har${\displaystyle d=3}$${\displaystyle \Gamma (x)=-1/(4\pi |x|).}$

Det newtonske potentiale w af ƒ er en løsning af Poisson -ligningen

${\displaystyle \Delta w=f,\,}$

det vil sige, at operationen med at tage det newtonske potentiale for en funktion er en delvis invers til Laplace -operatøren. w vil være en klassisk løsning, der er to gange differentierbar, hvis f er afgrænset og lokalt Hölder -kontinuerlig som vist af Otto Hölder . Det var et åbent spørgsmål, om kontinuitet alene også er tilstrækkelig. Dette viste sig at være forkert af Henrik Petrini, der gav et eksempel på en kontinuerlig f, for hvilken w ikke er to gange differentierbar. Løsningen er ikke unik, da tilføjelse af en harmonisk funktion til w ikke vil påvirke ligningen. Denne kendsgerning kan bruges til at bevise eksistens og entydighed af løsninger på Dirichlet-problemet for Poisson-ligningen i passende regelmæssige domæner og for passende velopdragen funktioner ƒ: man anvender først et newtonsk potentiale til at opnå en løsning og justerer derefter ved at tilføje en harmonisk funktion for at få de korrekte grænsedata.

Det newtonske potentiale defineres bredere som konvolutionen

${\displaystyle \Gamma *\mu (x)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\Gamma (x-y)\,d\mu (y)}$

når μ er et kompakt understøttet Radon -mål . Det opfylder Poisson -ligningen

${\displaystyle \Delta w=\mu \,}$

i betydningen distributioner . Når målingen er positiv , er det newtonske potentiale desuden subharmonisk på R ^d .

Hvis ƒ er en kompakt understøttet kontinuerlig funktion (eller mere generelt et endelig mål), der er rotationsmæssigt invariant , tilfredsstiller konvolutionen af ƒ med Γ for x uden for understøttelsen af ƒ

${\displaystyle f*\Gamma (x)=\lambda \Gamma (x),\quad \lambda =\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(y)\,dy.}$

I dimension d  = 3 reducerer dette til Newtons sætning, at den potentielle energi for en lille masse uden for en meget større sfærisk symmetrisk massefordeling er den samme, som hvis hele massen af ​​det større objekt var koncentreret i midten.

Når målingen μ er forbundet med en massefordeling på en tilstrækkelig jævn overflade S (en Lyapunov -overflade i Hölder klasse C ^{1, α} ), der deler R ^d i to regioner D ₊ og D _- , så refereres det newtonske potentiale til μ til som et enkelt lagpotentiale . Simple layer potentialer er kontinuerlig og løse Laplace ligningen undtagen på S . De optræder naturligt i undersøgelsen af elektrostatik i forbindelse med det elektrostatiske potentiale, der er forbundet med en ladningsfordeling på en lukket overflade. Hvis d μ  =  ƒ  d H er produktet af en kontinuerlig funktion på S med ( d  -1) -dimensionel Hausdorff-måling , undergår punktet y i S det normale derivat en springdiskontinuitet ƒ ( y ) ved krydsning af lag. Endvidere den normale derivatet af w et veldefineret kontinuert funktion på S . Dette gør enkle lag særligt velegnede til undersøgelsen af Neumann -problemet for Laplace -ligningen.

Se også

• Dobbeltlagspotentiale
• Grønns funktion
• Riesz potentiale
• Greens funktion for den tre-variable Laplace-ligning

Referencer

• Evans, LC (1998), Partial Differential Equations , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order , New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Newton potential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Simple-layer potential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Surface potential" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press