Tilfældigt kompakt sæt - Random compact set

I matematik er et tilfældigt kompakt sæt i det væsentlige en kompakt sæt- værdsat tilfældig variabel . Tilfældige kompakte sæt er nyttige i studiet af tiltrækkere til tilfældige dynamiske systemer .

Definition

Lad være et komplet adskilleligt metrisk rum . Lad betegne sættet med alle kompakte undergrupper af . Den Hausdorff metrisk på er defineret ved ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ left \ {\ sup _ {a \ i K_ {1}} \ inf _ {b \ i K_ {2}} d (a , b), \ sup _ {b \ i K_ {2}} \ inf _ {a \ i K_ {1}} d (a, b) \ højre \}.}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$er også et komplet adskilleligt metrisk rum. De tilsvarende åbne undersæt genererer en σ-algebra på , Borel sigma algebra af . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Et tilfældigt kompakt sæt er en målbar funktion fra et sandsynlighedsrum ind i . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}))}$

Sagt på en anden måde er et tilfældigt kompakt sæt en målbar funktion , der næsten helt sikkert er kompakt og ${\ displaystyle K \ colon \ Omega \ to 2 ^ {M}}$${\ displaystyle K (\ omega)}$

${\ displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ in K (\ omega)} d (x, b)}$

er en målbar funktion for hver . ${\ displaystyle x \ in M}$

Diskussion

Tilfældige kompakte sæt i denne forstand er også tilfældige lukkede sæt som i Matheron (1975). Derfor, under den yderligere antagelse, at transportørens plads er lokalt kompakt, gives deres distribution af sandsynlighederne

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ cap K = \ emptyset)}$ til ${\ displaystyle K \ i {\ mathcal {K}}.}$

(Fordelingen af ​​et tilfældigt kompakt konveks sæt er også givet af systemet med alle inkluderingssandsynligheder ) ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ undersæt K).}$

For opnås sandsynligheden , som tilfredsstiller ${\ displaystyle K = \ {x \}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (x \ i X)}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (x \ i X) = 1- \ mathbb {P} (x \ ikke \ i X).}$

Den således dækker funktionen er givet ved ${\ displaystyle p_ {X}}$

${\ displaystyle p_ {X} (x) = \ mathbb {P} (x \ i X)}$ til ${\ displaystyle x \ i M.}$

Naturligvis kan også fortolkes som gennemsnittet af indikatorfunktionen : ${\ displaystyle p_ {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {X}}$

${\ displaystyle p_ {X} (x) = \ mathbb {E} \ mathbf {1} _ {X} (x).}$

Dækningsfunktionen tager værdier mellem og . Sættet af alle med kaldes støtte af . Sættet , for alle med , kaldes kernen , sættet med faste punkter eller væsentligt minimum . Hvis , er en række af iid tilfældige kompakte sæt, så næsten helt sikkert ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle b_ {X}}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle p_ {X} (x)> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k_ {X}}$${\ displaystyle x \ in M}$${\ displaystyle p_ {X} (x) = 1}$ ${\ displaystyle e (X)}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i} = e (X)}$

og konvergerer næsten helt sikkert til${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i}}$${\ displaystyle e (X).}$

Referencer

• Matheron, G. (1975) Tilfældige sæt og integreret geometri . J.Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) Theory of Random Sets . Springer, New York.
• Stoyan D., og H.Stoyan (1994) Fraktaler, tilfældige former og punktfelter . John Wiley & Sons, Chichester, New York.