Náhodná kompaktní sada - Random compact set

V matematice je náhodná kompaktní množina v podstatě kompaktní množina - náhodná proměnná . Náhodné kompaktní sady jsou užitečné při studiu atraktorů pro náhodné dynamické systémy .

Definice

Pojďme být úplný oddělitelný metrický prostor . Nechť značí množinu všech kompaktních podmnožin . Hausdorffova metrika na je definována ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ left \ {\ sup _ {a \ v K_ {1}} \ inf _ {b \ v K_ {2}} d (a , b), \ sup _ {b \ v K_ {2}} \ inf _ {a \ v K_ {1}} d (a, b) \ vpravo \}.}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$je také úplný oddělitelný metrický prostor. Odpovídající otevřené podmnožiny generovat -algebra na , na Borel sigma algebry části . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Náhodný ucelený soubor je а měřitelná funkce od а pravděpodobnostním prostoru do . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}))}$

Jinými slovy, náhodná kompaktní sada je měřitelná funkce , která je téměř jistě kompaktní a ${\ displaystyle K \ colon \ Omega \ na 2 ^ {M}}$${\ displaystyle K (\ omega)}$

${\ displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ v K (\ omega)} d (x, b)}$

je měřitelná funkce pro každého . ${\ displaystyle x \ v M}$

Diskuse

Náhodné kompaktní množiny v tomto smyslu jsou také náhodné uzavřené množiny jako v Matheron (1975). V důsledku toho, za dalšího předpokladu, že nosný prostor je lokálně kompaktní, je jejich rozdělení dáno pravděpodobnostmi

${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ cap K = \ emptyset)}$ pro ${\ displaystyle K \ v {\ mathcal {K}}.}$

(Distribuce náhodných kompaktních konvexních množin je dána také systémem všech pravděpodobností zařazení ) ${\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ podmnožina K).}$

Protože je získána pravděpodobnost , která splňuje ${\ displaystyle K = \ {x \}}$${\ displaystyle \ mathbb {P} (x \ v X)}$

${\ displaystyle \ mathbb {P} (x \ v X) = 1- \ mathbb {P} (x \ ne \ v X).}$

Tak funkce krytí je dána ${\ displaystyle p_ {X}}$

${\ displaystyle p_ {X} (x) = \ mathbb {P} (x \ v X)}$ pro ${\ displaystyle x \ v M.}$

Samozřejmě lze také interpretovat jako průměr funkce indikátoru : ${\ displaystyle p_ {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {X}}$

${\ displaystyle p_ {X} (x) = \ mathbb {E} \ mathbf {1} _ {X} (x).}$

Krycí funkce nabývá hodnot mezi a . Množina všech se se nazývá podpora z . Množina všech se nazývá jádro , množina pevných bodů nebo základní minimum . Pokud je а sled lid náhodných kompaktních množin, pak téměř jistě ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle b_ {X}}$${\ displaystyle x \ v M}$${\ displaystyle p_ {X} (x)> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle k_ {X}}$${\ displaystyle x \ v M}$${\ displaystyle p_ {X} (x) = 1}$ ${\ displaystyle e (X)}$${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i} = e (X)}$

a téměř jistě konverguje k${\ displaystyle \ bigcap _ {i = 1} ^ {\ infty} X_ {i}}$${\ displaystyle e (X).}$

Reference

• Matheron, G. (1975) Náhodné množiny a integrální geometrie . J. Wiley & Sons, New York.
• Molchanov, I. (2005) Teorie náhodných množin . Springer, New York.
• Stoyan D. a H. Stoyan (1994) Fraktály, náhodné tvary a bodová pole . John Wiley & Sons, Chichester, New York.