Pushforward foranstaltning - Pushforward measure

I målteori opnås en disciplin inden for matematik, et pushforward-mål (også push forward , push-forward eller image measure ) ved at overføre ("pushing forward") et mål fra et målbart rum til et andet ved hjælp af en målbar funktion .

Definition

Givne målelige rum og , en målelig kortlægning og en foranstaltning , den pushforward af defineres til at være foranstaltningen givet ved ${\ displaystyle (X_ {1}, \ Sigma _ {1})}$${\ displaystyle (X_ {2}, \ Sigma _ {2})}$${\ displaystyle f \ colon X_ {1} \ to X_ {2}}$${\ displaystyle \ mu \ colon \ Sigma _ {1} \ til [0, + \ infty]}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f _ {*} (\ mu) \ colon \ Sigma _ {2} \ til [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle (f _ {*} (\ mu)) (B) = \ mu \ left (f ^ {- 1} (B) \ right)}$ til ${\ displaystyle B \ in \ Sigma _ {2}.}$

Denne definition finder tilsvarende anvendelse på en underskrevet eller kompleks foranstaltning . Den pushforward foranstaltning er også angivet som , , , eller . ${\ displaystyle \ mu \ circ f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ sharp} \ mu}$${\ displaystyle f \ sharp \ mu}$${\ displaystyle f \ # \ mu}$

Hovedegenskab: ændring af variabler formel

Sætning: En målbar funktion g på X ₂ er integrerbar i forhold til det fremadrettede mål f _∗ ( μ ), hvis og kun hvis sammensætningen er integrerbar i forhold til mål μ . I så fald falder integralerne sammen, dvs. ${\ displaystyle g \ circ f}$

${\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} g \, d (f _ {*} \ mu) = \ int _ {X_ {1}} g \ circ f \, d \ mu.}$

Bemærk, at i den foregående formel . ${\ displaystyle X_ {1} = f ^ {- 1} (X_ {2})}$

Eksempler og applikationer

• En naturlig " Lebesguemålet " på enhedscirklen S ¹ (her tænkt som en delmængde af den komplekse plan C ) kan defineres ved anvendelse af en push-forward konstruktion og Lebesguemålet λ på reelle akse R . Lad λ også betegne begrænsningen af ​​Lebesgue-målingen til intervallet [0, 2 π ) og lad f  : [0, 2 π ) →  S ¹ være den naturlige sammenhæng defineret af f ( t ) = exp ( i   t ). Den naturlige "Lebesgue-foranstaltning" på S ¹ er derefter push-forward-mål f _∗ ( λ ). Foranstaltningen f _* ( λ ) kan også kaldes " buelængde foranstaltning" eller "vinkelmåling", idet f _* ( λ )-foranstaltning bueminutter i S ¹ er netop dets buelængde (eller, ækvivalent, den vinkel, det lægger sig i midten af ​​cirklen.)
• Det tidligere eksempel strækker pænt til opnåelse af en naturlig "Lebesguemålet" i den n -dimensionale torus T ⁿ . Det forrige eksempel er et specielt tilfælde, da S ¹  =  T ¹ . Denne Lebesguemålet på T ⁿ er op til normalisering, den Haar foranstaltning for kompakt , tilsluttede Lie gruppe T ⁿ .
• Gaussiske målinger på uendelig-dimensionelle vektorrum defineres ved hjælp af push-forward og standard Gaussian-måling på den reelle linje: et Borel-mål γ på et adskilleligt Banach-rum X kaldes Gaussisk, hvis push-forward af γ med et ikke-nul lineære, funktionelle i kontinuerlige dobbelte plads til X er en Gaussisk foranstaltning R .
• Overvej en målbar funktion f  : X → X og sammensætningen af f med sig selv n gange:

${\ displaystyle f ^ {(n)} = \ underbrace {f \ circ f \ circ \ dots \ circ f} _ {n \ mathrm {\, times}}: X \ til X.}$

Denne itererede funktion danner et dynamisk system . Det er ofte af interesse i undersøgelsen af ​​sådanne systemer at finde et mål μ på X , at kortet f efterlades uændret, en såkaldt invariant måling , dvs. en for hvilken f _∗ ( μ ) =  μ .

• Man kan også overveje kvasi-invariant foranstaltninger til et sådant dynamisk system: en foranstaltning på kaldes kvasi-invariant under hvis push-frem for ved blot svarer til den oprindelige foranstaltning μ , ikke nødvendigvis lig med det. Et par målinger på det samme rum er ækvivalente, hvis og kun hvis , så er næsten invariant under if ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle (X, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mu, \ nu}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff \ nu (A) = 0}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ forall A \ in \ Sigma: \ \ mu (A) = 0 \ iff f _ {*} \ mu (A) = \ mu {\ big (} f ^ {- 1} (A) {\ big )} = 0}$

• Mange naturlige sandsynlighedsfordelinger, såsom chi-fordelingen , kan opnås via denne konstruktion.

• Tilfældige variabler er fremadrettede foranstaltninger. De kortlægger et sandsynlighedsrum i et codomain-rum og giver dette rum et sandsynlighedsmål, der er defineret af pushforward. Da tilfældige variabler er funktioner (og dermed samlede funktioner), er det omvendte billede af hele codomain desuden hele domænet, og måling af hele domænet er 1, så målingen af ​​hele codomain er 1. Dette betyder, at tilfældig variabler kan sammensættes ad infimum, og de forbliver altid som tilfældige variabler og giver kodens hovedrum sandsynlighedsmål.

En generalisering

Generelt kan enhver målbar funktion skubbes fremad, push-forward bliver derefter en lineær operator , kendt som transferoperatøren eller Frobenius-Perron-operatøren . I begrænsede rum opfylder denne operator typisk kravene i Frobenius-Perron-sætningen , og operatørens maksimale egenværdi svarer til det uforanderlige mål.

Tilslutningen til push-forward er pullback ; som operatør på funktionsrum på målbare rum er det kompositionsoperatøren eller Koopman-operatøren .

Se også

• Målbevarende dynamisk system

Bemærkninger

Referencer

• Bogachev, Vladimir I. (2007), Measure Theory , Berlin: Springer Verlag , ISBN   9783540345138
• Teschl, Gerald (2015), Emner i reel og funktionel analyse