Enhedens rod - Root of unity

I matematik er en enhedsrod , lejlighedsvis kaldet et de Moivre -tal , et hvilket som helst komplekst tal, der giver 1, når det hæves til en positiv heltalseffekt n . Enhedens rødder bruges i mange grene af matematik og er især vigtige i talteori , teorien om gruppetegn og den diskrete Fourier -transformation .

Enhedens rødder kan defineres inden for ethvert felt . Hvis karakteristikken af feltet er nul, er rødderne komplekse tal, der også er algebraiske heltal . For felter med en positiv egenskab tilhører rødderne et begrænset felt , og omvendt er hvert element uden nul i et begrænset felt en rod til enhed. Alle algebraically lukket felt indeholder nøjagtig n n th rødder enhed, undtagen når n er et multiplum af den (positive) karakteristiske for feltet.

Generel definition

En n roden af ​​enhed , hvor n er et positivt heltal, er et tal z, der tilfredsstiller ligningen

${\displaystyle z^{n}=1.}$

Medmindre andet er angivet, kan enhedens rødder antages at være komplekse tal (inklusive tallet 1 og tallet -1 hvis n er lige, som er komplekse med en nul imaginær del), og i dette tilfælde de n. Rødder af enhed er

${\displaystyle \exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.}$

Men den definerende ligning af rødder om enhed er meningsfuldt over enhver felt (og endda over enhver ring ) F , og dette muliggør overvejer rødder om enhed i F . Uanset hvilket felt F er , er rødderne til enhed i F enten komplekse tal, hvis karakteristikken for F er 0, eller på anden måde tilhører et begrænset felt . Omvendt er hvert element uden nul i et begrænset felt en rod til enhed i dette felt. Se Root of enhedsmodul n og Endeligt felt for yderligere detaljer.

Det siges at være en n rød af enhed primitiv, hvis det ikke er enmroden af ​​enhed for nogle mindrem, det vil sige hvis

${\displaystyle z^{n}=1\quad {\text{and}}\quad z^{m}\neq 1{\text{ for }}m=1,2,3,\ldots ,n-1.}$

Hvis n er et primtal , er alle n's rødder til enhed, undtagen 1, primitive.

I ovenstående formel med hensyn til eksponentielle og trigonometriske funktioner er de primitive n rødder af enhed dem, for hvilke k og n er coprime -heltal .

Efterfølgende afsnit af denne artikel vil overholde komplekse rødder til enhed. For sagen om enhedsrødder i felter med ikke -nul karakteristik, se Endeligt felt § Enhedens rødder . For enhedsrødder i ringe af modulære heltal , se Enhedens rod modulo n .

Elementære egenskaber

Hver n af roden af ​​enhed z er en primitiv en roden af ​​enhed for nogle a ≤ n , som er det mindste positive heltal, således at z ^a = 1 .

Alle Heltalspotensen af en n te rod af enhed er også en n te rod af enhed, som

${\displaystyle (z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.}$

Dette gælder også for negative eksponenter. Især den reciprokke af en n te rod af enhed er dens komplekse konjugerede , og er også en n te rod af enhed:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}=z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.}$

Hvis z er en n roden af ​​enhed og a ≡ b (mod n ), så z ^a = z ^b . Faktisk af definitionen af kongruens , a = b + kn for nogle heltal k , og

${\displaystyle z^{a}=z^{b+kn}=z^{b}z^{kn}=z^{b}(z^{n})^{k}=z^{b}1^{k}=z^{b}.}$

Derfor, givet en effekt z ^a på z , har man z ^a = z ^r , hvor 0 ≤ r < n er resten af ​​den euklidiske division af a med n .

Lad z være en primitiv n rødde til enhed. Derefter beføjelser z , z ² , ...,  z ^{n -1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 er n te rod af enhed og er alle forskellige. (Hvis z ^a = z ^b hvor 1 ≤ a < b ≤ n , så z ^{b - a} = 1 , hvilket ville betyde, at z ikke ville være primitiv.) Dette indebærer, at z , z ² , ...,  z ^{n - 1} , z ⁿ = z ⁰ = 1 er alle af n th rødder enhed, eftersom en n th graders polynomium har højst n separate løsninger.

Fra det foregående følger det, at hvis z er en primitiv n rød af enhed, så hvis og kun hvis Hvis z ikke er primitiv, så indebærer det, men det modsatte kan være falsk, som vist i følgende eksempel. Hvis n = 4 , er en ikke-primitiv n rød af enhed z = –1 , og man har , selvom${\displaystyle z^{a}=z^{b}}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}.}$${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$${\displaystyle z^{a}=z^{b},}$${\displaystyle z^{2}=z^{4}=1}$${\displaystyle 2\not \equiv 4{\pmod {4}}.}$

Lad z være en primitiv n rødde til enhed. En magt w = z ^k af z er en primitiv en te rod af enhed til

${\displaystyle a={\frac {n}{\gcd(k,n)}},}$

hvor er den største fælles divisor af n og k . Dette skyldes, at ka er det mindste multiplum af k , der også er et multiplum af n . Med andre ord er ka det mindst almindelige multiplum af k og n . Dermed ${\displaystyle \gcd(k,n)}$

${\displaystyle a={\frac {\operatorname {lcm} (k,n)}{k}}={\frac {kn}{k\gcd(k,n)}}={\frac {n}{\gcd(k,n)}}.}$

Såfremt k og n er coprime , er z ^k også en primitiv n rødde til enhed, og derfor er der φ ( n ) (hvor φ er Eulers totalfunktion ) forskellige primitive n rødder af enhed. (Dette indebærer, at hvis n er et primtal, er alle rødderne undtagen +1 primitive.)

Med andre ord, hvis R ( n ) er sættet af alle n's rødder til enhed, og P ( n ) er sættet med primitive, er R ( n ) en uforenet forening af P ( n ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d|n}\operatorname {P} (d),}$

hvor notationen betyder, at d går gennem alle divisorer af n , herunder 1 og n .

Da kardinaliteten af R ( n ) er n , og P ( n ) er φ ( n ) , demonstrerer dette den klassiske formel

${\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n.}$

Grupperejendomme

Gruppe af alle rødder af enhed

Produktet og multiplikative omvendt af to enhedsrødder er også rødder til enhed. Faktisk hvis x ^m = 1 og y ⁿ = 1 , så ( x ⁻¹ ) ^m = 1 og ( xy ) ^k = 1 , hvor k er det mindst almindelige multiplum af m og n .

Derfor danner enhedens rødder en abelsk gruppe under multiplikation. Denne gruppe er den torsion undergruppe af cirklen gruppen .

Gruppe af n th rødder enhed

Produktet og reciprok af to n th rødder enhed er også n th rødder enhed. Derfor danner enhedens n th rødder en gruppe under multiplikation.

Givet en primitiv n te rod af enhed ω , den anden n th rødder er beføjelser ω . Det betyder, at gruppen af enhedens n. Rødder er en cyklisk gruppe . Det er værd at bemærke, at begrebet cyklisk gruppe stammer fra, at denne gruppe er en undergruppe af cirkelgruppen .

Galois gruppe af de primitive n rødder af enhed

Lad være feltudvidelsen af de rationelle tal, der genereres af en primitiv n roden af ​​enhed ω . Som hvert n te rod af enhed er en effekt på ω , det felt indeholder alle n th rødder enhed, og er en Galois udvidelse af${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Hvis k er et helt tal, er ω ^k en primitiv n roden af ​​enhed, hvis og kun hvis k og n er coprime . I dette tilfælde, kortet

${\displaystyle \omega \mapsto \omega ^{k}}$

inducerer en automorfi af , der kortlægger hver n te rod af enhed til sin k th strøm. Hver automorfi af opnås på denne måde, og disse automorphisms danner Galois gruppe af over marken af rationals. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega )}$

Reglerne for eksponentiering indebærer at sammensætningen af to sådanne automorphisms fås ved at multiplicere eksponenterne. Det følger, at kortet

${\displaystyle k\mapsto \left(\omega \mapsto \omega ^{k}\right)}$

definerer en gruppeisomorfisme mellem enhederne i ringen af heltal modulo n og Galois -gruppen af${\displaystyle \mathbb {Q} (\omega ).}$

Dette viser, at denne Galois -gruppe er abelsk og indebærer således, at de primitive rødder til enhed kan udtrykkes i form af radikaler.

Trigonometrisk udtryk

De Moivres formel , som er gyldig for alle reelle x og heltal n , er

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Indstilling x = 2π/ngiver en primitiv n roden af ​​enhed, får man

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,}$

men

${\displaystyle \left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1}$

for k = 1, 2,…, n - 1 . Med andre ord,

${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

er en primitiv n rødde til enhed.

Denne formel viser, at den komplekse plan for n th rødder enhed er ved hjørnerne af en regulær n Print automatisk polygon indskrevet i enhedscirklen , med et toppunkt ved 1. (Se grunde til n = 3 og n = 5 på højre.) Denne geometriske kendsgerning tegner sig for udtrykket "cyklotomisk" i sætninger som cyklotomisk felt og cyklotomisk polynom ; det er fra de græske rødder " cyclo " (cirkel) plus " tomos " (cut, divide).

Eulers formel

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

som er gyldig for alle reelle x , kan bruges til at sætte formlen for enhedens n th rødder i formen

${\displaystyle e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}\qquad 0\leq k<n.}$

Det følger af diskussionen i det foregående afsnit, at dette er en primitiv n th-rod, hvis og kun hvis fraktionenk/ner i laveste udtryk, dvs. at k og n er coprime.

Algebraisk udtryk

Enhedens n th rødder er per definition rødderne til det polynomiske x ⁿ - 1 og er således algebraiske tal . Da dette polynom ikke er irreducerbart (undtagen n = 1 ), er de primitive n rødder af enhed rødder til et ureducerbart polynom af lavere grad, kaldet det cyklotomiske polynom , og ofte betegnet Φ _n . Graden af Φ _n er givet af Eulers totientfunktion , der tæller (blandt andet) antallet af primitive n rødder af enhed. Rødderne til Φ _n er nøjagtigt de primitive n rødder af enhed.

Galois teori kan bruges til at vise, at cyklotomiske polynomer bekvemt kan løses med hensyn til radikaler. (Den trivielle form er ikke praktisk, fordi den indeholder ikke-primitive rødder, f.eks. 1, som ikke er rødder til det cyklotomiske polynom, og fordi den ikke giver de virkelige og imaginære dele separat.) Det betyder, at for hver positiv heltal n , eksisterer der et udtryk bygget af heltal ved rodudtrækninger, tilføjelser, subtraktioner, multiplikationer og divisioner (intet andet), således at de primitive n -rødder af enhed er nøjagtigt det sæt værdier, der kan opnås ved at vælge værdier for rodekstraktionerne ( k mulige værdier for en k th rod). (For flere detaljer se § Cyklotomiske felter nedenfor.) ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{1}}}$

Gauss beviste, at en primitiv n rød af enhed kan udtrykkes ved hjælp af kun kvadratrødder , addition, subtraktion, multiplikation og division, hvis og kun hvis det er muligt at konstruere med kompas og rette den normale n -gon . Dette er tilfældet, hvis og kun hvis n enten er en effekt på to eller produktet af en effekt på to og Fermat -primtal , der alle er forskellige.

Hvis z er en primitiv n rød af enhed, er det samme tilfældet for 1/ z , og er to gange den reelle del af z . Med andre ord er Φ _n et gensidigt polynom , det polynom, der har r som rod, kan udledes af Φ _n ved standardmanipulationen på gensidige polynomer, og de primitive n rødder af enhed kan udledes af rødderne ved at løse den kvadratiske ligning Det vil sige, den virkelige del af den primitive rod er og dens imaginære del er${\displaystyle r=z+{\frac {1}{z}}}$${\displaystyle R_{n}}$${\displaystyle R_{n}}$ ${\displaystyle z^{2}-rz+1=0.}$${\displaystyle {\frac {r}{2}},}$${\displaystyle \pm i{\sqrt {1-\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}}}.}$

Polynomet er et ureducerbart polynom, hvis rødder alle er virkelige. Dens grad er en effekt på to, hvis og kun hvis n er et produkt af en kraft af to af et produkt (muligvis tomt) af forskellige Fermat -primtal, og den almindelige n -gon er konstruerbar med kompas og straightedge. Ellers er det opløseligt i radikaler, men man er i casus irreducibilis , det vil sige hvert udtryk for rødderne i form af radikaler involverer ikke -virkelige radikaler . ${\displaystyle R_{n}}$

Eksplicitte udtryk i lave grader

• For n = 1 er det cyklotomiske polynom Φ ₁ ( x ) = x -1 Derfor er den eneste primitive første rod til enhed 1, som er en ikke-primitiv n rød af enhed for hver n større end 1.
• Da Φ ₂ ( x ) = x + 1 , er den eneste primitive anden (kvadrat) rod af enhed –1, som også er en ikke-primitiv n rød af enhed for hver lige n > 2 . I den foregående sag fuldender dette listen over virkelige rødder til enhed.
• Som Φ ₃ ( x ) = x ² + x + 1 , er de primitive tredje (terning) rødder af enhed, som er rødderne til dette kvadratiske polynom ,

${\displaystyle {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$

• Som Φ ₄ ( x ) = x ² + 1 er de to primitive fjerde rødder af enhed i og - i .
• Da Φ ₅ ( x ) = x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 , er de fire primitive femte rødder af enhed rødderne til dette kvartiske polynom , som eksplicit kan løses i form af radikaler, hvilket giver rødderne

${\displaystyle {\frac {\varepsilon {\sqrt {5}}-1}{4}}\pm i{\frac {\sqrt {10+2\varepsilon {\sqrt {5}}}}{4}},}$

hvor kan tage de to værdier 1 og –1 (den samme værdi i de to forekomster).${\displaystyle \varepsilon }$

• Som Φ ₆ ( x ) = x ² - x + 1 er der to primitive sjette rødder af enhed, som er de negative (og også kvadratrødder) af de to primitive terningrødder:

${\displaystyle {\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$

• Da 7 ikke er en Fermat -prime, er enhedens syvende rødder de første, der kræver terningrødder . Der er 6 primitive syvende rødder af enhed, som er parvise komplekse konjugater . Summen af ​​en rod og dens konjugat er to gange dens virkelige del. Disse tre summer er de tre virkelige rødder til det kubiske polynom, og de primitive syvende rødder af enhed er${\displaystyle r^{3}+r^{2}-2r-1,}$

${\displaystyle {\frac {r}{2}}\pm i{\sqrt {1-{\frac {r^{2}}{4}}}},}$

hvor r løber over rødderne af ovenstående polynom. Som for hvert kubisk polynom kan disse rødder udtrykkes i kvadrat- og terningsrødder. Da disse tre rødder imidlertid alle er virkelige, er dette casus irreducibilis , og ethvert sådant udtryk involverer ikke-virkelige terningerødder.

• Som Φ ₈ ( x ) = x ⁴ + 1 er de fire primitive ottende rødder af enhed kvadratrødderne af de primitive fjerde rødder, ± i . De er således

${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\pm i{\frac {\sqrt {2}}{2}}.}$

• Se heptadecagon for den virkelige del af en 17. rod af enhed.

Periodicitet

Hvis z er en primitiv n rød af enhed, så magtforløbet

…,  Z ⁻¹ ,  z ⁰ ,  z ¹ ,…

er n -perioden (fordi z ^{j  +  n} = z ^j ⋅ z ⁿ = z ^j ⋅1 = z ^j for alle værdier af j ) og n -sekvenserne af kræfter

s _k :…,  z ^{k ⋅ (−1)} ,  z ^{k ⋅0} ,  z ^{k ⋅1} ,…

for k = 1,…,  n er alle n -periodiske (fordi z ^{k ⋅ ( j  +  n )} = z ^{k ⋅ j} ). Desuden er sættet { s ₁ ,…,  s _n } af disse sekvenser et grundlag for det lineære rum for alle n -periodiske sekvenser. Dette betyder, at enhver n -periodisk sekvens af komplekse tal

…,  X ₋₁  ,  x ₀  ,  x ₁ ,…

kan udtrykkes som en lineær kombination af kræfter i en primitiv n roden af ​​enhed:

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}X_{k}\cdot z^{k\cdot j}=X_{1}z^{1\cdot j}+\cdots +X_{n}\cdot z^{n\cdot j}}$

for nogle komplekse tal X ₁ ,…,  X _n og hvert helt tal j .

Dette er en form for Fourier -analyse . Hvis j er en (diskret) tidsvariabel, så er k en frekvens, og X _k er en kompleks amplitude .

Valg af den primitive n rød af enhed

${\displaystyle z=e^{\frac {2\pi i}{n}}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}}$

tillader x _j at blive udtrykt som en lineær kombination af cos og sin :

${\displaystyle x_{j}=\sum _{k}A_{k}\cos {\frac {2\pi jk}{n}}+\sum _{k}B_{k}\sin {\frac {2\pi jk}{n}}.}$

Dette er en diskret Fourier -transformation .

Summation

Lad SR ( n ) være summen af ​​alle n's rødder til enhed, primitive eller ej. Derefter

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1.\end{cases}}}$

Dette er en umiddelbar konsekvens af Vietas formler . Faktisk er enhedens n th rødder rødderne til det polynomiske X ⁿ - 1 , deres sum er koefficienten for grad n - 1 , som enten er 1 eller 0 alt efter om n = 1 eller n > 1 .

Alternativt er der ikke noget at bevise for n = 1 . For n > 1 findes der en rod z ≠ 1 . Da sættet S af alle n th rødder enhed er en gruppe, z  S = S , så summen tilfredsstiller z SR ( n ) = SR ( n ) , hvorfra SR ( n ) = 0 .

Lad SP ( n ) være summen af ​​alle de primitive n rødder af enhed. Derefter

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\mu (n),}$

hvor μ ( n ) er Möbius -funktionen .

I afsnittet Elementære egenskaber blev det vist, at hvis R ( n ) er sættet for alle n's rødder til enhed, og P ( n ) er sættet med primitive, er R ( n ) en uforenet forening af P ( n) ) :

${\displaystyle \operatorname {R} (n)=\bigcup _{d|n}\operatorname {P} (d),}$

Dette indebærer

${\displaystyle \operatorname {SR} (n)=\sum _{d|n}\operatorname {SP} (d).}$

Anvendelse af Möbius inversionsformlen giver

${\displaystyle \operatorname {SP} (n)=\sum _{d|n}\mu (d)\operatorname {SR} \left({\frac {n}{d}}\right).}$

I denne formel, hvis d < n , så SR (n/d) = 0 , og for d = n : SR (n/d) = 1 . Derfor er SP ( n ) = μ ( n ) .

Dette er det særlige tilfælde c _n (1) af Ramanujans sum c _n ( s ) , defineret som summen af s th -magterne i de primitive n rødder af enhed:

${\displaystyle c_{n}(s)=\sum _{a=1 \atop \gcd(a,n)=1}^{n}e^{2\pi i{\frac {a}{n}}s}.}$

Ortogonalitet

Fra summeringsformlen følger et ortogonalitetsforhold : for j = 1,…,  n og j ′ = 1,…,  n

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}}$

hvor δ er Kronecker -deltaet og z er en hvilken som helst primitiv n rødde til enhed.

Den n  ×  n matrix U hvis ( j ,  k ) th posten er

${\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}}$

definerer en diskret Fourier -transformation . Beregning af den inverse transformation ved hjælp af gaussisk eliminering kræver O ( n ³ ) operationer. Det følger imidlertid af ortogonaliteten, at U er enhed . Det er,

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},}$

og dermed er det inverse af U simpelthen det komplekse konjugat. (Denne kendsgerning blev først noteret af Gauss, da han løste problemet med trigonometrisk interpolation ). Den enkle anvendelse af U eller dens inverse til en given vektor kræver O ( n ² ) operationer. De hurtige Fourier -transformeringsalgoritmer reducerer antallet af operationer yderligere til O ( n  log  n ) .

Cyklotomiske polynomer

De nuller i polynomiet

${\displaystyle p(z)=z^{n}-1}$

er netop n th rødder enhed, hver med multiplicitet 1. n th cyklotomiske polynomium er defineret ved, at dets nuller er netop den primitive n th rødder enhed, hver med multiplicitet 1.

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{k=1}^{\varphi (n)}(z-z_{k})}$

hvor z ₁ ,  z ₂ ,  z ₃ ,…, z _{φ ( n )} er de primitive n rødder til enhed, og φ ( n ) er Eulers totalfunktion . Polynomet Φ _n ( z ) har heltalskoefficienter og er et ureducerbart polynom over de rationelle tal (dvs. det kan ikke skrives som et produkt af to positive graders polynomer med rationelle koefficienter). Sagen om prime n , som er lettere end den generelle påstand, følger ved at anvende Eisensteins kriterium på polynomet

${\displaystyle {\frac {(z+1)^{n}-1}{(z+1)-1}},}$

og ekspanderer via binomial sætning.

Hver n af roden af ​​enhed er en primitiv d roden af ​​enhed for præcis en positiv divisor d af n . Dette indebærer, at

${\displaystyle z^{n}-1=\prod _{d|n}\Phi _{d}(z).}$

Denne formel repræsenterer faktoriseringen af polynomet z ⁿ - 1 til irreducerbare faktorer.

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{1}-1&=z-1\\z^{2}-1&=(z-1)(z+1)\\z^{3}-1&=(z-1)\left(z^{2}+z+1\right)\\z^{4}-1&=(z-1)(z+1)\left(z^{2}+1\right)\\z^{5}-1&=(z-1)\left(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)\\z^{6}-1&=(z-1)(z+1)\left(z^{2}+z+1\right)\left(z^{2}-z+1\right)\\z^{7}-1&=(z-1)\left(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\right)\\z^{8}-1&=(z-1)(z+1)\left(z^{2}+1\right)\left(z^{4}+1\right)\\\end{aligned}}}$

Anvendelse af Möbius inversion til formlen giver

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=\prod _{d|n}\left(z^{\frac {n}{d}}-1\right)^{\mu (d)}=\prod _{d|n}\left(z^{d}-1\right)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right)},}$

hvor μ er Möbius -funktionen . Så de første par cyklotomiske polynomer er

Φ ₁ ( z ) = z - 1

Φ ₂ ( z ) = ( z ² - 1) ⋅ ( z - 1) ⁻¹ = z + 1

Φ ₃ ( z ) = ( z ³ - 1) ⋅ ( z - 1) ⁻¹ = z ² + z + 1

Φ ₄ ( z ) = ( z ⁴ - 1) ⋅ ( z ² - 1) ⁻¹ = z ² + 1

Φ ₅ ( z ) = ( z ⁵ - 1) ⋅ ( z - 1) ⁻¹ = z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₆ ( z ) = ( z ⁶ - 1) ⋅ ( z ³ - 1) ⁻¹ ⋅ ( z ² - 1) ⁻¹ ⋅ ( z - 1) = z ² - z + 1

Φ ₇ ( z ) = ( z ⁷ - 1) ⋅ ( z - 1) ⁻¹ = z ⁶ + z ⁵ + z ⁴ + z ³ + z ² + z + 1

Φ ₈ ( z ) = ( z ⁸ - 1) ⋅ ( z ⁴ - 1) ⁻¹ = z ⁴ + 1

Hvis p er et primtal , så alt det p th rødder enhed undtagen 1 er primitive p th rødder, og vi har

${\displaystyle \Phi _{p}(z)={\frac {z^{p}-1}{z-1}}=\sum _{k=0}^{p-1}z^{k}.}$

Ved at erstatte ethvert positivt heltal ≥ 2 med z , bliver denne sum en base z genforenet . Således er en nødvendig (men ikke tilstrækkelig) betingelse for at en repunit skal være prime, at dens længde er prime.

Bemærk, at i modsætning til første udseende er ikke alle koefficienter for alle cyklotomiske polynomer 0, 1 eller -1. Den første undtagelse er Φ ₁₀₅ . Det er ikke en overraskelse, det tager så lang tid at få et eksempel, fordi koefficienternes adfærd ikke afhænger så meget af n som af, hvor mange ulige primfaktorer der vises i n . Mere præcist kan det påvises, at hvis n har 1 eller 2 ulige primfaktorer (f.eks. N = 150 ), så har det n. Cyklotomiske polynom kun koefficienter 0, 1 eller −1. Således er den første tænkelige n, for hvilken der kunne være en koefficient udover 0, 1 eller −1, et produkt af de tre mindste ulige primtal, og det er 3⋅5⋅7 = 105 . Dette beviser i sig selv ikke, at det 105. polynom har en anden koefficient, men viser, at det er den første, der endda har en chance for at fungere (og derefter viser en beregning af koefficienterne, at den gør). En Schur -sætning siger, at der er cyklotomiske polynomer med koefficienter vilkårligt store i absolut værdi. Især hvis hvor er ulige primtal, og t er ulige, forekommer 1 - t som en koefficient i det n cyklotomiske polynom. ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}\cdots p_{t},}$${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{t}}$${\displaystyle p_{1}+p_{2}>p_{t},}$

Mange begrænsninger kendes om de værdier, som cyklotomiske polynomer kan antage ved heltalsværdier. For eksempel, hvis p er primtal, så d  ∣ Φ _p ( d ) if og kun d ≡ 1 (mod p ) .

Cyklotomiske polynomer kan opløses i radikaler , da enhedens rødder i sig selv er radikaler. Desuden findes der mere informative radikale udtryk for n th rødder enhed med den yderligere egenskab, at hver værdi af udtrykket fås ved at vælge værdier af grupperne (f.eks tegn på kvadratrødder) er en primitiv n te rod af enhed. Dette viste Gauss allerede i 1797. Der findes effektive algoritmer til beregning af sådanne udtryk.

Cykliske grupper

Den n th rødder enhed form under multiplikation en cyklisk gruppe af orden n , og i virkeligheden disse grupper omfatter alle de finite undergrupper af den multiplikative gruppe af komplekset nummer. En generator til denne cykliske gruppe er en primitiv n rod til enhed.

Den n th rødder enhed danner en irreducible repræsentation af enhver cyklisk gruppe af orden n . Ortogonalitetsforholdet følger også af gruppeteoretiske principper som beskrevet i karaktergruppe .

Enhedens rødder optræder som poster i egenvektorerne i enhver cirkulerende matrix , dvs. matricer, der er invariante under cykliske skift, en kendsgerning, der også følger af gruppefremstillingsteori som en variant af Blochs sætning . Især hvis en cirkulerende hermitisk matrix overvejes (f.eks. En diskretiseret endimensionel laplacian med periodiske grænser), følger ortogonalitetsegenskaben straks af den sædvanlige ortogonalitet af egenvektorer i hermitiske matricer.

Cyklotomiske felter

Ved tilstødende en primitiv n te rod af enhed til opnår man n th cyklotomiske field Denne felt indeholder alle n th rødder enhed og er spaltningslegemet af n th cyklotomiske polynomial løbet The legemesudvidelse har grad φ ( n ) og dens Galois gruppe er naturligt isomorf i forhold til den multiplikative gruppe af enheder i ringen${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n)).}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Da Galois -gruppen er abelsk, er dette en abelsk udvidelse . Hvert underfelt i et cyklotomisk felt er en abelsk forlængelse af rationalerne. Det følger heraf, at hver n rod til enhed kan udtrykkes i k -rødder, med forskellige k ikke overstige φ (n) . I disse tilfælde kan Galois -teorien skrives eksplicit ud i forhold til gaussiske perioder : denne teori fra Disquisitiones Arithmeticae of Gauss blev offentliggjort mange år før Galois. ${\displaystyle \mathbb {Q} (\exp(2\pi i/n))/\mathbb {Q} }$

Omvendt er hver abelsk udvidelse af rationalerne sådan et underfelt i et cyklotomisk felt - dette er indholdet af en sætning om Kronecker , normalt kaldet Kronecker – Weber -sætningen med den begrundelse, at Weber fuldførte beviset.

Forholdet til kvadratiske heltal

For n = 1, 2 , begge rødder enhed 1 og -1 er heltal .

For tre værdier af n er enhedens rødder kvadratiske heltal :

• For n = 3, 6 er de Eisenstein -heltal ( D = -3 ).
• For n = 4 er de gaussiske heltal ( D = −1 ): se imaginær enhed .

For fire andre værdier af n er enhedens primitive rødder ikke kvadratiske heltal, men summen af ​​enhver enhedens rod med dets komplekse konjugat (også en n. Rod til enhed) er et kvadratisk heltal.

For n = 5, 10 er ingen af ​​de ikke-virkelige enhedsrødder (som tilfredsstiller en kvartsligning ) et kvadratisk heltal, men summen z + z = 2  Re z af hver rod med sit komplekse konjugat (også en 5. rod af enhed) er et element i ringen Z [1 + √ 5/2] ( D = 5 ). For to par ikke-virkelige 5. enhedsrødder er disse summer inverse golden ratio og minus golden ratio.

For n = 8 , for enhver enhedsrod er z + z lig med enten 0, ± 2 eller ± √ 2 ( D = 2 ).

For n = 12 , for enhver enhedsrod, er z + z lig med enten 0, ± 1, ± 2 eller ± √ 3 ( D = 3 ).

Se også

• Argand system
• Cirkelgruppe , enhedens komplekse tal
• Cyklotomisk felt
• Gruppeskema med enhedsrødder
• Dirichlet karakter
• Ramanujans sum
• Witt vektor
• Teichmüller karakter

Noter

Referencer

• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Revideret tredje udgave), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001
• Milne, James S. (1998). "Algebraisk talteori" . Kursusnotater .
• Milne, James S. (1997). "Klassefeltteori" . Kursusnotater .
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematatischen Wissenschaften . 322 . Berlin: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859 . Zbl  0956.11021 .
• Neukirch, Jürgen (1986). Klassefeltteori . Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15251-2.
• Washington, Lawrence C. (1997). Cyklotomiske felter (2. udgave). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
• Derbyshire, John (2006). "Enhedens rødder". Ukendt mængde . Washington, DC: Joseph Henry Press . ISBN 0-309-09657-X.