Terningrod - Cube root

Plot af y = ³ √ x . Plottet er symmetrisk med hensyn til oprindelse, da det er en ulige funktion . Ved x = 0 har denne graf en lodret tangens .

En enhedsterning (side = 1) og en terning med dobbelt så stor volumen (side = ³ √ 2 = 1,2599 ... OEIS :  A002580 ).

I matematik er en terningrod af et tal x et tal y således at y ³ = x . Alle reelle tal uden nul , har nøjagtigt en ægte terningrod og et par komplekse konjugerede terninger, og alle ikke -nul komplekse tal har tre forskellige komplekse terninger. For eksempel den virkelige kubikroden af 8 , betegnet , er 2 , fordi 2 ³ = 8 , mens de øvrige kubikrødder af 8 er og . De tre terningerødder på −27 i er ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}}}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle -1 -i {\ sqrt {3}}}$

${\ displaystyle 3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} -{\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {og}} \ quad -{ \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}-{\ frac {3} {2}} i.}$

I nogle sammenhænge, ​​især når det tal, hvis terningrod skal tages, er et reelt tal, omtales en af ​​terningens rødder (i dette særlige tilfælde den rigtige) som den vigtigste terningrod , betegnet med det radikale tegn Terningen rod er den omvendte funktion af terningen funktionen hvis overvejer eneste reelle tal, men ikke hvis overvejer også komplekse tal: selv om man har altid kubikroden af kuben af et tal er ikke altid dette nummer. For eksempel er en terningrod på 8 , (det vil sige ), men${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {~^{~}}}.}$${\ displaystyle \ venstre ({\ sqrt [{3}] {x}} \ højre)^{3} = x,}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle (-1+i {\ sqrt {3}})^{3} = 8}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}} \ neq 2 = {\ sqrt [{3}] {( -1+i {\ sqrt {3}})^{3}}}.}$

Formel definition

Kubens rødder af et tal x er tallene y, der opfylder ligningen

${\ displaystyle y^{3} = x. \}$

Ejendomme

Reelle tal

For ethvert reelt tal x er der et reelt tal y således, at y ³  =  x . Den terning funktionen er stigende, så ikke giver det samme resultat for to forskellige indgange, og det dækker alle reelle tal. Med andre ord er det en bijection eller en-til-en. Så kan vi definere en omvendt funktion, der også er en-til-en. For reelle tal kan vi definere en unik terningrod af alle reelle tal. Hvis denne definition bruges, er terningen af ​​et negativt tal et negativt tal.

De tre terningerødder af 1

Hvis x og y får lov til at være komplekse , så er der tre løsninger (hvis x er ikke-nul), og så har x tre terningerødder. Et reelt tal har en reel terningrod og to yderligere terninger, der danner et komplekst konjugeret par. For eksempel er kubens rødder af 1 :

${\ displaystyle 1, \ quad -{\ frac {1} {2}}+{\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad -{\ frac {1} {2}} -{ \ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}$

De to sidste af disse rødder fører til et forhold mellem alle rødder af et reelt eller komplekst tal. Hvis et tal er en kuberod af et bestemt reelt eller komplekst tal, kan de to andre kuberødder findes ved at gange denne kuberod med den ene eller den anden af ​​de to komplekse terningerødder af 1.

Komplekse tal

Plot af den komplekse terningrod sammen med dens to ekstra blade. Det første billede viser hovedgrenen, som er beskrevet i teksten.

Riemann -overfladen af kuberoden. Man kan se, hvordan alle tre blade passer sammen.

For komplekse tal defineres hovedterningroden sædvanligvis som den terningrod, der har den største reelle del , eller, tilsvarende, terningroden, hvis argument har den mindst absolutte værdi . Det er relateret til hovedværdien af ​​den naturlige logaritme ved formlen

${\ displaystyle x^{\ frac {1} {3}} = \ exp \ venstre ({\ frac {1} {3}} \ ln {x} \ højre).}$

Hvis vi skriver x som

${\ displaystyle x = r \ exp (i \ theta) \,}$

hvor r er et ikke-negativt reelt tal og θ ligger i området

${\ displaystyle -\ pi <\ theta \ leq \ pi}$,

så er den vigtigste komplekse terningrod

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ venstre ({\ frac {i \ theta} {3}} \ højre).}$

Det betyder, at vi i polære koordinater tager radiusens terningrod og deler polarvinklen med tre for at definere en terningrod. Med denne definition er hovedterningroten for et negativt tal et komplekst tal, og for eksempel vil ³ √ −8 ikke være −2, men snarere 1 + i √ 3 .

Denne vanskelighed kan også løses ved at betragte termeroden som en funktion med flere værdier : hvis vi skriver det originale komplekse tal x i tre ækvivalente former, nemlig

${\ displaystyle x = {\ begin {cases} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta +2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {cases}}}$

Geometrisk repræsentation af 2. til 6. rødderne af en komplekst tal z , i polær form re ^iφ  hvor r = | z  | og φ = arg z . Hvis z er reel, φ = 0 eller π . De vigtigste rødder er vist i sort.

De vigtigste komplekse terninger af disse tre former er derefter henholdsvis

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {cases} {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3} } \ højre), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ venstre ({\ frac {i \ theta} {3}}+{\ frac {2i \ pi} {3}} \ til højre), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ venstre ({\ frac {i \ theta} {3}}-{\ frac {2i \ pi} {3}} \ højre) . \ end {cases}}}$

Medmindre x = 0 er disse tre komplekse tal forskellige, selvom de tre repræsentationer af x var ækvivalente. For eksempel kan ³ √ −8 derefter beregnes til at være −2, 1 + i √ 3 eller 1 - i √ 3 .

Dette hænger sammen med begrebet monodromi : Hvis man følger kontinuitet funktionen terningrot langs en lukket sti omkring nul, efter en omgang multipliceres (eller divideres) værdien af ​​termeroden med${\ displaystyle e^{2i \ pi /3}.}$

Umulighed af kompas-og-straightedge konstruktion

Terningerødder opstår i problemet med at finde en vinkel, hvis mål er en tredjedel af en given vinkel ( vinkeltrisektion ) og i problemet med at finde kanten af ​​en terning, hvis volumen er det dobbelte af en terning med en given kant ( fordobling af terning ). I 1837 beviste Pierre Wantzel , at ingen af ​​disse kan udføres med en kompas-og-rettet konstruktion .

Numeriske metoder

Newtons metode er en iterativ metode, der kan bruges til at beregne terningens rod. For reelle floating-point- tal reducerer denne metode til følgende iterative algoritme for at producere successivt bedre tilnærmelser til terningens rod af a :

${\ displaystyle x_ {n+1} = {\ frac {1} {3}} \ venstre ({\ frac {a} {x_ {n}^{2}}}+2x_ {n} \ højre).}$

Metoden er simpelthen et gennemsnit af tre valgte faktorer, således at

${\ displaystyle x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n}^{2}}} = a}$

ved hver iteration.

Halleys metode forbedrer dette med en algoritme, der konvergerer hurtigere med hver iteration, omend med mere arbejde pr. Iteration:

${\ displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} \ venstre ({\ frac {x_ {n}^{3}+2a} {2x_ {n}^{3}+a}} \ højre).}$

Dette konvergerer kubisk , så to iterationer gør lige så meget arbejde som tre iterationer af Newtons metode. Hver iteration af Newtons metode koster to multiplikationer, en tilføjelse og en division, forudsat at 1/3a er forudberegnet, så tre iterationer plus forberegningen kræver syv multiplikationer, tre tilføjelser og tre divisioner.

Hver iteration af Halleys metode kræver tre multiplikationer, tre tilføjelser og en division, så to iterationer koster seks multiplikationer, seks tilføjelser og to divisioner. Således har Halleys metode potentiale til at være hurtigere, hvis en division er dyrere end tre tilføjelser.

Med begge metoder kan en dårlig indledende tilnærmelse til x ₀ give meget dårlig algoritmeydelse, og det er lidt af en sort kunst at komme med en god indledende tilnærmelse. Nogle implementeringer manipulerer eksponentbitene i floating-point-tallet; dvs. de når en indledende tilnærmelse ved at dividere eksponenten med 3.

Også denne generaliserede fortsatte fraktion er nyttig , baseret på nth -rodmetoden :

Hvis x er en god første tilnærmelse til termeroden af a og y = a - x ³ , så:

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {a}} = {\ sqrt [{3}] {x^{3}+y}} = x+{\ cfrac {y} {3x^{2}+{ \ cfrac {2y} {2x+{\ cfrac {4y} {9x^{2}+{\ cfrac {5y} {2x+{\ cfrac {7y} {15x^{2}+{\ cfrac {8y} {2x+\ ddots}}}}}}}}}}}}}}$

${\ displaystyle = x+{\ cfrac {2x \ cdot y} {3 (2x^{3}+y) -y-{\ cfrac {2 \ cdot 4y^{2}} {9 (2x^{3}+ y)-{\ cfrac {5 \ cdot 7y^{2}} {15 (2x^{3}+y)-{\ cfrac {8 \ cdot 10y^{2}} {21 (2x^{3}+ y)-\ ddots}}}}}}}}}}$

Den anden ligning kombinerer hvert par fraktioner fra den første til en enkelt fraktion og fordobler dermed konvergenshastigheden.

Udseende i løsninger af tredje og fjerde graders ligninger

Kubiske ligninger , som er polynomiske ligninger af tredje grad (hvilket betyder, at den ukendte højeste magt er 3), kan altid løses for deres tre løsninger med hensyn til terninger og kvadratrødder (selvom enklere udtryk kun i kvadratrødder findes for alle tre løsninger, hvis mindst en af ​​dem er et rationelt tal ). Hvis to af løsningerne er komplekse tal, involverer alle tre løsningsudtryk den reelle kuberod af et reelt tal, mens hvis alle tre løsninger er reelle tal, kan de udtrykkes i form af den komplekse terningrod af et komplekst tal .

Quartiske ligninger kan også løses med hensyn til terningerødder og kvadratrødder.

Historie

Beregningen af ​​terningens rødder kan spores tilbage til babyloniske matematikere fra så tidligt som 1800 fvt. I det fjerde århundrede fvt udgjorde Platon problemet med at fordoble terningen , hvilket krævede en kompas-og-opretstående konstruktion af kanten af ​​en terning med dobbelt så stor volumen som en given terning; dette krævede konstruktionen, nu kendt for at være umulig, af længden ³ √ 2 .

En metode til udtrækning af terningrødder vises i De ni kapitler om matematisk kunst , en kinesisk matematisk tekst, der blev samlet omkring det 2. århundrede fvt og kommenteret af Liu Hui i det 3. århundrede e.Kr. Den græske matematiker Hero of Alexandria udtænkte en metode til beregning af kubens rødder i det 1. århundrede e.Kr. Hans formel omtales igen af ​​Eutokios i en kommentar til Archimedes . I 499 CE gav Aryabhata , en matematiker - astronom fra den klassiske tidsalder indisk matematik og indisk astronomi , en metode til at finde kuben af ​​tal med mange cifre i Aryabhatiya (afsnit 2.5).

Se også

• Metoder til beregning af kvadratrødder
• Liste over polynomiske emner
• Nth rod
• Kvadrat rod
• Indlejret radikal
• Enhedens rod
• Skiftende nth-root-algoritme

Referencer

eksterne links

• Cube root -lommeregner reducerer ethvert tal til den enkleste radikale form
• Computing the Cube Root, Ken Turkowski, Apples tekniske rapport #KT-32, 1998 . Inkluderer C -kildekode.
• Weisstein, Eric W. "Cube Root" . MathWorld .