Lokal afgrænsning - Local boundedness

I matematik , en funktion er lokalt afgrænset , hvis den er afgrænset omkring hvert punkt. En familie af funktioner er lokalt afgrænset, hvis alle funktioner for et hvilket som helst punkt i deres domæne er afgrænset omkring dette punkt og med det samme nummer.

Lokalt afgrænset funktion

En reelt værdsat eller kompleks-værdsat funktion f defineret i et hvilket som helst topologisk rum X kaldes lokalt afgrænset, hvis der for et hvilket som helst x ₀ i X findes et kvarter A på x _0, således at f  ( A ) er et afgrænset sæt , det vil sige for nogle tal M > 0, man har

${\ displaystyle | f (x) | \ leq M}$

for alle x i A .

Det vil sige, for hver x kan man finde en konstant, afhængigt af x , som er større end alle værdier for funktionen i nabolaget af x . Sammenlign dette med en afgrænset funktion, for hvilken konstanten ikke afhænger af x . Selvfølgelig, hvis en funktion er afgrænset, er den lokalt afgrænset. Samtalen er ikke sandt generelt.

Denne definition kan udvides til tilfældet, når f tager værdier i et eller andet metrisk rum . Så skal uligheden ovenfor erstattes med

${\ displaystyle d \ venstre (f (x), en \ højre) \ leq M}$

for alle x i A , hvor d er afstandsfunktionen i det metriske rum, og a er et eller andet punkt i det metriske rum. Valget af a påvirker ikke definitionen. At vælge en anden en , vil højst øge konstant M , hvor denne ulighed er sandt.

eksempler

• Funktionen f : R → R defineret af

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} +1}}}$

er afgrænset, fordi 0≤ f  ( x ) ≤ 1 for alle x . Derfor er det også lokalt afgrænset.

• Funktionen f : R → R defineret af

${\ displaystyle f (x) = 2x + 3}$

er ikke afgrænset, da det vilkårligt bliver stort. Det er dog lokalt afgrænset, fordi det for hver a , | f ( x ) | ≤ M i nabolaget ( a - 1, a + 1), hvor M = 2 | a | +5.

• Funktionen f : R → R defineret af

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x}}}$

for x ≠ 0 og at tage værdien 0 for x = 0 er ikke lokalt afgrænset. I ethvert kvarter med 0 tager denne funktion værdier af vilkårlig stor størrelse.

Lokalt afgrænset familie

Et sæt (også kaldet en familie ) U af reelt værdsatte eller komplekse værdsatte funktioner defineret i et hvilket som helst topologisk rum X kaldes lokalt afgrænset, hvis der for et hvilket som helst x ₀ i X der findes et kvarter A på x ₀ og et positivt tal M, så

${\ displaystyle | f (x) | \ leq M}$

for alle x i A og f i U . Med andre ord skal alle funktioner i familien være lokalt afgrænset, og omkring hvert punkt skal de være afgrænset af den samme konstant.

Denne definition kan også udvides til tilfældet, når funktionerne i familie U tager værdier i et eller andet metrisk rum ved igen at erstatte den absolutte værdi med afstandsfunktionen.

eksempler

• Funktionsfamilien f _n : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {x} {n}}}$

hvor n = 1, 2, ... er lokalt afgrænset. Faktisk, hvis x ₀ er et reelt tal, kan man vælge kvarter A til at være intervallet ( x ₀ -1, x ₀ +1). Derefter for alle x i dette interval og for alle n ≥1 har man

${\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M}$

med M = | x ₀ | +1. Desuden er familien ensartet afgrænset, fordi hverken kvarteret A eller den konstante M afhænger af indekset n .

• Funktionsfamilien f _n : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + n ^ {2}}}}$

er lokalt afgrænset, hvis n er større end nul. For enhver x ₀ kan man vælge kvarter A til at være R selv. Så har vi det

${\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq M}$

med M = 1. Bemærk, at værdien af M ikke afhænger af valget af x ₀ eller dets nabolag A . Denne familie er da ikke kun lokalt afgrænset, den er også ensartet afgrænset .

• Funktionsfamilien f _n : R → R

${\ displaystyle f_ {n} (x) = x + n}$

er ikke lokalt afgrænset. For enhver x ₀ kan værdierne f _n ( x ₀ ) ikke begrænses, da n har tendens til uendelig.

Topologiske vektorrum

Lokal afgrænsning kan også henvise til en egenskab ved topologiske vektorrum eller af funktioner fra et topologisk rum til et topologisk vektorrum.

Lokalt afgrænsede topologiske vektorrum

Lad X være et topologisk vektorrum. Derefter en delmængde B ⊂ X er afgrænset hvis for alle nabolag U på 0 i X findes et tal s > 0, således at

B ⊂ tU for alle t > s .

Et topologisk vektorrum siges at være lokalt afgrænset, hvis X indrømmer et afgrænset kvarter på 0.

Lokalt afgrænsede funktioner

Lad X være et topologisk rum, Y et topologisk vektorrum og f  : X → Y en funktion. Så f er lokalt afgrænset hvis hvert punkt i X har et kvarter hvis billede under f er afgrænset.

Følgende sætning angår lokal afgrænsning af funktioner med den lokale afgrænsning af topologiske vektorrum:

Sætning. Et topologisk vektorrum X er lokalt afgrænset, hvis og kun hvis identitetskortlægningen 1  : X → X er lokalt afgrænset.

eksterne links

• "Lokalt afgrænset" . PlanetMath .