Oprindelig tilstand - Initial condition

Den oprindelige tilstand for en vibrerende streng

Udvikling fra den oprindelige tilstand

I matematik og især i dynamiske systemer er en indledende tilstand , i nogle sammenhænge kaldet en frøværdi , en værdi af en udviklende variabel på et tidspunkt, der er angivet som den indledende tid (typisk betegnet t  = 0). En ordning med henblik k (antallet af tidsintervaller i diskret tid , eller rækkefølgen af de største derivat kontinuert tid ) og dimension n (dvs. med n forskellige udviklende variabler, der tilsammen kan betegnes med en n -dimensional koordinatvektor ), generelt er nk- indledende betingelser nødvendige for at spore systemets variabler fremad gennem tiden.

I både differentialligninger i kontinuerlig tid og differensligninger i diskret tid påvirker indledende betingelser værdien af ​​de dynamiske variabler ( tilstandsvariabler ) på ethvert fremtidigt tidspunkt. I kontinuerlig tid kaldes problemet med at finde en lukket formløsning til tilstandsvariablerne som en funktion af tid og de oprindelige betingelser det oprindelige værdiproblem . Et tilsvarende problem findes i diskrete tidssituationer. Mens en lukket formløsning ikke altid er mulig at opnå, kan fremtidige værdier for et diskret tidssystem findes ved at gentage en tidsperiode pr. Iteration, selvom afrundingsfejl kan gøre dette upraktisk over lange horisonter.

Lineært system

Diskret tid

En lineær matrixforskelligning for den homogene (uden konstant term) form har en lukket formopløsning, der er baseret på vektoren af startbetingelser på de individuelle variabler, der er stablet i vektoren; kaldes vektoren for indledende betingelser eller simpelthen den oprindelige tilstand og indeholder nk stykker information, n er dimensionen af ​​vektoren X og k  = 1 er antallet af tidsforsinkelser i systemet. De indledende betingelser i dette lineære system påvirker ikke den kvalitative natur af den fremtidige opførsel af tilstandsvariablen X ; at adfærd er stabil eller ustabil baseret på egenværdierne i matrix A, men ikke baseret på de oprindelige betingelser. ${\ displaystyle X_ {t + 1} = AX_ {t}}$${\ displaystyle X_ {t} = A ^ {t} X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle X_ {0}}$

Alternativt er en dynamisk proces i en enkelt variabel x med flere tidsforsinkelser

${\ displaystyle x_ {t} = a_ {1} x_ {t-1} + a_ {2} x_ {t-2} + \ cdots + a_ {k} x_ {tk}.}$

Her er dimensionen n  = 1 og rækkefølgen er k , så det nødvendige antal indledende betingelser for at spore systemet gennem tiden, enten iterativt eller via lukket formopløsning, er nk  =  k . Igen påvirker de indledende betingelser ikke den kvalitative karakter af variabelens langsigtede udvikling. Løsningen af ​​denne ligning findes ved at bruge dens karakteristiske ligning til at opnå sidstnævntes k- opløsninger, som er de karakteristiske værdier til brug i opløsningsligningen ${\ displaystyle \ lambda ^ {k} -a_ {1} \ lambda ^ {k-1} -a_ {2} \ lambda ^ {k-2} - \ cdots -a_ {k-1} \ lambda -a_ { k} = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ prikker, \ lambda _ {k},}$

${\ displaystyle x_ {t} = c_ {1} \ lambda _ {1} ^ {t} + \ cdots + c_ {k} \ lambda _ {k} ^ {t}.}$

Her findes konstanterne ved at løse et system med k forskellige ligninger baseret på denne ligning, der hver bruger en af k forskellige værdier af t, for hvilken den specifikke starttilstand er kendt. ${\ displaystyle c_ {1}, \ prikker, c_ {k}}$${\ displaystyle x_ {t}}$

Kontinuerlig tid

Et differentialligningssystem af første orden med n variabler stablet i en vektor X er

${\ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = AX.}$

Dens adfærd gennem tiden kan spores med en lukket formopløsning betinget af en initialtilstandsvektor . Antallet af krævede indledende stykker information er dimensionen n af systemet gange rækkefølgen k  = 1 i systemet eller n . De indledende betingelser påvirker ikke systemets kvalitative opførsel (stabil eller ustabil). ${\ displaystyle X_ {0}}$

En enkelt k ^- rækkefølge lineær ligning i en enkelt variabel x er

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {k} x} {dt ^ {k}}} + a_ {k-1} {\ frac {d ^ {k-1} x} {dt ^ {k-1} }} + \ cdots + a_ {1} {\ frac {dx} {dt}} + a_ {0} x = 0.}$

Her er antallet af startbetingelser, der er nødvendige for at opnå en lukket formopløsning, dimensionen n  = 1 gange rækkefølgen k eller simpelthen k . I dette tilfælde k indledende stykker information typisk ikke vil være forskellige værdier af variablen x på forskellige tidspunkter, men snarere værdierne af x og dens første k  - 1-derivater, alle på et tidspunkt i tid som tid nul. De indledende betingelser påvirker ikke den kvalitative karakter af systemets adfærd. Den karakteristiske ligning af denne dynamiske ligning er, hvis løsninger er de karakteristiske værdier, som disse bruges i opløsningsligningen ${\ displaystyle \ lambda ^ {k} + a_ {k-1} \ lambda ^ {k-1} + \ cdots + a_ {1} \ lambda + a_ {0} = 0,}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ prikker, \ lambda _ {k};}$

${\ displaystyle x (t) = c_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + \ cdots + c_ {k} e ^ {\ lambda _ {k} t}.}$

Denne ligning og dens første k - 1 derivater danner et system af k ligninger, der kan løses for k- parametrene givet de kendte indledende betingelser på x og dets k - 1 derivatværdier på et eller andet tidspunkt t . ${\ displaystyle c_ {1}, \ prikker, c_ {k},}$

Ikke-lineære systemer

En anden indledende tilstand

Udvikling af denne indledende betingelse for et eksempel på PDE

Ikke-lineære systemer kan udvise et væsentligt rigere udvalg af adfærd end lineære systemer kan. Især kan de indledende betingelser påvirke, om systemet divergerer til uendeligt, eller om det konvergerer til en eller anden tiltrækker af systemet. Hver tiltrækker, et (muligvis afbrudt) område af værdier, som nogle dynamiske stier nærmer sig, men aldrig forlader, har et (muligvis afbrudt) tiltrækningsbassin, således at tilstandsvariabler med indledende betingelser i det bassin (og ingen andre steder) vil udvikle sig mod den tiltrækker. Selv nærliggende startbetingelser kunne være i forskellige tiltrækningsbassins tiltrækningsbassiner (se for eksempel Newtons metode # Attraktionsbassiner ).

I de ikke-lineære systemer, der viser kaotisk opførsel , udviser udviklingen af ​​variablerne følsom afhængighed af indledende forhold : de itererede værdier af to meget nærliggende punkter på den samme underlige tiltrækker , mens hver tilbage på tiltrækkeren, vil afvige fra hinanden over tid. Selv på en enkelt tiltrækker gør de nøjagtige værdier af de oprindelige betingelser således en væsentlig forskel for iteraternes fremtidige positioner. Denne funktion gør nøjagtig simulering af fremtidige værdier vanskelige og umulige over lange horisonter, fordi det sjældent er muligt at angive de indledende betingelser med nøjagtig præcision, og fordi afrundingsfejl er uundgåelig efter selv kun et par gentagelser fra en nøjagtig starttilstand.

Empiriske love og indledende betingelser

Enhver empirisk lov har den foruroligende kvalitet, at man ikke kender dens begrænsninger. Vi har set, at der er regelmæssigheder i begivenhederne i verden omkring os, som kan formuleres i form af matematiske begreber med en uhyggelig nøjagtighed. Der er på den anden side aspekter af verden, som vi ikke tror på, at der findes nogen nøjagtige regelmæssigheder. Vi kalder disse indledende betingelser.

Se også

• Grænsetilstand
• Initialiseringsvektor i kryptografi

Referencer