Endelig forskel - Finite difference

En endelig forskel er et matematisk udtryk for formen $f (x + b) - f (x + a)$ . Hvis en begrænset forskel divideres med $b - a$ , får man en differenskvotient . Tilnærmelse af derivater med begrænsede forskelle spiller en central rolle i endelige differensmetoder til numerisk løsning af differentialligninger , især grænseværdiproblemer .

Certain recurrence relations can be written as difference equations by replacing iteration notation with finite differences.

I dag betragtes udtrykket "begrænset forskel" ofte som synonymt med tilnærmelser til afgrænsede forskelle mellem derivater , især i forbindelse med numeriske metoder . Endelige forskelstilnærmelser er begrænsede forskelskvotienter i den terminologi, der er anvendt ovenfor.

Endelige forskelle blev introduceret af Brook Taylor i 1715 og er også blevet undersøgt som abstrakte selvstændige matematiske objekter i værker af George Boole (1860), LM Milne-Thomson (1933) og Károly Jordan (1939). Endelige forskelle sporer deres oprindelse tilbage til en af Jost Bürgis algoritmer ( ca. 1592 ) og værker af andre, herunder Isaac Newton . Den formelle beregning af begrænsede forskelle kan ses som et alternativ til beregningen af uendelige tal .

Grundlæggende typer

De tre typer af de begrænsede forskelle. Den centrale forskel på x giver den bedste tilnærmelse af funktionens derivat ved x.

Tre grundtyper betragtes almindeligvis: fremad , bagud og centrale begrænsede forskelle.

En forskel fremad , betegnet med en funktion $f$ er en funktion defineret som ${\ displaystyle \ Delta _ {h} [f],}$

{\ displaystyle \ Delta _ {h} [f] (x) = f (x+h) -f (x).}

Afhængigt af applikationen kan afstanden $h$ være variabel eller konstant. Når den udelades, anses $h$ for at være 1; det er,

{\ displaystyle \ Delta [f] (x) = \ Delta _ {1} [f] (x) = f (x+1) -f (x).}

En bagudrettet forskel bruger funktionsværdierne ved $x$ og $x - h$ , i stedet for værdierne ved $x + h$ og $x$ :

{\ displaystyle \ nabla _ {h} [f] (x) = f (x) -f (xh) = \ Delta _ {h} [f] (xh).}

Endelig er den centrale forskel givet ved

{\ displaystyle \ delta _ {h} [f] (x) = f \ venstre (x+{\ tfrac {h} {2}} \ højre) -f \ venstre (x-{\ tfrac {h} {2} } \ højre) = \ Delta _ {h} [f] (x-{\ tfrac {h} {2}}).}

Forholdet til derivater

Endelig forskel bruges ofte som en tilnærmelse til derivatet, typisk i numerisk differentiering .

Den derivat af en funktion $f$ ved et punkt $x$ er defineret af grænsen .

{\ displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ til 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}.}

Hvis $h$ har en fast (ikke-nul) værdi i stedet for at nærme sig nul, vil højre side af ovenstående ligning blive skrevet

{\ displaystyle {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}.}

Derfor er terminsforskellen divideret med $h$ tilnærmede derivatet, når $h$ er lille. Fejlen i denne tilnærmelse kan udledes af Taylors sætning . Forudsat at $f$ er to gange differentierbar, har vi

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ til 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

Den samme formel gælder for den tilbagestående forskel:

{\ displaystyle {\ frac {\ nabla _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O (h) \ til 0 \ quad {\ text {as}} h \ to 0.}

Den centrale (også kaldet centreret) forskel giver imidlertid en mere præcis tilnærmelse. Hvis $f$ er tre gange differentierbar,

{\ displaystyle {\ frac {\ delta _ {h} [f] (x)} {h}}-f '(x) = O \ venstre (h^{2} \ højre).}

Hovedproblemet med den centrale differensmetode er imidlertid, at oscillerende funktioner kan give nul -derivater. Hvis $f (nh) = 1$ for $n$ ulige, og $f (nh) = 2$ for $n$ lige, så er $f' (nh) = 0,$ hvis det beregnes med det centrale forskelsskema . Dette er især besværligt, hvis domænet $f$ er diskret. Se også Symmetrisk derivat

Forfattere, for hvem begrænsede forskelle betyder endelige forskelle, tilnærmelser definerer forskellene fremad/bagud/centralt som kvotienterne i dette afsnit (i stedet for at anvende definitionerne i det foregående afsnit).

Højere orden forskelle

På en analog måde kan man opnå endelige forskelstilnærmelser til derivater af højere orden og differentialoperatorer. For eksempel ved at bruge ovenstående centrale forskelsformel for $f ′ ( x +.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} h/2)$ og $f' (x - h / 2)$ og ved at anvende en central differensformel for derivatet af $f'$ ved $x$ , opnår vi den centrale forskels tilnærmelse til det andet derivat af $f$ :

Andenordens central: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}-{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x+h) -2f (x)+f (xh)} {h^{2}}}.}$

På samme måde kan vi anvende andre differentieringsformler på en rekursiv måde.

Anden ordre frem: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ Delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x+2h) -f (x+h)} {h}}-{\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}} {h}} = {\ frac {f ( x+2h) -2f (x+h)+f (x)} {h^{2}}}.}$

Anden ordre baglæns: ${\ displaystyle f '' (x) \ approx {\ frac {\ nabla _ {h}^{2} [f] (x)} {h^{2}}} = {\ frac {{\ frac {f (x) -f (xh)} {h}}-{\ frac {f (xh) -f (x-2h)} {h}}} {h}} = {\ frac {f (x) -2f (xh)+f (x-2h)} {h^{2}}}.}$

Mere generelt er den $n.$ Rækkefølge fremad, bagud og centrale forskelle givet ved henholdsvis

Frem: ${\ displaystyle \ Delta _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{ni} {\ binom {n} {i}} f {\ bigl (} x+ih {\ bigr)},}$

eller for $h = 1$ ,

{\ displaystyle \ Delta^{n} [f] (x) = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} (-1)^{nk} f (x+ k)}

Baglæns: ${\ displaystyle \ nabla _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{i} {\ binom {n} {i}} f (x-ih),}$

Central: ${\ displaystyle \ delta _ {h}^{n} [f] (x) = \ sum _ {i = 0}^{n} (-1)^{i} {\ binom {n} {i}} f \ venstre (x+\ venstre ({\ frac {n} {2}}-i \ højre) h \ højre).}$

Disse ligninger bruger binomiske koefficienter efter summeringstegnet vist som $(n i)$ . Hver række iPascals trekantgiver koefficienten for hver værdi på $i$ .

Bemærk, at den centrale forskel for ulige $n$ har $h$ ganget med ikke-heltal. Dette er ofte et problem, fordi det svarer til at ændre diskretiseringsintervallet. Problemet kan afhjælpes ved at tage gennemsnittet af $δ n [f] (x - h / 2)$ og $δ n [f] (x + h / 2)$ .

Fremadrettede forskelle anvendt på en sekvens kaldes undertiden sekvensens binomiske transformation og har en række interessante kombinatoriske egenskaber. Fremadrettede forskelle kan evalueres ved hjælp af Nörlund -Rice -integralet . Den integrerede repræsentation for disse serietyper er interessant, fordi integralet ofte kan evalueres ved hjælp af asymptotisk ekspansion eller sadelpunktsteknikker ; derimod kan fremadforskel -serien være ekstremt svær at evaluere numerisk, fordi binomiske koefficienter vokser hurtigt for store $n$ .

Forholdet mellem disse højere ordensforskelle med de respektive derivater er ligetil,

{\ displaystyle {\ frac {d^{n} f} {dx^{n}}} (x) = {\ frac {\ Delta _ {h}^{n} [f] (x)} {h^ {n}}}+O (h) = {\ frac {\ nabla _ {h}^{n} [f] (x)} {h^{n}}}+O (h) = {\ frac { \ delta _ {h}^{n} [f] (x)} {h^{n}}}+O \ venstre (h^{2} \ højre).}

Højere ordensforskelle kan også bruges til at konstruere bedre tilnærmelser. Som nævnt ovenfor tilnærmer førsteordensforskellen det første ordens derivat op til en ordreperiode $h$ . Dog kombinationen

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h} [f] (x)-{\ frac {1} {2}} \ Delta _ {h}^{2} [f] (x)} {h} } =-{\ frac {f (x+2h) -4f (x+h)+3f (x)} {2h}}}

tilnærmer $f' (x)$ op til en ordensperiode $h 2$ . Dette kan bevises ved at udvide ovenstående udtryk i Taylor -serien eller ved at bruge beregningen af begrænsede forskelle, forklaret nedenfor.

Om nødvendigt kan den begrænsede forskel centreres om et hvilket som helst punkt ved at blande fremad, bagud og centrale forskelle.

Kerner af vilkårlig størrelse

Ved hjælp af lineær algebra kan man konstruere endelige forskelstilnærmelser, der anvender et vilkårligt antal punkter til venstre og et (muligvis forskelligt) antal punkter til højre for evalueringspunktet, for ethvert ordrederivat. Dette indebærer løsning af et lineært system, så Taylor -udvidelsen af summen af disse punkter omkring evalueringspunktet bedst tilnærmer Taylor -ekspansionen af det ønskede derivat. Sådanne formler kan gengives grafisk på et sekskantet eller diamantformet gitter.

Dette er nyttigt for at differentiere en funktion på et gitter, hvor man, når man nærmer sig kanten af gitteret, skal prøve færre og færre punkter på den ene side.

Detaljerne er beskrevet i disse noter .

The Finite Difference Koefficienter Calculator konstruerer endelig differens approksimationer for ikke-standard (og endog ikke-heltallige) stencils givet en vilkårlig stencil og en ønsket afledes orden.

Ejendomme

For alle positive $k$ og $n$

{\ displaystyle \ Delta _ {kh}^{n} (f, x) = \ sum \ limit _ {i_ {1} = 0}^{k-1} \ sum \ limit _ {i_ {2} = 0 }^{k-1} \ cdots \ sum \ limit _ {i_ {n} = 0}^{k-1} \ Delta _ {h}^{n} \ venstre (f, x+i_ {1} h +i_ {2} h +\ cdots +i_ {n} h \ højre).}

Leibniz -regel :

{\ displaystyle \ Delta _ {h}^{n} (fg, x) = \ sum \ limit _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} \ Delta _ {h}^ {k} (f, x) \ Delta _ {h}^{nk} (g, x+kh).}

I differentialligninger

En vigtig anvendelse af begrænsede forskelle er i numerisk analyse , især i numeriske differentialligninger , der sigter mod den numeriske løsning af almindelige og partielle differentialligninger . Ideen er at erstatte de derivater, der vises i differentialligningen, med begrænsede forskelle, der tilnærmer dem. De resulterende metoder kaldes endelige forskelsmetoder .

Almindelige anvendelser af metoden med begrænset forskel er inden for beregningsvidenskab og ingeniørdiscipliner, såsom termisk teknik , væskemekanik osv.

Newtons serie

Den Newton-serien består af vilkårene i Newton fremad forskel ligning , opkaldt efter Isaac Newton ; i det væsentlige er det Newton -interpoleringsformlen , der først blev offentliggjort i hans Principia Mathematica i 1687, nemlig den diskrete analog til den kontinuerlige Taylor -ekspansion,

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} {\ frac {\ Delta ^{k} [f] (a)} {k!}} \, (xa) _ { k} = \ sum _ {k = 0} ^{\ infty} {\ binom {xa} {k}} \, \ Delta ^{k} [f] (a),}$

som holder for ethvert polynomium funktion $f$ og for mange (men ikke alle) analytiske funktioner (Det betyder ikke holde, når $f$ er eksponentiel form Dette ses let, som den sinusfunktion forsvinder ved hele multipla af. fremstilles det tilsvarende Newton serien er identisk nul , da alle begrænsede forskelle er nul i dette tilfælde. Men klart er sinusfunktionen ikke nul.). Her udtrykket ${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi}$

{\ displaystyle {\ binom {x} {k}} = {\ frac {(x) _ {k}} {k!}}}

er den binomiske koefficient , og

{\ displaystyle (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k+1)}

er " faldende faktor " eller "lavere faktor", mens det tomme produkt $(x) 0$ er defineret til at være 1. I dette særlige tilfælde er der en antagelse om enhedstrin for ændringerne i værdierne på $x, h = 1$ af generaliseringen herunder.

Bemærk den formelle korrespondance af dette resultat til Taylors sætning . Historisk set har dette såvel som Chu – Vandermonde -identiteten ,

{\ displaystyle (x+y) _ {n} = \ sum _ {k = 0}^{n} {\ binom {n} {k}} (x) _ {nk} \, (y) _ {k },}

(følger heraf og svarende til binomial sætning ), er inkluderet i de observationer, der modnet til systemet med paraplyregning .

For at illustrere, hvordan man kan bruge Newtons formel i praksis, overveje de første par termer for at fordoble Fibonacci -sekvensen $f = 2, 2, 4, ...$ Man kan finde et polynom, der gengiver disse værdier, ved først at beregne en differenstabel, og derefter erstatte de forskelle, der svarer til $x 0$ (understreget) i formlen som følger,

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ begin {array} {| c || c | c | c |} \ hline x & f = \ Delta ^{0} & \ Delta ^{1} & \ Delta ^{2 } \\\ hline 1 & {\ understregning {2}} && \\ && {\ understregning {0}} & \\ 2 & 2 && {\ understregning {2}} \\ && 2 & \\ 3 & 4 && \\\ hline \ end {array} } & \ quad {\ begin {align} f (x) & = \ Delta ^{0} \ cdot 1+ \ Delta ^{1} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {1} } {1!}}+\ Delta ^{2} \ cdot {\ dfrac {(x-x_ {0}) _ {2}} {2!}} \ Quad (x_ {0} = 1) \\\ \ & = 2 \ cdot 1+0 \ cdot {\ dfrac {x-1} {1}}+2 \ cdot {\ dfrac {(x-1) (x-2)} {2}} \\\\ & = 2+(x-1) (x-2) \\\ ende {justeret}} \ slut {matrix}}}

For ikke -ensartede trin i værdierne $x$ beregner Newton de opdelte forskelle ,

{\ displaystyle \ Delta _ {j, 0} = y_ {j}, \ qquad \ Delta _ {j, k} = {\ frac {\ Delta _ {j+1, k-1}-\ Delta _ {j , k-1}} {x_ {j+k} -x_ {j}}} \ quad \ ni \ quad \ venstre \ {k> 0, \; j \ leq \ max \ venstre (j \ højre) -k \ right \}, \ qquad \ Delta 0_ {k} = \ Delta _ {0, k}}

serien af produkter,

{\ displaystyle {P_ {0}} = 1, \ quad \ quad P_ {k+1} = P_ {k} \ cdot \ venstre (\ xi -x_ {k} \ højre),}

og det resulterende polynom er skalarproduktet ,

{\ displaystyle f (\ xi) = \ Delta 0 \ cdot P \ venstre (\ xi \ højre)}

.

I analysen med $p$ -adic tal , Mahlers sætning hedder det, at den antagelse, at $f$ er et polynomium funktion kan svækkes hele vejen til den antagelse, at $f$ er blot kontinuerlig.

Carlsons sætning giver nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en Newton -serie kan være unik, hvis den findes. Imidlertid findes der generelt ikke en Newton -serie.

Newton -serien er sammen med Stirling -serien og Selberg -serien et specialtilfælde af den generelle differensserie , som alle er defineret i form af passende skalerede forskelle fremad.

I en komprimeret og lidt mere generel form og ækvidistante noder læser formlen

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 0} {\ binom {\ frac {xa} {h}} {k}} \ sum _ {j = 0}^{k} (-1)^ {kj} {\ binom {k} {j}} f (a+jh).}

Beregning af begrænsede forskelle

Forwardforskellen kan betragtes som en operatør , kaldet differensoperator , som kortlægger funktionen $f$ til $Δ h [f]$ . Denne operatør beløber sig til

{\ displaystyle \ Delta _ {h} = T_ {h} -I,}

hvor $T h$ er skifteoperatoren med trin h , defineret af $T h [f] (x) = f (x + h)$ , og $I$ er identitetsoperatoren .

Den begrænsede forskel mellem højere ordrer kan defineres på rekursiv måde som $Δ n h \equiv Δ h (Δ n - 1 time)$ . En anden tilsvarende definition er $Δ n h = [T h - I] n$ .

Forskellen operatør $Δ h$ er en lineær operator , som sådan opfylder $Δ h [αf + βg] (x) = a Δ h [f] (x) + p Δ h [g] (x)$ .

Det opfylder også en særlig Leibniz -regel angivet ovenfor, $Δ h (f (x) g (x)) = (Δ h f (x)) g (x + h) + f (x) (Δ h g (x))$ . Lignende udsagn gælder for tilbagestående og centrale forskelle.

Formelt at anvende Taylor -serien med hensyn til $h$ , giver formlen

{\ displaystyle \ Delta _ {h} = hD+{\ frac {1} {2!}} h^{2} D^{2}+{\ frac {1} {3!}} h^{3} D ^{3}+\ cdots = \ mathrm {e} ^{hD} -I,}

hvor $D$ betegner kontinuumderivatoperatoren, kortlægning $f$ til dens derivat $f'$ . Udvidelsen er gyldig, når begge sider virker på analytiske funktioner i tilstrækkeligt små $timer$ . Således er $T h = e hD$ og formelt invertering af de eksponentielle udbytter

{\ displaystyle hD = \ log (1+ \ Delta _ {h}) = \ Delta _ {h}-{\ tfrac {1} {2}} \ Delta _ {h}^{2}+{\ tfrac { 1} {3}} \ Delta _ {h}^{3}-\ cdots.}

Denne formel holder i den forstand, at begge operatorer giver det samme resultat, når de anvendes på et polynom.

Selv for analytiske funktioner er serien til højre ikke garanteret at konvergere; det kan være en asymptotisk serie . Den kan dog bruges til at opnå mere præcise tilnærmelser til derivatet. For eksempel giver bevarelse af de to første termer i serien andenordens tilnærmelse til $f' (x)$ nævnt i slutningen af afsnittet Højere ordenforskelle .

De analoge formler for tilbagestående og centrale differensoperatorer er

{\ displaystyle hD =-\ log (1- \ nabla _ {h}) \ quad {\ text {og}} \ quad hD = 2 \ operatorname {arsinh} \ left ({\ tfrac {1} {2}} \ delta _ {h} \ højre).}

Beregningen af begrænsede forskelle er relateret til paraplyregningen for kombinatorik. Denne bemærkelsesværdige systematiske korrespondance skyldes identiteten af kommutatorerne for paraplymængderne til deres kontinuumanaloger ( $h \to 0$ grænser),

${\ displaystyle \ left [{\ frac {\ Delta _ {h}} {h}}, x \, T_ {h}^{-1} \ right] = [D, x] = I.}$

Et stort antal formelle differentialforhold i standardregning, der involverer funktioner $f (x),$ kortlægger således systematisk til paraply-endelige forskelsanaloger, der involverer $f (xT -1 t)$ .

For eksempel er paraplyanalogen for et monomial $x n$ en generalisering af ovenstående faldende faktor ( Pochhammer k-symbol ),

{\ displaystyle ~ (x) _ {n} \ equiv \ left (xT_ {h}^{-1} \ right)^{n} = x (xh) (x-2h) \ cdots {\ bigl (} x -(n-1) h {\ bigr)},}

så det

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (x) _ {n} = n (x) _ {n-1},}

derfor den ovennævnte Newton -interpoleringsformel (ved at matche koefficienter i udvidelsen af en vilkårlig funktion $f (x)$ i sådanne symboler) og så videre.

For eksempel er paraply -sinus

{\ displaystyle \ sin \ left (x \, T_ {h}^{-1} \ right) = x-{\ frac {(x) _ {3}} {3!}}+{\ frac {(x ) _ {5}} {5!}}-{\ frac {(x) _ {7}} {7!}}+\ Cdots}

Som i kontinuumgrænsen er egenfunktionen af $Δ h / h$ tilfældigvis også er en eksponentiel,

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta _ {h}} {h}} (1+ \ lambda h)^{\ frac {x} {h}} = {\ frac {\ Delta _ {h}} {h }} e^{\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}}} = \ lambda e^{\ ln (1+ \ lambda h) {\ frac {x} {h}} },}

og derfor kortlægges Fouriers summer af kontinuumfunktioner let til paraply Fourier -summer trofast , dvs. involverer de samme Fourier -koefficienter, der multiplicerer disse paraplybaserede eksponentielle værdier. Denne paraplyeksponentiel udgør således den eksponentielle genererende funktion af Pochhammer -symbolerne .

Således kortlægger f.eks. Dirac delta -funktionen til sin paraplykorrespondent, kardinal sinusfunktionen ,

{\ displaystyle \ delta (x) \ mapsto {\ frac {\ sin \ venstre [{\ frac {\ pi} {2}} \ venstre (1+{\ frac {x} {h}} \ højre) \ højre ]} {\ pi (x+h)}},}

og så videre. Differenceligninger kan ofte løses med teknikker, der meget ligner dem til løsning af differentialligninger .

Den inverse operatør af den fremadgående differensoperator, så paraplyintegralet, er den ubestemte sum eller antidifferensoperator.

Regler for beregning af endelige forskelsoperatorer

Analogt med reglerne for at finde derivatet har vi:

Konstant regel : Hvis $c$ er en konstant , så

{\ displaystyle \ Delta c = 0}

Linearitet : hvis $a$ og $b$ er konstanter ,

{\ displaystyle \ Delta (af+bg) = a \, \ Delta f+b \, \ Delta g}

Alle ovennævnte regler gælder lige så godt for enhver differensoperator, herunder $\nabla$ som $Δ$ .

Produktregel :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta (fg) & = f \, \ Delta g+g \, \ Delta f+\ Delta f \, \ Delta g \\\ nabla (fg) & = f \, \ nabla g+g \, \ nabla f- \ nabla f \, \ nabla g \ end {justeret}}}

Kvotientregel :

{\ displaystyle \ nabla \ left ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {1} {g}} \ det {\ begin {bmatrix} \ nabla f & \ nabla g \\ f & g \ slut {bmatrix}} \ venstre (\ det {\ begin {bmatrix} g & \ nabla g \\ 1 & 1 \ end {bmatrix}} \ højre)^{-1}}

eller

{\ displaystyle \ nabla \ venstre ({\ frac {f} {g}} \ right) = {\ frac {g \, \ nabla ff \, \ nabla g} {g \ cdot (g- \ nabla g)} }}

Summeringsregler :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {n = a}^{b} \ Delta f (n) & = f (b+1) -f (a) \\\ sum _ {n = a} ^{b} \ nabla f (n) & = f (b) -f (a-1) \ end {justeret}}}

Se referencer.

Generaliseringer

En generaliseret begrænset forskel defineres normalt som ${\ displaystyle \ Delta _ {h}^{\ mu} [f] (x) = \ sum _ {k = 0}^{N} \ mu _ {k} f (x+kh),}$ hvor $μ = (μ 0,\dots, μ N)$ er dens koefficientvektor. En uendelig forskel er en yderligere generalisering, hvor den endelige sum ovenfor er erstattet af en uendelig række . En anden måde at generalisere på er at gøre koefficienter $μ k$ afhængige af punkt $x$ : $μ k = μ k (x)$ , og dermed overveje en vægtet begrænset forskel . Man kan også få trin $h til at$ afhænge af punkt $x$ : $h = h (x)$ . Sådanne generaliseringer er nyttige til konstruktion af forskellige kontinuitetsmoduler .
Den generaliserede forskel kan ses som polynomringene $R [T h]$ . Det fører til forskel algebraer.
Differensoperatør generaliserer til Möbius -inversion over et delvist bestilt sæt .
Som en konvolutionsoperatør: Via formalismen af forekomstalgebraer kan differensoperatorer og anden Möbius -inversion repræsenteres ved konvolvering med en funktion på poset, kaldet Möbius -funktionen $μ$ ; for differensoperatoren er $μ$ sekvensen (1, -1, 0, 0, 0,…) .

Multivariate begrænsede forskelle

Endelige forskelle kan betragtes i mere end én variabel. De er analoge med partielle derivater i flere variabler.

Nogle delvise afledte tilnærmelser er:

{\ displaystyle {\ begin {justeret} f_ {x} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x+h, y) -f (xh, y)} {2h}} \\ f_ {y } (x, y) & \ approx {\ frac {f (x, y+k) -f (x, yk)} {2k}} \\ f_ {xx} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x+h, y) -2f (x, y)+f (xh, y)} {h^{2}}} \\ f_ {yy} (x, y) & \ approx {\ frac { f (x, y+k) -2f (x, y)+f (x, yk)} {k^{2}}} \\ f_ {xy} (x, y) & \ approx {\ frac {f (x+h, y+k) -f (x+h, yk) -f (xh, y+k)+f (xh, yk)} {4hk}}. \ end {justeret}}}

Alternativt, for applikationer, hvor beregningen af $f$ er det mest omkostningstunge trin, og både første og anden derivat skal beregnes, er en mere effektiv formel for det sidste tilfælde

{\ displaystyle f_ {xy} (x, y) \ approx {\ frac {f (x+h, y+k) -f (x+h, y) -f (x, y+k)+2f (x , y) -f (xh, y) -f (x, yk)+f (xh, yk)} {2hk}},}

da de eneste værdier til beregning, der ikke allerede er nødvendige for de foregående fire ligninger, er $f (x + h, y + k)$ og $f (x - h, y - k)$ .

Se også

Referencer

^ ^a ^b ^c Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction . Cambridge University Press. s. 137 . ISBN 978-0-521-49789-3.
^ ^a ^b ^c Peter Olver (2013). Introduktion til delvise differentialligninger . Springer Science & Business Media. s. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.
^ ^a ^b ^c M Hanif Chaudhry (2007). Åben kanalflow . Springer. s. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
^ Jordán, op. cit., s. 1 og Milne-Thomson, s. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): Beregningen af endelige forskelle (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077
^ Fraser, Duncan C. (1. januar 1909). "Om den grafiske afgrænsning af interpolationsformulæ" . Journal of the Institute of Actuaries . 43 (2): 235–241. doi : 10.1017/S002026810002494X . Hentet 17. april 2017 .
^ Newton, Isaac, (1687). Principia , bog III, Lemma V, sag 1
^ Richtmeyer, D. og Morton, KW, (1967). Difference Methods for Initial Value Problems , 2. udgave, Wiley, New York.
^ Boole, George , (1872). En afhandling om beregningen af endelige forskelle , 2. udgave, Macmillan og Company. Online . Også [Dover udgave 1960]
^ Jordan, Charles, (1939/1965). "Beregning af endelige forskelle", Chelsea Publishing. Online: [1]
^ Zachos, C. (2008). "Paraplydeformationer på diskret rumtid". International Journal of Modern Physics A . 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306 . Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z . doi : 10.1142/S0217751X08040548 . S2CID 16797959 .
^ Curtright, TL; Zachos, CK (2013). "Paraply Vade Mecum" . Grænser i fysik . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP ..... 1 ... 15C . doi : 10.3389/fphy.2013.00015 . S2CID 14106142 .
^ Levy, H .; Lessman, F. (1992). Endelige forskelsligninger . Dover. ISBN 0-486-67260-3.
^ Ames, WF, (1977). Numeriske metoder til partielle differentialligninger , afsnit 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1 .
^ Hildebrand, FB , (1968). Finite-Difference Equations and Simulations , afsnit 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
^ Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995). "Mellin -transformationer og asymptotik: Endelige forskelle og Rices integraler" (PDF) . Teoretisk datalogi . 144 (1–2): 101–124. doi : 10.1016/0304-3975 (94) 00281-M ..

Richardson, CH (1954): En introduktion til beregningen af endelige forskelle (Van Nostrand (1954) online kopi
Mickens, RE (1991): Difference Equations: Theory and Applications (Chapman og Hall/CRC) ISBN 978-0442001360

eksterne links

"Finite-difference calculus" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Tabel over nyttig formel med endelig forskel genereret ved hjælp af Mathematica
D. Gleich (2005), Finite Calculus: A Tutorial to Solving Nasty Sums
Diskret andet afledt af punkter med ujævnt mellemrum

[WilmottHowison1995-1] Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). The Mathematics of Financial Derivatives: A Student Introduction . Cambridge University Press. s. 137 . ISBN 978-0-521-49789-3.

[Olver2013-2] Peter Olver (2013). Introduktion til delvise differentialligninger . Springer Science & Business Media. s. 182. ISBN 978-3-319-02099-0.

[Chaudhry2007-3] M Hanif Chaudhry (2007). Åben kanalflow . Springer. s. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.

[4] Jordán, op. cit., s. 1 og Milne-Thomson, s. xxi. Milne-Thomson, Louis Melville (2000): Beregningen af endelige forskelle (Chelsea Pub Co, 2000) ISBN 978-0821821077

[5] Fraser, Duncan C. (1. januar 1909). "Om den grafiske afgrænsning af interpolationsformulæ" . Journal of the Institute of Actuaries . 43 (2): 235–241. doi : 10.1017/S002026810002494X . Hentet 17. april 2017 .

[6] Newton, Isaac, (1687). Principia , bog III, Lemma V, sag 1

[7] Richtmeyer, D. og Morton, KW, (1967). Difference Methods for Initial Value Problems , 2. udgave, Wiley, New York.

[8] Boole, George , (1872). En afhandling om beregningen af endelige forskelle , 2. udgave, Macmillan og Company. Online . Også [Dover udgave 1960]

[9] Jordan, Charles, (1939/1965). "Beregning af endelige forskelle", Chelsea Publishing. Online: [1]

[10] Zachos, C. (2008). "Paraplydeformationer på diskret rumtid". International Journal of Modern Physics A . 23 (13): 2005–2014. arXiv : 0710.2306 . Bibcode : 2008IJMPA..23.2005Z . doi : 10.1142/S0217751X08040548 . S2CID 16797959 .

[11] Curtright, TL; Zachos, CK (2013). "Paraply Vade Mecum" . Grænser i fysik . 1 : 15. arXiv : 1304.0429 . Bibcode : 2013FrP ..... 1 ... 15C . doi : 10.3389/fphy.2013.00015 . S2CID 14106142 .

[12] Levy, H .; Lessman, F. (1992). Endelige forskelsligninger . Dover. ISBN 0-486-67260-3.

[13] Ames, WF, (1977). Numeriske metoder til partielle differentialligninger , afsnit 1.6. Academic Press, New York. ISBN 0-12-056760-1 .

[14] Hildebrand, FB , (1968). Finite-Difference Equations and Simulations , afsnit 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[15] Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (1995). "Mellin -transformationer og asymptotik: Endelige forskelle og Rices integraler" (PDF) . Teoretisk datalogi . 144 (1–2): 101–124. doi : 10.1016/0304-3975 (94) 00281-M ..

Languages

In other projects