Kontinuitetsmodul - Modulus of continuity

I matematisk analyse er et kontinuitetsmodul en funktion ω: [0, ∞] → [0, ∞] bruges til kvantitativt at måle den ensartede kontinuitet i funktioner. Så en funktion f  : I → R indrømmer ω som et kontinuitetsmodul, hvis og kun hvis

${\ displaystyle | f (x) -f (y) | \ leq \ omega (| xy |),}$

for alle x og y i domænet f . Da kontinuitetsmoduler skal være uendelige ved 0, viser en funktion sig at være ensartet kontinuerlig, hvis og kun hvis den indrømmer et kontinuitetsmodul. Desuden er relevansen for begrebet givet af det faktum, at sæt funktioner, der deler det samme kontinuitetsmodul, er nøjagtigt ensartede familier . For eksempel beskriver modulet ω ( t ): = kt k- Lipschitz-funktionerne , moduli ω ( t ): = kt ^α beskriver Hölder-kontinuiteten , modulet ω ( t ): = kt (| log ( t ) | +1) beskriver næsten Lipschitz -klassen og så videre. Generelt er ωs rolle at fastsætte en eksplicit funktionel afhængighed af ε på δ i (ε, δ) definitionen af ​​ensartet kontinuitet . De samme forestillinger generaliserer naturligt til funktioner mellem metriske rum . Desuden giver en passende lokal version af disse begreber mulighed for kvantitativt at beskrive kontinuiteten på et tidspunkt i form af kontinuitetsmoduler.

En særlig rolle spilles af konkave moduler af kontinuitet, især i forbindelse med udvidelsesegenskaber og med tilnærmelse af ensartet kontinuerlige funktioner. For en funktion mellem metriske rum er det ækvivalent at indrømme et kontinuitetsmodul, der enten er konkavt eller subadditivt eller ensartet kontinuerligt eller sublinear (i vækstforstand ). Faktisk er eksistensen af ​​sådanne særlige kontinuitetsmoduler for en ensartet kontinuerlig funktion altid sikret, når domænet enten er et kompakt eller en konveks delmængde af et normeret rum. Imidlertid indrømmer en ensartet kontinuerlig funktion på et generelt metrisk rum et konkavt kontinuitetsmodul, hvis og kun hvis forholdene

${\ displaystyle {\ frac {d_ {Y} (f (x), f (x '))} {d_ {X} (x, x')}}}}$

er ensartet afgrænset til alle par ( x , x ') afgrænset væk fra diagonalen i X x X . Funktionerne med sidstnævnte egenskab udgør en særlig underklasse af de ensartet kontinuerlige funktioner, som vi i det følgende omtaler som de særlige ensartet kontinuerlige funktioner. Real-værdsat specielle ensartet kontinuerte funktioner på det metriske rum X kan også karakteriseres som mængden af alle funktioner, der er restriktioner på X for ensartet kontinuerte funktioner end nogen Normeret plads isometrisk indeholder X . Ligeledes kan den karakteriseres som en ensartet lukning af Lipschitz funktionerne på X .

Formel definition

Formelt er et kontinuitetsmodul enhver stigende real-udvidet værdifunktion ω: [0, ∞] → [0, ∞], forsvinder ved 0 og kontinuerlig ved 0, det vil sige

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to 0} \ omega (t) = \ omega (0) = 0.}$

Kontinuitetsmoduler bruges hovedsageligt til at give en kvantitativ redegørelse både for kontinuiteten på et punkt og for den ensartede kontinuitet for funktioner mellem metriske rum i henhold til de følgende definitioner.

En funktion f  : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) indrømmer ω som (lokal) kontinuitetsmodul ved punktet x i X, hvis og kun hvis,

${\ displaystyle \ forall x '\ i X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ leq \ omega (d_ {X} (x, x ')).}$

Også, f indrømmer Q som (global) modul på kontinuitet hvis og kun hvis,

${\ displaystyle \ forall x, x '\ in X: d_ {Y} (f (x), f (x')) \ leq \ omega (d_ {X} (x, x ')).}$

Man siger tilsvarende, at ω er et kontinuitetsmodul (hhv. Ved x ) for f , eller kort tid, f er ω-kontinuert (hhv. Ved x ). Her behandler vi hovedsageligt den globale forestilling.

Elementære fakta

• Hvis f har ω som kontinuitetsmodul og ω ₁ ≥ ω, indrømmer f ω ₁ også som kontinuitetsmodul.
• Hvis f  : X → Y og g  : Y → Z er funktioner mellem metriske rum med moduli henholdsvis ω ₁ og ω _2, har sammensætningskortet modul for kontinuitet .${\ displaystyle g \ circ f: X \ til Z}$${\ displaystyle \ omega _ {2} \ circ \ omega _ {1}}$
• Hvis f og g er funktioner fra det metriske rum X til Banach -rummet Y , med moduli henholdsvis ω ₁ og ω ₂ , så har enhver lineær kombination af + bg kontinuitetsmodul | a | ω ₁ +| b | ω ₂ . Især sættet af alle funktioner fra X til Y, der har ω som kontinuitetsmodul, er en konveks delmængde af vektorrummet C ( X , Y ), lukket under punktvis konvergens .
• Hvis f og g er afgrænsede reelt værdsatte funktioner på det metriske rum X , med moduli henholdsvis ω ₁ og ω ₂ , så har det punktvise produkt fg modul for kontinuitet .${\ displaystyle \ | g \ | _ {\ infty} \ omega _ {1}+\ | f \ | _ {\ infty} \ omega _ {2}}$
• Hvis er en familie af reelt værdsatte funktioner på det metriske rum X med fælles kontinuitetsmodul ω, så er henholdsvis den underordnede konvolut , den overlegne konvolut , en reelt værdsat funktion med kontinuitetsmodul ω, forudsat at den er endelig værdsat til hvert punkt. Hvis ω er real-værdsat, er det tilstrækkeligt, at kuverten være begrænset på et tidspunkt af X i det mindste.${\ displaystyle \ {f _ {\ lambda} \} _ {\ lambda \ in \ Lambda}}$${\ displaystyle \ inf _ {\ lambda \ in \ Lambda} f _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ sup _ {\ lambda \ in \ Lambda} f _ {\ lambda}}$

Bemærkninger

• Nogle forfattere kræver ikke monotonicitet, og nogle kræver yderligere egenskaber som ω at være kontinuerlig. Men hvis f indrømmer et kontinuitetsmodul i den svagere definition, indrømmer det også et kontinuitetsmodul, der er stigende og uendeligt differentieret i] 0, ∞ [. For eksempel,

${\ displaystyle \ omega _ {1} (t): = \ sup _ {s \ leq t} \ omega (s)}$er stigende, og ω ₁ ≥ ω;

${\ displaystyle \ omega _ {2} (t): = {\ frac {1} {t}} \ int _ {t}^{2t} \ omega _ {1} (s) ds}$er også kontinuerlig, og ω ₂ ≥ ω ₁ ,

og en passende variant af den foregående definition gør også ω ₂ uendeligt differentierbare i] 0, ∞ [.

• Enhver ensartet kontinuerlig funktion indrømmer et minimalt kontinuitetsmodul ω _f , der undertiden omtales som det (optimale) kontinuitetsmodul for f :

${\ displaystyle \ omega _ {f} (t): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')): x \ i X, x' \ i X, d_ {X} (x, x ') \ leq t \}, \ quad \ forall t \ geq 0.}$

Tilsvarende indrømmer enhver funktion kontinuerlig ved punktet x et minimalt modul for kontinuitet ved x , ω _f ( t ; x ) ( det (optimale) modul for kontinuitet af f ved x ):

${\ displaystyle \ omega _ {f} (t; x): = \ sup \ {d_ {Y} (f (x), f (x ')): x' \ i X, d_ {X} (x, x ') \ leq t \}, \ quad \ forall t \ geq 0.}$

Disse begrænsede forestillinger er imidlertid ikke så relevante, for i de fleste tilfælde kunne det optimale modul f ikke beregnes eksplicit, men kun afgrænset ovenfra (af et modul for kontinuitet af f). Desuden vedrører hovedegenskaberne ved modulets kontinuitet direkte den ubegrænsede definition.

• Generelt skal kontinuitetsmodulet for en ensartet kontinuerlig funktion på et metrisk rum tage værdien +∞. For eksempel er funktionen f  : N → N sådan, at f ( n ): = n ² er ensartet kontinuerlig i forhold til den diskrete metrik på N , og dens minimale kontinuitetsmodul er ω _f ( t ) = +∞ for enhver t ≥1 og ω _f ( t ) = 0 ellers. Situationen er imidlertid en anden for ensartet kontinuerlige funktioner defineret på kompakte eller konvekse undersæt af normerede rum.

Særlige moduler for kontinuitet

Særlige moduler af kontinuitet afspejler også visse globale egenskaber ved funktioner såsom forlængelighed og ensartet tilnærmelse. I dette afsnit behandler vi hovedsageligt moduler af kontinuitet, der er konkave eller subadditive eller ensartet kontinuerlige eller sublinære. Disse egenskaber er i det væsentlige ækvivalente, idet hver af følgende for et modul ω (mere præcist, dens begrænsning på [0, ∞ [) indebærer det følgende:

• ω er konkav;
• ω er underadditiv;
• ω er ensartet kontinuerlig;
• ω er sublinær, det vil sige, at der er konstanter a og b sådan, at ω ( t ) ≤ ved + b for alle t ;
• ω domineres af et konkavt modul, det vil sige, at der findes et konkavt kontinuitetsmodul, således at for alle t .${\ displaystyle {\ tilde {\ omega}}}$${\ displaystyle \ omega (t) \ leq {\ tilde {\ omega}} (t)}$

Således er det for en funktion f mellem metriske rum ækvivalent at indrømme et kontinuitetsmodul, der enten er konkavt eller subadditivt eller ensartet kontinuerligt eller sublinært. I dette tilfælde kaldes funktionen f undertiden et særligt ensartet kontinuerligt kort. Dette er altid tilfældet i tilfælde af enten kompakte eller konvekse domæner. Faktisk indrømmer et ensartet kontinuerligt kort f  : C → Y defineret på et konveks sæt C af et normeret rum E altid et subadditivt modul for kontinuitet; især værdiansat som funktion ω: [0, ∞ [→ [0, ∞ [. Det er faktisk øjeblikkeligt at kontrollere, at det optimale kontinuitetsmodul ω _{f, der er} defineret ovenfor, er subadditiv, hvis domænet f er konveks: vi har for alle s og t :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ omega _ {f} (s+t) & = \ sup _ {| x-x '| \ leq t+s} d_ {Y} (f (x), f ( x ')) \\ & \ leq \ sup _ {| x-x' | \ leq t+s} \ venstre \ {d_ {Y} \ venstre (f (x), f \ venstre (xt {\ frac { x-x '} {| x-x' |}} \ højre) \ højre)+d_ {Y} \ venstre (f \ venstre (xt {\ frac {x-x '} {| x-x' |} } \ right), f (x ') \ right) \ right \} \\ & \ leq \ omega _ {f} (t)+\ omega _ {f} (s). \ end {align}}}$

Bemærk, at enhver ensartet kontinuerlig funktion på en konveks delmængde af et normeret rum som en umiddelbar konsekvens har en sublinær vækst: der er konstanter a og b, således at | f ( x ) | ≤ a | x |+ b for alle x . Imidlertid indrømmer en ensartet kontinuerlig funktion på et generelt metrisk rum et konkavt kontinuitetsmodul, hvis og kun hvis forholdene er ensartet afgrænset for alle par ( x , x ′) med afstand afgrænset væk fra nul; denne betingelse er bestemt opfyldt af enhver afgrænset ensartet kontinuerlig funktion; derfor især ved enhver kontinuerlig funktion på et kompakt metrisk rum. ${\ displaystyle d_ {Y} (f (x), f (x '))/d_ {X} (x, x')}$

Sublinære moduler og afgrænsede forstyrrelser fra Lipschitz

Et sublineart modul for kontinuitet kan let findes for enhver ensartet kontinuerlig funktion, som er en afgrænset forstyrrelse af en Lipschitz -funktion: hvis f er en ensartet kontinuerlig funktion med kontinuitetsmodul ω, og g er en k Lipschitz -funktion med ensartet afstand r fra f , så indrømmer f det sublinære modul for kontinuitet min {ω ( t ), 2 r + kt }. Omvendt, i hvert fald for reelt værdsatte funktioner, er enhver særlig ensartet kontinuerlig funktion en afgrænset, ensartet kontinuerlig forstyrrelse af en eller anden Lipschitz-funktion; mere er sandt som vist nedenfor (Lipschitz -tilnærmelse).

Subadditive moduler og udvidelsesmuligheder

Ovenstående egenskab for ensartet kontinuerlig funktion på konvekse domæner indrømmer en slags omvendt i det mindste i tilfælde af reelle værdifunktioner: det vil sige hver særlig ensartet kontinuerlig realværdifunktion f  : X → R defineret på et metrisk rum X , som er et metrisk underrum af et normeret rum E , indrømmer udvidelser over E, der bevarer ethvert subadditivt modul ω på f . Den mindste og den største af sådanne udvidelser er henholdsvis:

${\ displaystyle {\ begin {justeret} f _ {*} (x) &: = \ sup _ {y \ i X} \ venstre \ {f (y)-\ omega (| xy |) \ højre \}, \ \ f^{*} (x) &: = \ inf _ {y \ i X} \ venstre \ {f (y)+\ omega (| xy |) \ højre \}. \ slut {justeret}}}$

Som bemærket er ethvert subadditivt modul for kontinuitet ensartet kontinuerligt: ​​det indrømmer faktisk sig selv som et modul for kontinuitet. Derfor er f _∗ og f* henholdsvis ringere og overlegne konvolutter af ω-kontinuerlige familier; derfor stadig ω-kontinuerlig. I øvrigt ved at Kuratowski indlejrer ethvert metrisk rum isometrisk til en delmængde af et normeret rum. Derfor er særlige ensartet kontinuerlige realværdifunktioner i det væsentlige begrænsningerne for ensartet kontinuerlige funktioner på normerede rum. Især denne konstruktion giver et hurtigt bevis på Tietze -forlængelsessætningen på kompakte metriske rum. For kortlægninger med værdier i mere generelle Banach -rum end R er situationen imidlertid ganske mere kompliceret; det første ikke-trivielle resultat i denne retning er Kirszbraun-sætningen .

Konkave moduli og Lipschitz -tilnærmelse

Hver særlig ensartet kontinuerlig realværdi-funktion f  : X → R defineret på det metriske rum X er ensartet tilnærmet ved hjælp af Lipschitz-funktioner. Desuden er konvergenshastigheden med hensyn til Lipschitz -konstanterne i tilnærmelserne strengt relateret til modulet for kontinuitet af f . Lad nøjagtigt være det minimale konkave modul for kontinuitet af f , hvilket er

${\ displaystyle \ omega (t) = \ inf {\ big \ {} ved+b \,: \, a> 0, \, b> 0, \, \ forall x \ i X, \, \ forall x ' \ i X \, \, | f (x) -f (x ') | \ leq annonce (x, x')+b {\ big \}}.}$

Lad δ ( s ) være den ensartede afstand mellem funktionen f og sættet Lip _s af alle Lipschitz reelle funktioner på C har Lipschitz konstant s  :

${\ displaystyle \ delta (s): = \ inf {\ big \ {} \ | fu \ | _ {\ infty, X} \,: \, u \ in \ mathrm {Lip} _ {s} {\ big \}} \ leq +\ infty.}$

Derefter kan funktionerne ω ( t ) og δ ( s ) relateres til hinanden via en Legendre -transformation : mere præcist funktionerne 2δ ( s ) og −ω ( - t ) (passende udvidet til +∞ uden for deres endelighedens domæner ) er et par konjugerede konvekse funktioner, for

${\ displaystyle 2 \ delta (s) = \ sup _ {t \ geq 0} \ left \ {\ omega (t) -st \ right \},}$

${\ displaystyle \ omega (t) = \ inf _ {s \ geq 0} \ left \ {2 \ delta (s)+st \ right \}.}$

Da ω ( t ) = o (1) for t → 0 ⁺ , følger det, at δ ( s ) = o (1) for s → + ∞, betyder det præcist, at f er ensartet tilnærmelig ved Lipschitz -funktioner. Tilsvarende gives en optimal tilnærmelse af funktionerne

${\ displaystyle f_ {s}: = \ delta (s)+\ inf _ {y \ i X} \ {f (y)+sd (x, y) \}, \ quad \ mathrm {for} \ s \ i \ mathrm {dom} (\ delta):}$

hver funktion f _s har Lipschitz konstant s og

${\ displaystyle \ | f-f_ {s} \ | _ {\ infty, X} = \ delta (s);}$

faktisk er det den største s -Lipschitz -funktion, der indser afstanden δ ( s ). For eksempel karakteriseres de α-Hölder reelle værdsatte funktioner på et metrisk rum som de funktioner, der kan ensartes tilnærmes af s- Lipschitz-funktioner med konvergenshastighed, mens de næsten Lipschitz-funktioner er karakteriseret ved en eksponentiel konvergenshastighed${\ displaystyle O (s^{-{\ frac {\ alpha} {1- \ alpha}}}),}$${\ displaystyle O (e^{-as}).}$

Eksempler på brug

• Lad f  : [ a , b ] → R en kontinuerlig funktion. I beviset på, at f er Riemann -integrerbar , afgrænser man normalt afstanden mellem den øvre og nedre Riemann -sum med hensyn til Riemann -partitionen P  : = { t ₀ , ..., t _n } i form af kontinuitetsmodulet for f og masken i partitionen P (som er tallet ) ${\ displaystyle \ scriptstyle | P |: = \ max _ {0 \ leq i <n} (t_ {i+1} -t_ {i})}$

  ${\ displaystyle S^{*} (f; P) -S _ {*} (f; P) \ leq (ba) \ omega (| P |).}$

• For et eksempel på brug i Fourier -serien, se Dini -test .

Historie

Steffens (2006, s. 160) tilskriver den første anvendelse af omega til kontinuitetsmodulet til Lebesgue (1909, s. 309/s. 75), hvor omega refererer til oscillationen af ​​en Fouriertransformation. De la Vallée Poussin (1919, s. 7-8) nævner både navne (1) "kontinuitetsmodul" og (2) "oscillationsmodul" og slutter derefter "men vi vælger (1) at henlede opmærksomheden på den anvendelse, vi vil klare det ".

Oversættelsesgruppen for L ^p -funktioner og kontinuitetsmoduler L ^p .

Lad 1 ≤ p ; lad f  : R ⁿ → R en funktion af klasse L ^p , og lad h ∈ R ⁿ . Den h - oversættelse af f , den funktion defineret ved (τ _h f ) ( x ): = f ( x - h ), hører til L ^p klasse; i øvrigt, hvis 1 ≤ p <∞, så som ǁ h ǁ → 0 har vi:

${\ displaystyle \ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} = o (1).}$

Derfor, da oversættelser faktisk også er lineære isometrier

${\ displaystyle \ | \ tau _ {v+h} f- \ tau _ {v} f \ | _ {p} = o (1),}$

som ǁ h ǁ → 0, ensartet på v ∈ R ⁿ .

Med andre ord definerer kortet h → τ _h en stærkt kontinuerlig gruppe af lineære isometrier af L ^p . I tilfælde p = ∞ holder ovenstående egenskab generelt ikke: Faktisk reduceres den nøjagtigt til den ensartede kontinuitet og definerer de ensartede kontinuerlige funktioner. Dette fører til følgende definition, der generaliserer forestillingen om et kontinuitetsmodul for de ensartet kontinuerlige funktioner: et kontinuitetsmodul L ^p for en målbar funktion f  : X → R er et kontinuitetsmodul ω: [0, ∞] → [0, ∞] sådan

${\ displaystyle \ | \ tau _ {h} ff \ | _ {p} \ leq \ omega (h).}$

Denne måde, moduli af kontinuitet også give et kvantitativt hensyn til kontinuiteten ejendom deles af alle L ^p -funktioner.

Modul for kontinuitet i højere ordrer

Det kan ses, at den formelle definition af modulet anvender begrebet begrænset forskel i første orden:

${\ displaystyle \ omega _ {f} (\ delta) = \ omega (f, \ delta) = \ sup \ limit _ {x; | h | <\ delta;} \ venstre | \ Delta _ {h} (f , x) \ højre |.}$

Hvis vi erstatter denne forskel med en forskel i rækkefølge n , får vi et modul af kontinuitet i rækkefølge n :

${\ displaystyle \ omega _ {n} (f, \ delta) = \ sup \ limit _ {x; | h | <\ delta;} \ venstre | \ Delta _ {h}^{n} (f, x) \ højre |.}$

Se også

• Konstruktiv analyse
• Konvergensmodul

Referencer

• Choquet, G. (1964). Cours D'Analyse. Tome II, Topologie (på fransk). Paris: Masson et C ^ie .
• Efimov, AV (2001) [1994], "Continuity, modulus of" , Encyclopedia of Mathematics , Springer, ISBN 1-4020-0609-8
• Lebesgue, H. (1909). "Sur les intégrales singulières". Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse. 3 . s. 25–117. Mangler eller er tom |title=( hjælp ) Gengivet i: Lebesgue, Henri. Scientuvres scientifiques (på fransk). 3 . s. 259–351.
• Poussin, Ch. de la Vallée (1952). L'approximation des fonctions d'une variable réelle (på fransk) (Genoptryk af 1919 red.). Paris: Gauthier-Villars.
• Benyamini, Y; Lindenstrauss, J (1998). Geometrisk ikke -lineær funktionsanalyse: bind 1 (Colloquium Publications, bind 48, red.). Providence, RI: American Mathematical Soc.
• Steffens, K.-G. (2006). Tilnærmelse teoriens historie . Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4353-2.