Kompleks stråleparameter - Complex beam parameter

I optik er den komplekse stråleparameter et komplekst tal, der specificerer egenskaberne for en Gaussisk stråle ved et bestemt punkt z langs bjælkens akse. Det betegnes normalt med q . Det kan beregnes ud fra strålens vakuum bølgelængde λ ₀ , den krumningsradius R af fasefronten , den brydningsindeks n ( n = 1 for luft), og bjælken radius w (defineret ved 1 / e ² intensitet), ifølge:

${\ displaystyle {\ frac {1} {q (z)}} = {\ frac {1} {R (z)}} - {\ frac {i \ lambda _ {0}} {\ pi nw (z) ^ {2}}}}$ .

Alternativt kan q beregnes i henhold til

${\ displaystyle q (z) = z + {\ frac {i \ pi nw_ {0} ^ {2}} {\ lambda _ {0}}} = z + z _ {\ mathrm {R}} i \,}$

hvor z er det sted, hvor q beregnes, i forhold til placeringen af bjælketaljen , z _R er Rayleigh-området , og i er den imaginære enhed .

Stråleformering

Den komplekse stråleparameter bruges normalt i stråleoverførselsmatrixanalyse , som tillader beregning af stråleegenskaberne på et hvilket som helst givet punkt, når den spredes gennem et optisk system, hvis strålematrixen og den indledende komplekse stråleparameter er kendt. Den samme metode kan også bruges til at finde den grundlæggende tilstandsstørrelse for en stabil optisk resonator .

I betragtning af den indledende stråleparameter, q _i , kan man bruge stråleoverførselsmatrixen til et optisk system , til at finde den resulterende stråleparameter, q _f , efter at strålen har krydset systemet: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle q_ {f} = {\ frac {Aq_ {i} + B} {Cq_ {i} + D}}}$ .

Det er ofte praktisk at udtrykke denne ligning med hensyn til gensidighed af q :

${\ displaystyle {1 \ over q_ {f}} = {\ frac {C + D / q_ {i}} {A + B / q_ {i}}}}$ .

Udbredelse af fri plads

Effekten af ​​udbredelse i frit rum er netop at tilføje den tilbagelagte aksiale afstand A z til den komplekse stråleparameter:

${\ displaystyle q_ {f} = q_ {i} + \ Delta z}$ .

Grænseflader

For enkle astigmatiske grundlæggende gaussiske stråler er q-parametrene for de tangentielle og sagittale plan uafhængige . Dette gælder ikke længere, hvis disse planer ikke falder sammen med hovedretningen på overfladen, som bjælken berører; denne sag kaldes generel astigmatisme . Formler for en indfaldsvinkel θ _i blev afledt i Massey og Siegmans papir fra 1969.

Til refleksion læser ABCD- matricerne:

${\ displaystyle {\ begin {align} M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {2} {R_ {I} \ cos \ theta _ {i}}} & 1 \ end {pmatrix }}, & M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {2 \ cos \ theta _ {i}} {R_ {S}}} & 1 \ end {pmatrix}}. \ End { justeret}}}$

Dem til brydning er:

${\ displaystyle {\ begin {align} M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}} } {n_ {r} \ cos \ theta _ {i}}} & 0 \\ {\ frac {\ cos \ theta _ {i} - {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2 } \ theta _ {i}}}} {R_ {I} \ cos \ theta _ {i} {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}} }} og {\ frac {\ cos \ theta _ {i}} {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}}} \ end {pmatrix}} , & M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {\ cos \ theta _ {i} - {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}}} {R_ {S} n_ {r}}} og {1 \ over n_ {r}} \ end {pmatrix}}. \ end {justeret}}}$

Grundlæggende tilstand for en optisk resonator

For at finde den komplekse stråleparameter for en stabil optisk resonator skal man finde strålematricen i hulrummet. Dette gøres ved at spore bjælkens sti i hulrummet. Antages et startpunkt, find matrixen, der går gennem hulrummet, og vend tilbage, indtil strålen er i samme position og retning som startpunktet. Med denne matrix og ved at lave q _i = q _f dannes en kvadratisk som:

${\ displaystyle C {q_ {f}} ^ {2} + (DA) q_ {f} -B = 0}$ .

Løsning af denne ligning giver stråleparameteren for den valgte startposition i hulrummet, og ved at udbrede kan stråleparameteren for ethvert andet sted i hulrummet findes.

Referencer

• Kochkina, Evgenia (2013). Stigmatiske og astigmatiske Gaussiske stråler i grundlæggende tilstand: indvirkning af valg af strålemodel på estimater for interferometrisk vejlængdesignal (PhD). Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover.