Komplexní parametr paprsku - Complex beam parameter

V optice je parametr komplex paprsek je komplexní číslo , které určuje vlastnosti Gaussova svazku na určitém místě z podél osy nosníku. Obvykle se označuje q . Lze jej vypočítat z vakuové vlnové délky paprsku λ ₀ , poloměru zakřivení R přední strany fáze , indexu lomu n ( n = 1 pro vzduch) a poloměru paprsku w (definované při intenzitě 1 / e ² ), podle:

${\ displaystyle {\ frac {1} {q (z)}} = {\ frac {1} {R (z)}} - {\ frac {i \ lambda _ {0}} {\ pi nw (z) ^ {2}}}}$ .

Alternativně lze q vypočítat podle

${\ displaystyle q (z) = z + {\ frac {i \ pi nw_ {0} ^ {2}} {\ lambda _ {0}}} = z + z _ {\ mathrm {R}} i \,}$

kde z je místo, kde se počítá q , relativně k umístění pasu paprsku , z _R je Rayleighův rozsah a i je imaginární jednotka .

Šíření paprsku

Parametr komplexního paprsku se obvykle používá při analýze matice přenosu paprsků , která umožňuje výpočet vlastností paprsku v jakémkoli daném bodě při jeho šíření optickým systémem, pokud je známa matice paprsku a počáteční parametr komplexního paprsku. Stejnou metodu lze také použít k nalezení velikosti základního režimu stabilního optického rezonátoru .

Vzhledem k tomu, počáteční parametr paprsek, q _i , lze použít pro přenos paprsku matice optického systému , najít parametr výsledný paprsku, q _f , poté paprsek prošlo systém: ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}$

${\ displaystyle q_ {f} = {\ frac {Aq_ {i} + B} {Cq_ {i} + D}}}$ .

Často je vhodné tuto rovnici vyjádřit pomocí převrácených hodnot q :

${\ displaystyle {1 \ over q_ {f}} = {\ frac {C + D / q_ {i}} {A + B / q_ {i}}}}$ .

Šíření volného prostoru

Účinek šíření ve volném prostoru je pouze ten, že se k parametru komplexního paprsku přidá ujetá osová vzdálenost Δ z :

${\ displaystyle q_ {f} = q_ {i} + \ Delta z}$ .

Rozhraní

U jednoduchých astigmatických základních Gaussových paprsků jsou parametry q pro tangenciální a sagitální roviny nezávislé . To již není pravda, pokud se tyto roviny neshodují s hlavním směrem povrchu, na který paprsek naráží; ten případ se nazývá obecný astigmatismus . Vzorce pro úhel dopadu θ _i byly odvozeny v článku Masseyho a Siegmana z roku 1969.

Pro reflexi matice ABCD zní:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {2} {R_ {I} \ cos \ theta _ {i}}} & 1 \ end {pmatrix }}, & M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {2 \ cos \ theta _ {i}} {R_ {S}}} & 1 \ end {pmatrix}}. \ End { zarovnaný}}}$

Ty pro lom jsou:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}} } {n_ {r} \ cos \ theta _ {i}}} a 0 \\ {\ frac {\ cos \ theta _ {i} - {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2 } \ theta _ {i}}}} {R_ {I} \ cos \ theta _ {i} {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}} }} & {\ frac {\ cos \ theta _ {i}} {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}}} \ end {pmatrix}} , & M_ {t} & = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ {\ frac {\ cos \ theta _ {i} - {\ sqrt {n_ {r} ^ {2} - \ sin ^ {2} \ theta _ {i}}}} {R_ {S} n_ {r}}} a {1 \ over n_ {r}} \ end {pmatrix}}. \ end {zarovnáno}}}$

Základní režim optického rezonátoru

Chcete-li najít komplexní parametr paprsku stabilního optického rezonátoru , musíte najít matici paprsků dutiny. To se provádí sledováním dráhy paprsku v dutině. Za předpokladu počátečního bodu najděte matici, která prochází dutinou, a vraťte se, dokud paprsek není ve stejné poloze a směru jako výchozí bod. S touto maticí a vytvořením q _i = q _f vznikne kvadratický tvar jako:

${\ displaystyle C {q_ {f}} ^ {2} + (DA) q_ {f} -B = 0}$ .

Řešení této rovnice dá parametr paprsku pro zvolenou počáteční pozici v dutině a šířením lze najít parametr paprsku pro jakékoli jiné místo v dutině.

Reference

• Kochkina, Evgenia (2013). Stigmatické a astigmatické Gaussovy paprsky v základním režimu: dopad volby modelu paprsku na odhady signálu interferometrické délky dráhy (PhD). Gottfried Wilhelm Leibniz Universität Hannover.