Alexandrov topologi - Alexandrov topology

I topologi er en Alexandrov-topologi en topologi , hvor skæringspunktet mellem enhver familie af åbne sæt er åbent. Det er et aksiom af topologi, at skæringspunktet for enhver begrænset familie af åbne sæt er åben; i Alexandrov-topologier bortfalder den begrænsede begrænsning.

Et sæt sammen med en Alexandrov-topologi er kendt som et Alexandrov-diskret rum eller endeligt genereret rum .

Alexandrov-topologier bestemmes entydigt af deres specialforudbestillinger . Faktisk, givet enhver forudbestilling ≤ på et sæt X , er der en unik Alexandrov-topologi på X, hvor specialforudbestillingen er ≤. De åbne sæt er kun de øverste sæt med hensyn til ≤. Således Alexandrov topologier på X er i en-til-en overensstemmelse med forudbestillinger på X .

Alexandrov-diskrete rum kaldes også endeligt genererede rum, da deres topologi bestemmes entydigt af familien til alle endelige underrum. Alexandrov-diskrete rum kan således ses som en generalisering af endelige topologiske rum .

På grund af det faktum, at omvendte billeder pendler med vilkårlige fagforeninger og kryds, bevares ejendommen ved at være et Alexandrov-diskret rum under kvotienter .

Alexandrov-diskrete rum er opkaldt efter den russiske topolog Pavel Alexandrov . De bør ikke forveksles med de mere geometriske Alexandrov-rum introduceret af den russiske matematiker Aleksandr Danilovich Aleksandrov .

Karakteriseringer af Alexandrov topologier

Alexandrov-topologier har adskillige karakteriseringer. Lad X = < X , T > være et topologisk rum. Så er følgende ækvivalente:

• Åbne og lukkede sæt karakteriseringer:
  • Åbn sæt. En vilkårlig krydsning af åbne sæt i X er åben.
  • Lukket sæt. En vilkårlig forening af lukkede sæt i X lukkes.
• Kvarter karakteriseringer:
  • Mindste kvarter. Hvert punkt i X har et mindste kvarter .
  • Kvarter filter. Den nabolaget filter af hvert punkt i X er lukket under vilkårlige kryds.
• Interiør og lukning algebraiske karakteriseringer:
  • Interiør operatør. Den indre operatør af X distribuerer over vilkårlige skæringspunkter i delmængder.
  • Lukningsoperatør. Den lukningen operatør af X distribuerer mere end vilkårlige fagforeninger af delmængder.
• Forudbestil karakteriseringer:
  • Forudbestilling af specialisering. T er den fineste topologi overensstemmelse med specialisering preorder af X dvs. fineste topologi giver preorder ≤ opfylder x ≤ y hvis og kun hvis x er i lukningen af { y } i X .
  • Åbn sæt. Der er en forudbestilling ≤ sådan at de åbne sæt af X er nøjagtigt dem, der er lukket opad, dvs. hvis x er i sættet og x ≤ y, så er y i sættet. (Denne forudbestilling er netop specialforudbestillingen.)
  • Lukket ned-sæt. Der er en forudbestilling ≤ sådan at de lukkede sæt af X er nøjagtigt dem, der er lukket nedad, dvs. hvis x er i sættet og y ≤ x, så er y i sættet. (Denne forudbestilling er netop specialforudbestillingen.)
  • Nedadgående lukning. Et punkt x ligger i lukningen af ​​en delmængde S af X, hvis og kun hvis der er et punkt y i S, således at x ≤ y hvor ≤ er specialiseringsforudbestillingen, dvs. x ligger i lukningen af ​​{ y }.
• Endelig generation og kategoritet teoretiske karakteriseringer:
  • Endelig lukning. Et punkt x ligger inden lukningen af en delmængde S af X , hvis og kun hvis der er en begrænset delmængde F af S , således at x ligger i lukningen af F . (Denne endelige delmængde kan altid vælges til at være en singleton.)
  • Endeligt underrum. T er hænge sammen med de begrænsede underrum af X .
  • Endeligt inklusionskort. Inkluderingskortene f _i  : X _i → X af de endelige underrum af X danner en endelig vask .
  • Endelig generation. X genereres endeligt, dvs. det er i det endelige skrog af de endelige rum. (Dette betyder, at der er en endelig vask f _i  : X _i → X, hvor hver X _i er et endeligt topologisk rum.)

Topologiske rum, der tilfredsstiller ovennævnte ækvivalente karakteriseringer, kaldes endeligt genererede rum eller Alexandrov-diskrete rum, og deres topologi T kaldes en Alexandrov-topologi .

Ækvivalens med forudbestilte sæt

Alexandrov-topologien på et forudbestilt sæt

Med et forudbestilt sæt kan vi definere en Alexandrov-topologi på X ved at vælge de åbne sæt til at være de øverste sæt : ${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ langle X, \ leq \ rangle}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle \ tau = \ {\, G \ subseteq X: \ forall x, y \ i X \ \ (x \ i G \ \ land \ x \ leq y) \ rightarrow \ y \ i G \, \ }}$

Vi opnår således et topologisk rum . ${\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {X}) = \ langle X, \ tau \ rangle}$

De tilsvarende lukkede sæt er de nederste sæt :

${\ displaystyle \ {\, S \ subseteq X: \ forall x, y \ i X \ \ (x \ i S \ \ land \ y \ leq x) \ \ rightarrow \ y \ i S \, \}}$

Specialiseringen forudbestilles på et topologisk rum

Givet et topologisk rum X = < X , T > er specialforudbestilling på X defineret af:

x ≤ y hvis og kun hvis x er i lukningen af ​​{ y }.

Vi opnår således et forudbestilt sæt W ( X ) = < X , ≤>.

Ækvivalens mellem forudbestillinger og Alexandrov-topologier

For hvert forudbestilt sæt X = < X , ≤> har vi altid W ( T ( X )) = X , dvs. forudbestilling af X genvindes fra det topologiske rum T ( X ) som specialforudbestilling. Desuden for hver Alexandrov-diskrete rum X , vi har T ( W ( X )) = X , dvs. Alexandrov topologi X udvindes som topologien induceret af specialisering forudbestilling.

Men for en topologisk rum i almindelighed vi ikke har T ( W ( X )) = x . Snarere T ( W ( X )) vil være sættet X med en finere topologi end X (dvs. det vil have flere åbne sæt). Topologien af T ( W ( X )) inducerer den samme specialiseringsforudbestilling som den originale topologi af rummet X og er faktisk den fineste topologi på X med den egenskab.

Ækvivalens mellem monotonicitet og kontinuitet

Givet en monoton funktion

f  :  X → Y

mellem to forudbestilte sæt (dvs. en funktion

f  :  X → Y

mellem de underliggende sæt, således at x  ≤  y i X betyder f ( x ) ≤  f ( y ) i Y ), lad

T ( f ):  T ( X ) → T ( Y )

være det samme kort som f betragtes som et kort mellem de tilsvarende Alexandrov-mellemrum. Derefter er T ( f ) et kontinuerligt kort .

Omvendt givet et kontinuerligt kort

g :  X → Y

mellem to topologiske mellemrum, lad

W ( g ):  W ( X ) → W ( Y )

være det samme kort som f betragtes som et kort mellem de tilsvarende forudbestilte sæt. Derefter er W ( g ) en monoton funktion.

Således er et kort mellem to forudbestilte sæt monotone, hvis og kun hvis det er et kontinuerligt kort mellem de tilsvarende Alexandrov-diskrete rum. Omvendt er et kort mellem to Alexandrov-diskrete rum kontinuerligt, hvis og kun hvis det er en monotone funktion mellem de tilsvarende forudbestilte sæt.

Bemærk dog, at i tilfælde af andre topologier end Alexandrov-topologien kan vi have et kort mellem to topologiske rum, der ikke er kontinuerlige, men som alligevel stadig er en monotone funktion mellem de tilsvarende forudbestilte sæt. (For at se dette skal du overveje et ikke-Alexandrov-diskret rum X og overveje identitetskortet i  :  X → T ( W ( X )).)

Kategoriteknisk beskrivelse af ækvivalensen

Lad Set betegne kategorien sæt og kort . Lad Top betegne kategorien af ​​topologiske rum og kontinuerlige kort ; og lad Pro angive kategorien af forudbestilte sæt og monotone funktioner . Derefter

T  :  Pro → Top og

W  :  Top → Pro

er konkrete funktioner over Set, der er henholdsvis venstre og højre .

Lad Alx betegne den fulde underkategori af Top bestående af de Alexandrov-diskrete rum. Så begrænsningerne

T  :  Pro → Alx og

W  :  Alx → Pro

er omvendte konkrete isomorfier over Set .

Alx er i virkeligheden en Bico-reflekterende underkategori af Top med Bico-reflektor T ◦ W  :  Top → alx . Dette betyder, at givet et topologisk rum X , identitetskortet

i  :  T ( W ( X )) → X

er kontinuerlig og for hvert kontinuerligt kort

f  :  Y → X

hvor Y er et Alexandrov-diskret rum, kompositionen

i  ⁻¹ ◦ f  :  Y → T ( W ( X ))

er kontinuerlig.

Forholdet til konstruktionen af ​​modale algebraer fra modale rammer

Givet et forudbestilt sæt X , gives den indvendige operatør og lukningsoperatør af T ( X ) af:

Int ( S ) = { x  ∈ X: for alle y  ∈ X, x  ≤  y indebærer y  ∈ S}, og

Cl ( S ) = { x  ∈ X: der findes en y  ∈ S med x  ≤  y }

for alle S  ⊆  X.

I betragtning af, at den indvendige operatør og lukkeoperatør er modale operatører på det elektriske sæt boolske algebra af X , er denne konstruktion et specielt tilfælde af konstruktionen af ​​en modal algebra fra en modal ramme, dvs. fra et sæt med en enkelt binær relation . (Den sidstnævnte konstruktion er i sig selv et specielt tilfælde af en mere generel konstruktion af en kompleks algebra fra en relationel struktur, dvs. et sæt med relationer defineret på den.) Klassen af ​​modale algebraer, som vi opnår i tilfælde af et forudbestilt sæt, er klassen af indre algebraer - de algebraiske abstraktioner af topologiske rum.

Historie

Alexandrov-rum blev først introduceret i 1937 af PS Alexandrov under navnet diskrete rum , hvor han gav karakteriseringerne med hensyn til sæt og kvarterer. Navnet diskrete rum blev senere brugt til topologiske rum, hvor hver delmængde er åben, og det originale koncept lå glemt i den topologiske litteratur. På den anden side spillede Alexandrov-rum en relevant rolle i Øystein Ore banebrydende undersøgelser af lukningssystemer og deres forhold til gitterteori og topologi.

Med fremskridt inden for kategorisk topologi i 1980'erne blev Alexandrov-rum genopdaget, da begrebet endelig generation blev anvendt på generel topologi, og navnet endeligt genererede rum blev vedtaget for dem. Alexandrov-rum blev også genopdaget omkring samme tid i sammenhæng med topologier som følge af denotationssemantik og domæne teori inden for datalogi .

I 1966 Michael C. McCord og AK Steiner hver uafhængigt observeret ækvivalens mellem delvist bestilt sæt og rum, der var præcis de T ₀ versioner af rum, Alexandrov havde indført. PT Johnstone henviste til sådanne topologier som Alexandrov topologier . FG Arenas foreslog uafhængigt dette navn til den generelle version af disse topologier. McCord viste også, at disse rum er svag Homotopiteori svarende til ordre kompleks af den tilsvarende delvist ordnet sæt. Steiner viste, at ligestilling er en kontravariant gitter isomorfi bevare vilkårlige mødes og slutter samt komplementering.

Det var også et velkendt resultat inden for modalogik, at der eksisterer en ækvivalens mellem endelige topologiske rum og forudbestillinger på endelige sæt (de endelige modale rammer til modalogikken S4 ). A. Grzegorczyk bemærkede, at dette strakte sig til en ækvivalens mellem det, han omtalte som totalfordelingsrum og forudbestillinger. C. Naturman bemærkede, at disse rum var de Alexandrov-diskrete rum og udvidede resultatet til en kategoriteoretisk ækvivalens mellem kategorien af ​​Alexandrov-diskrete rum og (åbne) kontinuerlige kort og kategorien forudbestillinger og (afgrænsede) monotone kort, tilvejebringelse af forudbestillede karakteriseringer såvel som indvendige og algebraiske karakteriseringer.

En systematisk undersøgelse af disse rum ud fra den generelle topologi, som var blevet forsømt siden Alexandrovs originale papir blev taget op af FG Arenas.

Se også

• P- rum , et rum, der tilfredsstiller den svagere tilstand, at tællbare skæringspunkter for åbne sæt er åbne

Referencer