Afgrænset operatør - Bounded operator

I funktionsanalyse og operatorteori er en afgrænset lineær operator en lineær transformation mellem topologiske vektorrum (TVS'er), og som kortlægger afgrænsede undersæt af til afgrænsede undersæt af If og er normerede vektorrum (en særlig type TVS), derefter er afgrænset hvis og kun hvis der findes sådan noget for alle ${\ displaystyle L: X \ til Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle M> 0}$ ${\ displaystyle x \ i X,}$

{\ displaystyle \ | Lx \ | _ {Y} \ leq M \ | x \ | _ {X}.}

Den mindste sådan kaldes operatørnormen for og betegnes med

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle \ | L \ |.}

En afgrænset operator mellem normerede rum er kontinuerlig og omvendt.

Konceptet er blevet udvidet til visse "velopdragen" topologiske vektorrum.

I normerede vektorrum

Som en abstrakt funktion er en afgrænset lineær operator ikke afgrænset, medmindre den snarere er en sådan operator

lokalt afgrænset . Hver afgrænset operatør er Lipschitz-kontinuerlig kl

{\ displaystyle 0.}

{\ displaystyle 0.}

Ækvivalens mellem begrænsning og kontinuitet

En lineær operator mellem normerede rum er begrænset, hvis og kun hvis den er kontinuerlig .

Bevis

Antag, at det er afgrænset. Derefter har vi for alle vektorer med nul ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x, h \ in X}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle \ | L (x+h) -L (x) \ | = \ | L (h) \ | \ leq M \ | h \ |.}

At slippe nul viser, at der er kontinuerlig ved Desuden, da konstanten ikke afhænger af dette, viser det, at det faktisk er ensartet kontinuerligt og endda Lipschitz kontinuerligt .

{\ displaystyle {\ mathit {h}} \,}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle x.}

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle x,}

{\ displaystyle L}

Omvendt følger det kontinuitet ved nulvektor at der eksisterer en sådan, at for alle vektorer med Således, for alle ikke-nul man har ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ displaystyle \ | L (h) \ | = \ | L (h) -L (0) \ | \ leq 1}$ ${\ displaystyle h \ i X}$ ${\ displaystyle \ | h \ | \ leq \ delta.}$ ${\ displaystyle x \ i X,}$

{\ displaystyle \ | Lx \ | = \ left \ Vert {\ | x \ | \ over \ delta} L \ venstre (\ delta {x \ over \ | x \ |} \ right) \ right \ Vert = {\ | x \ | \ over \ delta} \ left \ Vert L \ left (\ delta {x \ over \ | x \ |} \ right) \ right \ Vert \ leq {\ | x \ | \ over \ delta} \ cdot 1 = {1 \ over \ delta} \ | x \ |.}

Dette beviser, at det er begrænset.

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle \ blacksquare}

I topologiske vektorrum

En lineær operator mellem to

topologiske vektorrum (TVSS) er lokalt afgrænset eller blot afgrænset hvis hver gang er afgrænset i derefter er afgrænset i en delmængde af en TVS er kaldes afgrænses (eller mere præcist, von Neumann afgrænset ) hvis hvert kvarter af oprindelseskriterierne absorberer det. I et normeret rum (og endda i et seminormet rum ) er en delmængde von Neumann afgrænset, hvis og kun hvis den er normbegrænset. Derfor er forestillingen om et von Neumann-afgrænset sæt for normerede rum identisk med den sædvanlige forestilling om et normbegrænset delmængde.

{\ displaystyle F: X \ til Y}

{\ displaystyle B \ subseteq X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle F (B)}

{\ displaystyle Y.}

Hver sekventielt kontinuerlige lineære operator mellem TVS er en afgrænset operator. Dette indebærer, at hver kontinuerlig lineær operator er afgrænset. Generelt behøver en afgrænset lineær operator mellem to TVS'er imidlertid ikke at være kontinuerlig.

Denne formulering gør det muligt at definere afgrænsede operatorer mellem generelle topologiske vektorrum som en operator, der tager afgrænsede sæt til afgrænsede sæt. I denne sammenhæng er det stadig rigtigt, at hvert kontinuerligt kort er afgrænset, men det modsatte fejler; en afgrænset operatør behøver ikke at være kontinuerlig. Det betyder klart også, at begrænsning ikke længere svarer til Lipschitz -kontinuitet i denne sammenhæng.

Hvis domænet er et bornologisk rum (f.eks. Et pseudometriiserbart TVS , et Fréchet -rum , et normeret rum ), så er en lineær operator til andre lokalt konvekse rum begrænset, hvis og kun hvis det er kontinuerligt. For LF -rum holder en svagere omvendt; ethvert afgrænset lineært kort fra et LF -rum er sekventielt kontinuerligt .

Bornologiske rum

Bornologiske rum er præcis de lokalt konvekse rum, for hvilke hver afgrænset lineær operator til et andet lokalt konveks rum nødvendigvis er kontinuerlig. Det vil sige, at et lokalt konveks TVS er et bornologisk rum, hvis og kun hvis en lineær operatør for hvert lokalt konvekse TVS er kontinuerlig, hvis og kun hvis den er afgrænset. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle F: X \ til Y}$

Hvert normeret rum er bornologisk.

Karakteriseringer af afgrænsede lineære operatorer

Lad os være en lineær operator mellem TVS'er (ikke nødvendigvis Hausdorff). Følgende er ækvivalente: ${\ displaystyle F: X \ til Y}$

${\ displaystyle F}$ er (lokalt) afgrænset;
(Definition): kortlægger afgrænsede undersæt af sit domæne til afgrænsede delmængder af dets kodomæne; ${\ displaystyle F}$
${\ displaystyle F}$ kortlægger afgrænsede undersæt af sit domæne til afgrænsede undersæt af dets billede ; ${\ displaystyle \ operatorname {Im} F: = F (X)}$
${\ displaystyle F}$ $F$ kortlægger hver nul -sekvens til en afgrænset sekvens;
- En null -sekvens er pr. Definition en sekvens, der konvergerer til oprindelsen.
- Således er ethvert lineært kort, der er sekventielt kontinuert ved oprindelsen, nødvendigvis et afgrænset lineært kort.
${\ displaystyle F}$ $F$ kortlægger hver Mackey -konvergent null -sekvens til en afgrænset delmængde af ${\ displaystyle Y.}$ $Y.$
- En sekvens siges at være

Mackey konvergent til oprindelsen i, hvis der eksisterer en divergerende sekvens med positivt reelt tal, således at det er en afgrænset delmængde af

{\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ venstre (x_ {i} \ højre) _ {i = 1}^{\ infty}}

${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle r _ {\ bullet} = \ venstre (r_ {i} \ højre) _ {i = 1}^{\ infty} \ to \ infty}

{\ displaystyle r _ {\ bullet} = \ venstre (r_ {i} x_ {i} \ højre) _ {i = 1}^{\ infty}}

{\ displaystyle X.}

og hvis der ud og bliver

lokalt konveks derefter følgende kan være add til denne liste:

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle Y}

${\ displaystyle F}$ kortlægger afgrænsede diske til afgrænsede diske.
${\ displaystyle F^{-1}}$ kort bornivorøse diske ind i bornivorøse diske i ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X.}$

og hvis derudover er et bornologisk rum og er lokalt konveks, kan følgende tilføjes til denne liste: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle F}$ er sekventielt kontinuerlig.
${\ displaystyle F}$ er sekventielt kontinuert ved oprindelsen.

Eksempler

Enhver lineær operator mellem to endelig-dimensionelle normerede rum er afgrænset, og en sådan operator kan ses som multiplikation med en fast matrix .
Enhver lineær operator defineret på et endelig-dimensionelt normeret rum er afgrænset.
På sekvensrummet til sidst nul sekvenser af reelle tal, betragtet med normen, er den lineære operator til de reelle tal, der returnerer summen af en sekvens, afgrænset med operatornorm 1. Hvis det samme rum betragtes som normen, er samme operatør er ikke begrænset. ${\ displaystyle c_ {00}}$ ${\ displaystyle \ ell ^{1}}$ ${\ displaystyle \ ell ^{\ infty}}$
Mange integrale transformationer er afgrænsede lineære operatorer. For eksempel hvis ${\ displaystyle K: [a, b] \ times [c, d] \ to \ mathbb {R}}$ er en kontinuerlig funktion, så er operatøren defineret på rummet af kontinuerlige funktioner på udstyret med den

ensartede norm og med værdier i rummet med givet ved formlen

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle C [a, b]}

{\ displaystyle [a, b]}

{\ displaystyle C [c, d]}

{\ displaystyle L}

{\ displaystyle (Lf) (y) = \ int _ {a}^{b} \! K (x, y) f (x) \, dx, \,}

er afgrænset. Denne operatør er faktisk kompakt . De kompakte operatører udgør en vigtig klasse af afgrænsede operatører.

The Laplace-operatoren

{\ displaystyle \ Delta: H ^{2} (\ mathbb {R} ^{n}) \ til L ^{2} (\ mathbb {R} ^{n}) \,}

(dets domæne er et Sobolev-rum, og det tager værdier i et rum med kvadratisk integrerbare funktioner ) er afgrænset.

Den skift operatør på Lp rum af alle

sekvenser af reelle tal med

{\ displaystyle \ ell ^{2}}

{\ displaystyle \ left (x_ {0}, x_ {2}, x_ {2}, \ ldots \ right)}

{\ displaystyle x_ {0}^{2}+x_ {1}^{2}+x_ {2}^{2}+\ cdots <\ infty, \,}

{\ displaystyle L (x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ dots) = \ left (0, x_ {0}, x_ {1}, x_ {2}, \ ldots \ right) \ ,}

er afgrænset. Dens operatørnorm ses let at være

{\ displaystyle 1.}

Ubegrænsede lineære operatorer

Lad være rummet for alle

trigonometriske polynomer på med normen

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle [-\ pi, \ pi],}

{\ displaystyle \ | P \ | = \ int _ {-\ pi}^{\ pi} \! | P (x) | \, dx.}

Den operatør, der tilknytter et polynom til dets

derivat, er ikke begrænset. Faktisk, for med vi har mens som sådan ikke er afgrænset.

{\ displaystyle L: X \ til X}

{\ displaystyle v_ {n} = e^{inx}}

{\ displaystyle n = 1,2, \ ldots,}

{\ displaystyle \ | v_ {n} \ | = 2 \ pi,}

{\ displaystyle \ | L (v_ {n}) \ | = 2 \ pi n \ to \ infty}

{\ displaystyle n \ to \ infty,}

{\ displaystyle L}

Egenskaber for rummet for afgrænsede lineære operatører

Pladsen for alle afgrænsede lineære operatører fra til er betegnet med og er et normeret vektorrum. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle B (X, Y)}$
Hvis er Banach, så er det også ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle B (X, Y).}$
hvoraf det følger, at dobbeltrum er Banach.
For enhver er kernen af et lukket lineært underrum af ${\ displaystyle A \ i B (X, Y),}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle X.}$
Hvis er Banach og er ikke -privat, så er Banach. ${\ displaystyle B (X, Y)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Se også

Afgrænset sæt (topologisk vektorrum)
Diskontinueret lineært kort
Kontinuerlig lineær operator
Norm (matematik) - Længde i et vektorrum
Normeret plads
Operatøralgebra - Gren af funktionel analyse
Operatørnorm - Måling af "størrelse" af lineære operatører
Operatør teori
Seminorm
Ubegrænset operatør
Topologisk vektorrum - Vektorrum med en forestilling om nærhed

Referencer

Bibliografi

"Bounded operator" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Kreyszig, Erwin: Indledende funktionsanalyse med applikationer , Wiley, 1989
Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiske vektorrum . Ren og anvendt matematik (Anden udgave). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Wilansky, Albert (2013). Moderne metoder i topologiske vektorrum . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

Languages

In other projects