Sexagesimální systém

Šestadesimální systém je systém pozičních číselných množin , který jako základ používá číslo 60. Má svůj původ ve starověké Mezopotámii , v sumerské civilizaci . Sexagesimální systém se používá především k měření časů (hodin, minut a sekund) a úhlů (stupňů).

Šestadesimální systém byl používán pouze formálně v numerických výpočtech, protože názvy čísel v sumerštině , akkadštině a dalších jazycích se neřídily vlastním šestisetzimním systémem, ale stejně jako číslice většiny světových jazyků měly jména založená na desítkové nebo vigezimální soustavě. ^{[ nutná citace ]}

Úvod

Číslo 60 má tu výhodu, že má mnoho faktorů, jako jsou: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60), což usnadňuje výpočet se zlomky . Všimněte si, že 60 je nejmenší číslo, které je dělitelné 1, 2, 3, 4, 5 a 6.

Použití čísla šedesát jako základu pro měření úhlů, souřadnic a měření času souvisí se starou astronomií a trigonometrií. Bylo běžné měřit úhel elevace hvězdy a trigonometrie používá pravoúhlé trojúhelníky. V dávných dobách byla to, co dnes nazýváme kladná celá čísla – kromě nuly – jedinými „bona fide“ čísly. Současná racionální čísla byla považována za poměry mezi celými čísly, protože převládající filozofie se uchýlila k proporci a zlomku, stručně řečeno, bylo proporcionální srovnání mezi dvěma segmenty celočíselných hodnot. To vše souvisí s tím, co nazýváme nejmenší společný násobek . Všechny celočíselné pravoúhlé trojúhelníky mají tu vlastnost, že součin jejich tří stran je vždy násobkem šedesáti. Pokud je jedna z větví prvočíslo , druhá je alespoň násobkem dvanácti a je násobkem šedesáti, pokud je přepona také prvočíslo. Není-li tam žádný prvočíslo, jedna větev je dělitelná třemi a druhá čtyřmi; kterákoli ze tří stran je násobkem pěti. Toto předposlední tvrzení má jako výjimku egyptský posvátný trojúhelník , který má prvočíslo a primární přeponu, ale složené rameno je násobkem čtyř: (3, 4, 5), ačkoli součin je šedesát. Další příklady trojúhelníků s primární větví a přeponou jsou: (11, 60, 61) a (71, 2520, 2521).

Pozůstatky sexagesimálního systému v měření času zůstávají . Den má 24 hodin , hodina 60 minut a minuta 60 sekund . Jednotky menší než jedna sekunda se měří pomocí desítkové soustavy .

Tento způsob výpočtu jednotek se používá také v typografii , kde jsou základní jednotky cicero nebo pica rozděleny do dvanácti bodů, které jsou samy rozděleny na desetiny bodu. Kromě historických důvodů, které mohly být u zrodu tohoto způsobu výpočtu velikosti tiskových typů a dalších prvků typografické kompozice, jako jsou sloupy, korandely nebo ulice, je důvodem jeho stálosti pohodlnost s dělením. na poloviny, čtvrtiny a třetiny lze mentálně vytvořit s celými typografickými body bez použití desetinných míst.

Pro vyjádření čísel v šestkové soustavě se dodržuje konvence, která spočívá v použití čísel desítkové soustavy (od 0 do 59), oddělených po dvou čárkami. K označení desetinné čárky by se použil středník v šesti letech . Například číslo 1;07,30 odpovídá 1 + 07/60 + 30/60² = 1,125 v desítkové soustavě. Během Umajjovského chalífátu používali Arabové šestkový systém jak pro počítání času, tak pro geometrii a trigonometrii, která se vyvinula od babylonských předků přes starověký Egypt a mnoho dalších kultur. Byli to právě Arabové, kteří založili používání systému šestinedělí v moderní kultuře, protože téměř 500 let měli veškerý vědecký potenciál bez diskuse. Stejně jako tehdejší Babyloňané nakreslili první čáry pro Araby k použití jejich systému o několik let později, upevnili použití systému šestinásobku, jak jej známe dnes. A jakkoli se to může zdát kuriózní, stále to funguje perfektně.

a odčítání šestinásobného systému

Šestadesimální systém je systém číslování, ve kterém je každá jednotka rozdělena na 60 jednotek nižšího řádu, to znamená, že je to jeho systém číslování v základu 60. V současné době se používá pro měření času a amplitudy úhlů.

     1h 60min 60s
     1° 60′ 60″

Operace v sexagesimálním systému

Součet

1. krok: Vložte hodiny pod hodiny (nebo stupně pod stupně), minuty pod minuty a sekundy pod sekundy; a sčítají se.

2. krok: Pokud je součet sekund více než 60, vydělte toto číslo 60; zbytek budou sekundy a kvocient se přičte k minutám.

3. krok: Totéž se provede pro minuty.

Odečítání

Krok 1: Umístěte hodiny pod hodiny (nebo stupně pod stupně), minuty pod minuty a sekundy pod sekundy.

2. krok: Sekundy se odečítají. Pokud to není možné, převedeme minutu minuendu na 60 sekund a přidáme ji k sekundám minuendu. Dále odečteme sekundy.

3. krok: Totéž uděláme se zápisem.

Původ

Stejně jako v případě desítkové soustavy se počátek vrací ke způsobu číslování pomocí prstů na ruce . V dávných dobách obyvatelé takzvaného úrodného půlměsíce počítali palcem své pravé ruky, pokud byli praváci , každou ze 3 falang zbývajících prstů téže ruky, počínaje malíčkem. . Pomocí této metody můžete počítat až 12. A abyste mohli pokračovat s většími čísly, pokaždé, když tuto operaci provedete, zvednete jeden prst volné ruky — levé — až do dokončení 60 jednotek (12 x 5 = 60), takže číslo bylo považováno za „kulaté číslo“ a stalo se běžným odkazem v transakcích a měřeních. Podobný osud potkal číslo počítané v pravé ruce, 12, a některé násobky jako 24, 180 (12 x 15 nebo 60 x 3) a 360 (12 x 30 nebo 60 x 6). Z tohoto důvodu je šestičlenná soustava svými historickými kořeny příbuzná duodecimální soustavě .

Tento způsob počítání na prstech (do 12, pak 60) někteří obyvatelé Středního východu používají dodnes . ]

Matematik Sergey Fomin přezkoumal dvě další starověká vysvětlení původu sexagesimálního systému, ačkoli je považoval za neuvěřitelná a špatně argumentovaná. První hypotéza byla, že šestinásobný systém vznikl z politického kompromisu mezi dvěma kmeny, které se konfederovaly a spojily jejich příslušné číselné systémy ( senární a desítkový). Druhý představil systém jako derivát astronomického pozorování a ne výsledek každodenního používání. Takovým způsobem, že Mezopotámci stanovili svůj rok ve 360 ​​dnech, uzavřeli by použití dělitele tohoto čísla (60) jako základního čísla celého jejich číslování. ]

Astronomické použití u původu

V Babylonu byl obvod rozdělen na 360 stejných oblouků. Každá z těchto částí dostala název stupně a každé z nich byl přidělen bůh. Dvanáct se znovu objeví ve zvěrokruhu , protože tento počet znamení nebo "domů" má systém, zahrnující oblouk 30 stupňů a sadu stejného počtu bohů. Náboženský systém byl velmi přísný a dogmatický a požadoval, aby úhly byly konstruovány pomocí neodstupňovaného pravítka s jednou hranou a neurčitou délkou, plus kružítko s pevným otvorem, přičemž byl nakreslen obvod, který se však uzavřel, když se byl vyzdvižen, se kterým nebylo možné jej použít k přepravě segmentů nebo měřidel (Viz: Pravítko a kružidlo ). Tento geometrický konstrukční systém byl považován za božský původ a použití; Podle těchto přesvědčení byl vesmír stvořen touto metodou geometrické konstrukce.

Záhadou je vědět, jak byl tento geometrický náboženský systém plně vyvinut, protože Gaussův Obecný teorém cyklotomie z roku 1801 demonstruje nemožné konstrukce pro mnoho úhlů celého čísla stupňů: každý, který není násobkem 3 °.

Zda se kněží spokojili s aproximacemi nebo neposvátnými metodami, jako je vytváření značek na pravítku, je otevřenou otázkou. To by zničilo celou filozofii, a pokud by se to stalo, museli by být pečlivě skryti před vzdělanými neklerikány.

Každých 315 let se Slunce a Měsíc vrátí na stejné místo na obloze s chybou 7 nebo 8 obloukových minut. To představuje o něco více než dvojnásobek minimální vzdálenosti, kterou může lidské oko detekovat bez zvětšovacích přístrojů. Malá chyba by měla mít náboženský význam ignorovaný naší civilizací, protože stupeň byl obsazen bohem a byl rozdělen do 60 minut. Ale jak Slunce, tak Měsíc spadali do stejné „božské“ oblasti. Čtyři období pokrývají 1260 let, což se rovná 3 + ½ krát 360 let. Převedeme-li množinu na její minimální celočíselné vyjádření, dostaneme astronomickou periodu 2520 let, která je součástí pravoúhlého trojúhelníku s ramenem a prvočíslem přepony: (71, 2520, 2521). Tato čísla, 1260 a 2520, jsou násobky 12, 40 a 60 a mohou zaujímat libovolnou nohu a přeponu pravoúhlého trojúhelníku podobného egyptskému posvátnému trojúhelníku (3, 4, 5) a obecně jakéhokoli pravoúhlého trojúhelníku s celým strany, zejména ty s přední nohou.

Příklady

• Délka úhlopříčky čtverce o straně 1 se rovná druhé odmocnině ze 2. Velmi dobrá aproximace této hodnoty je:

1,414212… = 30547/21600 = 1;24,51,10 (sexagesimální = 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³),

konstanta, kterou používali již babylonští matematici starobabylonského období ( 1900 př . n. l. – 1650 př . n. l .), a která je shromážděna v hliněné tabulce YBC 7289 . Přesnější hodnota je 1;24,51,10,07,46,06,04,44,…${\sqrt {2}}$

• Délka tropického roku v novobabylonské astronomii ( viz : Hipparchos ):

365,24579… = 06,05;14,44,51 (365 + 14/60 + 44/60² + 51/60³).

• Hodnota π použitá Ptolemaiem

3,141666… = 377/120 = 3;08,30 (3 + 8/60 + 30/60²).

Zlomky

Číslo 60 má jako prvočísla první tři prvočísla, tedy 2, 3 a 5. Každý zlomek, jehož jmenovatel je ve tvaru 2 ^a · 3 ^b · 5 ^c , bude mít přesný šestinásobný rozvoj s a , b a c celá čísla rovna nebo větší než 0.

Avšak v případech, kdy vývoj není přesný, bude toto období obecně dlouhé. Protože čísla před a po 60 jsou prvočísla (59 a 61), aby byla tečka dlouhá pouze jedna nebo dvě číslice, jmenovatel musí být 59, 61, součin těchto dvou (3599) nebo cokoliv jiného. výše uvedených číslem ve tvaru 2 ^a · 3 ^b · 5 ^c . V každém jiném případě bude lhůta delší.

1/2 = 0;30

1/3 = 0;20

1/4 = 0;15

1/5 = 0;12

1/6 = 0;10

1/7 = 0;08,34,17

1/8 = 0;07,30

1/9 = 0,06,40

1/10 = 0,06

1/11 = 0;05,27,16,21,49

1/12 = 0,05

1/13 = 0;04,36,55,23

1/14 = 0,04,17,08,34

1/15 = 0,04

1/16 = 0,03,45

1/17 = 0;03,31,45,52,56,28,14,07

1/18 = 0,03,20

1/19 = 0;03,09,28,25,15,47,22,06,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1/20 = 0,03

1/24 = 0,02,30

1/25 = 0,02,24

1/27 = 0,02,13,20

1/30 = 0,02

1/32 = 0,01,52,30

1/36 = 0,01,40

1/40 = 0,01,30

1/45 = 0,01,20

1/48 = 0,01,15

1/50 = 0;01,12

1/54 = 0,01,06,40

1/59 = 0,01

1/1,00 = 0,01 (1/60 desetinné číslo).

Násobící tabulky

Násobilky v základu -šedesát je poměrně obtížné si zapamatovat, protože zahrnuje zapamatování 59×60/2 = 1770 různých produktů. Pro srovnání, v desítkové soustavě si musíte zapamatovat 9×10/2 = 45 produktů. Příklad: 8×5 = 40 = 5×8

        10×9 = 90 = 9×10

vyhledávání prvočísel

Prvočísla mohou končit následujícími číslicemi: 01, 07, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53 nebo 59.

Jinými slovy, máme-li přirozené číslo , jehož poslední číslice v základu 60 je prvočíslo (jiné než 02, 03 nebo 05), 01 nebo 49, pak toto číslo může být prvočíslo – a mohli bychom zkontrolovat použití nějakého metoda primálnosti . Pokud to nekončí v žádném z těchto čísel, pak musí být složené .

Bibliografie

• Dantzig, Tobias (1971). Číslo. Jazyk vědy . Buenos Aires: Editorial Hobbs Sudamericana. (Přeloženo ze čtvrtého anglického vydání).  Kniha podává historii vývoje pojmu číslo pro vzdělaného nematematického čtenáře. Měl pochvalný komentář od Alberta Einsteina a byl odkazem na reformu vzdělávání v Argentině. Zabývá se číselnými soustavami a úplným vývojem pojmu číslo, záměrně nevysvětluje pojmy, které nejsou asimilovatelné nematematickým čtenářem, jako jsou ideály. Zejména v něm najdete neúplný důkaz věty, která říká, že součin stran pravoúhlého trojúhelníku je vždy násobkem šedesáti, který se nachází na straně 295 výše zmíněného odkazu; to kvůli opomenutí týkajícímu se hlavního charakteru nohy. Vyšla nejméně čtyřikrát v angličtině ve Spojených státech amerických a dvakrát ve španělštině v Argentině. Odkaz odpovídá druhému vydání v Argentině a první vydání bylo provedeno jiným vydavatelem v roce 1947 .

Externí odkazy

• „Údaje o výpočtu stupňů a minut“ Jedná se o knihu z roku 1825 v arabštině, která je považována za první publikaci pojednávající o šestinásobných zlomcích a dílech souvisejících s astronomií.