Časově neměnný systém - Time-invariant system

Blokové schéma ilustrující časovou invariantnost pro deterministický systém SISO s nepřetržitým časem. Systém je časově invariantní právě tehdy, pokud pro celou dobu , pro všechny skutečné konstanty a pro všechny vstupy . Kliknutím obrázek rozbalíte.${\ displaystyle y_ {2} (t) = y_ {1} (t-t_ {0})}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle t_ {0}}$${\ displaystyle x_ {1} (t)}$

Časově invariantní (TIV) systém má časově závislé funkce systému , který není přímým funkcí času. Takové systémy jsou považovány za třídu systémů v oblasti systémové analýzy . Funkce systému závislá na čase je funkcí vstupní funkce závislé na čase . Pokud tato funkce závisí pouze nepřímo na časové doméně (například prostřednictvím vstupní funkce), jedná se o systém, který by byl považován za časově neměnný. Naopak jakoukoli přímou závislost na časové oblasti systémové funkce lze považovat za „časově proměnný systém“.

Matematicky vzato je „časová invariance“ systému následující vlastnost:

Vzhledem k systému s časově závislou výstupní funkcí a časově závislou vstupní funkcí bude systém považován za časově neměnný, pokud se časové zpoždění na vstupu přímo rovná časovému zpoždění výstupní funkce. Například pokud je čas „uplynulý čas“, pak „časová invariance“ znamená, že vztah mezi vstupní funkcí a výstupní funkcí je vzhledem k času konstantní :${\ displaystyle y (t),}$${\ displaystyle x (t);}$${\ displaystyle x (t + \ delta)}$${\ displaystyle y (t + \ delta)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x (t)}$${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle y (t) = f (x (t), t) = f (x (t))$

V jazyce zpracování signálu lze tuto vlastnost uspokojit, pokud přenosová funkce systému není přímou funkcí času, s výjimkou vyjádření vstupem a výstupem.

V kontextu systémového schématu lze tuto vlastnost také uvést následovně, jak je znázorněno na obrázku vpravo:

Pokud je systém časově invariantní, pak systémový blok dojíždí s libovolným zpožděním.

Pokud je časově invariantní systém také lineární , je předmětem lineární časově invariantní teorie (lineární časově invariantní) s přímými aplikacemi v NMR spektroskopii , seismologii , obvodech , zpracování signálu , teorii řízení a dalších technických oblastech. Nelineárním časově invariantním systémům chybí komplexní řídící teorie. Diskrétní časově invariantní systémy jsou známé jako systémy invariantní k posunu . Systémy, které postrádají časově invariantní vlastnosti, jsou studovány jako systémy s časovou variantou .

Jednoduchý příklad

Chcete-li předvést, jak určit, zda je systém časově neměnný, zvažte dva systémy:

• Systém A: ${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$
• Systém B: ${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

Protože systémová funkce pro systém A výslovně závisí na t mimo , není časově invariantní, protože časová závislost není výslovně funkcí vstupní funkce. ${\ displaystyle y (t)}$${\ displaystyle x (t)}$

Naproti tomu časová závislost systému B je pouze funkcí časově proměnného vstupu . Díky tomu je systém B časově invariantní . ${\ displaystyle x (t)}$

Níže uvedený formální příklad ukazuje podrobněji, že zatímco systém B je systém s proměnnými směnami jako funkce času, t , systém A není.

Formální příklad

Nyní je předložen formálnější důkaz, proč se systémy A a B liší. K provedení tohoto důkazu bude použita druhá definice.

Systém A: Začněte se zpožděním vstupu${\ displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\ displaystyle y_ {1} (t) = tx_ {d} (t) = tx (t + \ delta)}$

Nyní zpoždění výstupu o ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle y (t) = tx (t)}$

${\ Displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta) = (t + \ delta) x (t + \ delta)}$

Je tedy zřejmé , že systém není časově neměnný.${\ displaystyle y_ {1} (t) \ neq y_ {2} (t)}$

Systém B: Začněte se zpožděním vstupu${\ displaystyle x_ {d} (t) = x (t + \ delta)}$

${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ displaystyle y_ {1} (t) = 10x_ {d} (t) = 10x (t + \ delta)}$

Nyní zpoždění výstupu o ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle y (t) = 10x (t)}$

${\ displaystyle y_ {2} (t) = y (t + \ delta) = 10x (t + \ delta)}$

Je tedy zřejmé , že systém je časově neměnný.${\ displaystyle y_ {1} (t) = y_ {2} (t)}$

Obecněji řečeno, vztah mezi vstupem a výstupem je

${\ displaystyle y (t) = f (x (t), t),}$

a jeho variace s časem je

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ parciální f} {\ parciální t}} + {\ frac {\ parciální f} {\ parciální x}} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}.}$

U časově invariantních systémů zůstávají vlastnosti systému konstantní s časem,

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}} = 0.}$

Aplikováno na systémy A a B výše:

${\ displaystyle f_ {A} = tx (t) \ qquad \ implikuje \ qquad {\ frac {\ parciální f_ {A}} {\ parciální t}} = x (t) \ neq 0}$ obecně, takže to není časově neměnné,

${\ displaystyle f_ {B} = 10x (t) \ qquad \ implikuje \ qquad {\ frac {\ parciální f_ {B}} {\ parciální t}} = 0}$ takže je časově neměnný.

Abstraktní příklad

Můžeme označit operátor posunu o to, kde je množství, o které by se měla vektorová sada indexů posunout. Například systém „předem o 1“ ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle x (t + 1) = \ delta (t + 1) * x (t)}$

může být v této abstraktní notaci reprezentován

${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = \ mathbb {T} _ {1} {\ tilde {x}}}$

kde je funkce daná ${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$

${\ displaystyle {\ tilde {x}} = x (t) \ forall t \ in \ mathbb {R}}$

se systémem poskytujícím posunutý výstup

${\ displaystyle {\ tilde {x}} _ {1} = x (t + 1) \ forall t \ in \ mathbb {R}}$

Stejně tak operátor, který posune vstupní vektor o 1. ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {1}}$

Předpokládejme, že reprezentujeme systém operátorem . Tento systém je časově neměnný, pokud dojíždí s operátorem směny, tj. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \ mathbb {H} = \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {r} \ pro všechny r}$

Pokud je naše systémová rovnice dána vztahem

${\ displaystyle {\ tilde {y}} = \ mathbb {H} {\ tilde {x}}}$

pak je časově invariantní, pokud můžeme použít operátor systému na následovaný operátorem posunu , nebo můžeme použít operátor posunu následovaný operátorem systému , přičemž dva výpočty přinesou ekvivalentní výsledky. ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$${\ displaystyle {\ tilde {x}}}$${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r}}$${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

Nejprve je třeba použít operátora systému

${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {r} \ mathbb {H} {\ tilde {x}} = \ mathbb {T} _ {r} {\ tilde {y}} = {\ tilde {y}} _ {r}}$

Nejprve se dá použít operátor řazení

${\ displaystyle \ mathbb {H} \ mathbb {T} _ {r} {\ tilde {x}} = \ mathbb {H} {\ tilde {x}} _ {r}}$

Pokud je systém časově neměnný, pak

${\ displaystyle \ mathbb {H} {\ tilde {x}} _ {r} = {\ tilde {y}} _ {r}}$

Viz také

• Konečná impulzní odezva
• Shefferova sekvence
• Stavový prostor (ovládací prvky)
• Graf toku signálu
• Teorie systému LTI
• Autonomní systém (matematika)

Reference