Newtonovský potenciál - Newtonian potential

V matematiky je Newtonova potenciál nebo Newton potenciál je operátor ve vektorovém počtu , který působí jako inverzní k zápornému Laplacian , na funkcích, které jsou hladké a rozkládají dostatečně rychle na nekonečno. Jako takový je základním předmětem studia v potenciální teorii . Ve své obecné povahy, to je singulární integrální operátor , definovaný konvolucí s funkcí, která má matematickou výstřednost v počátku, newtonovské jádra y, která je základní roztok na Laplaceovy rovnice . Je pojmenována po Isaacovi Newtonovi , který ji poprvé objevil a dokázal, že to byla harmonická funkce ve zvláštním případě tří proměnných , kde sloužila jako základní gravitační potenciál v Newtonově zákonu univerzální gravitace . V moderní teorii potenciálu je newtonovský potenciál místo toho považován za elektrostatický potenciál .

Newtonovský potenciál kompaktně podporované integrovatelné funkce ƒ je definován jako konvoluce

${\ Displaystyle u (x) = \ Gamma *f (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^{d}} \ Gamma (xy) f (y) \, dy}$

kde newtonovské jádro Γ v dimenzi d je definováno

${\ Displaystyle \ Gamma (x) = {\ begin {cases} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ log {| x |} & d = 2 \\ {\ frac {1} {d (2- d) \ omega _ {d}}} | x |^{2-d} a d \ neq 2. \ end {případy}}}$

Zde ω _d je objem jednotky d -ball (někdy se konvence značek mohou lišit; srovnej ( Evans 1998 ) a ( Gilbarg & Trudinger 1983 )). Například pro máme${\ displaystyle d = 3}$${\ Displaystyle \ Gamma (x) =-1/(4 \ pi | x |).}$

Newtonova potenciál w z ƒ je řešení Poissonovy rovnice

${\ Displaystyle \ Delta w = f, \,}$

což znamená, že operace převzetí newtonovského potenciálu funkce je částečnou inverzí k Laplaceovu operátoru. w bude klasické řešení, které je dvakrát diferencovatelné, pokud f je ohraničené a lokálně Hölderovo spojité, jak ukazuje Otto Hölder . Bylo otevřenou otázkou, zda je dostatečná také samotná kontinuita. Ukázalo se, že to není správné, Henrik Petrini, který uvedl příklad spojitého f, pro které w není dvakrát diferencovatelné. Řešení není jedinečné, protože přidání jakékoli harmonické funkce do w rovnici neovlivní. Tuto skutečnost lze použít k prokázání existence a jedinečnosti řešení Dirichletova problému pro Poissonovu rovnici ve vhodně regulárních doménách a pro vhodně vychované funkce ƒ: člověk nejprve použije newtonovský potenciál k získání řešení a poté upraví přidáním harmonická funkce pro získání správných hraničních dat.

Newtonovský potenciál je definován šířeji jako konvoluce

${\ Displaystyle \ Gamma *\ mu (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^{d}} \ Gamma (xy) \, d \ mu (y)}$

když μ je kompaktně podporovaná radonová míra . Splňuje Poissonovu rovnici

${\ Displaystyle \ Delta w = \ mu \,}$

ve smyslu distribucí . Navíc, když je míra kladná , je Newtonův potenciál na R ^d subharmonický .

Pokud ƒ je kompaktně podporováno spojitá funkce (nebo, obecněji, konečná míra), která je rotačně invariantní , pak konvoluce z ƒ s y vyhovuje pro x mimo podporu ƒ

${\ Displaystyle f*\ Gamma (x) = \ lambda \ Gamma (x), \ quad \ lambda = \ int _ {\ mathbb {R} ^{d}} f (y) \, dy.}$

V dimenzi d  = 3 to redukuje na Newtonovu větu, že potenciální energie malé hmoty mimo mnohem větší sféricky symetrické rozložení hmoty je stejná, jako kdyby byla veškerá hmotnost většího objektu soustředěna v jejím středu.

Když je míra μ je přiřazena k rozdělení hmotnosti na dostatečně hladký nadplochy S (a Lyapunov povrch z držáku třídy C ^{1, alfa} ), který rozděluje R ^d do dvou oblastí D ₊ a D _- , pak Newtonova potenciál u Stabilizátory se označuje jako potenciál jednoduché vrstvy . Jednoduché vrstvy potenciály jsou spojité a vyřešit Laplaceova rovnice kromě S . Přirozeně se objevují při studiu elektrostatiky v kontextu elektrostatického potenciálu spojeného s distribucí náboje na uzavřeném povrchu. Pokud d μ  =  ƒ  d H je produktem spojité funkce na S s ( d  - 1) rozměrný opatření Hausdorff , pak v bodě y z S , jsou normální derivát podrobí skok diskontinuita ƒ ( y ), při překročení vrstva. Kromě toho je běžné derivát je w dobře definované spojitá funkce na S . Díky tomu jsou jednoduché vrstvy zvláště vhodné pro studium Neumannova problému pro Laplaceovu rovnici.

Viz také

• Potenciál dvou vrstev
• Greenova funkce
• Rieszův potenciál
• Greenova funkce pro Laplaceovu rovnici se třemi proměnnými

Reference

• Evans, LC (1998), Parciální diferenciální rovnice , Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2.
• Gilbarg, D .; Trudinger, Neil (1983), Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu , New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7.
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Newtonův potenciál“ , encyklopedie matematiky , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Potenciál jednoduché vrstvy“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Povrchový potenciál“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press