Diamantový princip - Diamond principle

V matematiky , a to zejména v axiomatické teorie množin je princip diamant ◊ je kombinatorická princip zavedený Ronald Jensen v Jensen (1972) , která drží v constructible vesmíru ( L ), a při které dochází k kontinua hypotézu . Jensen vytáhl diamantový princip ze svého důkazu, že axiom konstruovatelnosti ( V = L ) implikuje existenci Suslinova stromu .

Definice

Diamantový princip ◊ říká, že existuje a ◊-sekvence , jinými slovy sadách _α ⊆ alfa pro α < ω ₁ takové, že pro jakékoliv z jejích podskupin A zQ ₁ slouží sada α s∩ α = _α jestacionárnív Q ₁ .

Existuje několik ekvivalentních forem diamantového principu. Jeden uvádí, že existuje spočitatelná sbírka A _α podmnožin α pro každou spočítatelnou ordinální α takovou, že pro jakoukoli podmnožinu A o ω ₁ existuje stacionární podmnožina C o ω ₁ taková, že pro všechny α v C máme A ∩ α ∈ A _α a C ∩ α ∈ A _α . Jinou rovnocennou formou uvádí, že existují sady _α ⊆ alfa pro α < ω ₁ takové, že pro jakékoliv z jejích podskupin A z omega ₁ je alespoň jeden nekonečný α s A ∩ α = _α .

Obecněji, pro daný Cardinal number mítk a stacionární množiny S ⊆ mítk , příkaz ◊ _S (někdy psaný ◊ ( S ) nebo ◊ _mítk ( S ) ), je tvrzení, že je sekvence ⟨ _α  : α ∈ S ⟩ Takové

• každý A _α ⊆ α
• pro každé A ⊆ κ je { α ∈ S  : A ∩ α = A _α } v κ stacionární

Princip ◊ _{ω 1} je stejný jako ◊ .

Diamantu a princip ◊ ⁺ uvádí, že existuje ◊ ⁺ sekvenčního , jinými slovy spočetnou kolekce A _alfa podsouborů alfa pro každý spočetný pořadový α takové, že pro jakékoliv z jejích podskupin A z omega ₁ je uzavřená neomezená podmnožina C z ω ₁ takové, že pro všechna α v C máme A ∩ α ∈ A _α a C ∩ α ∈ A _α .

Vlastnosti a použití

Jensen (1972) ukázal, že princip diamantu ◊ implikuje existenci Suslinových stromů . Ukázal také, že V = L implikuje princip diamantu plus, což implikuje princip diamantu, který implikuje CH . Zejména princip diamantu a princip diamant-plus jsou oba nezávislé na axiomech ZFC. Také ♣ + CH znamená ◊ , ale Shelah dal modely ♣ + ¬ CH , takže ◊ a ♣ nejsou ekvivalentní (spíše ♣ je slabší než ◊ ).

Princip diamantu ◊ neznamená existenci stromu Kurepa , ale silnější princip ◊ ⁺ implikuje princip ◊ i existenci stromu Kurepa.

Akemann & Weaver (2004) použili ◊ ke konstrukci C * -algebry sloužící jako protipříklad k Naimarkovu problému .

Pro všechny kardinály κ a stacionární podmnožiny platí S ⊆ κ ⁺ , ◊ _S v konstruovatelném vesmíru . Shelah (2010) dokázal, že pro κ > ℵ ₀ , ◊ _{κ ⁺} ( S ) vyplývá z 2 ^κ = κ ⁺ pro stacionární S , které neobsahují pořadové číslice kofinality κ .

Shelah ukázal, že diamantový princip řeší problém Whitehead tím, že naznačuje, že každá skupina Whitehead je svobodná.

Viz také

• Seznam prohlášení nezávislých na ZFC
• Prohlášení pravdivá v L.

Reference