İki grafik - Two-graph

Gelen matematik , bir , iki grafik sonlu arasından seçilen (sırasız) üçlü bir dizi tepe grubu , X her (sırasız) dört şekilde, X , iki Grafiğin üçlü bir çift sayı içerir. Bir düzenli iki grafik, iki Grafiğin üçlü aynı sayıda köşe yalan her çifti bu özelliğine sahiptir. İki grafik, eşit açılı çizgilerle bağlantıları nedeniyle ve normal iki grafikler için, son derece düzenli grafikler ve ayrıca sonlu gruplar için çalışılmıştır , çünkü birçok normal iki grafiğin ilginç otomorfizm grupları vardır .

İki grafik bir grafik değildir ve 2 düzenli grafikler gibi grafik teorisinde 2-grafik olarak adlandırılan diğer nesnelerle karıştırılmamalıdır .

Örnekler

Köşeler kümesinde {1, ..., 6} aşağıdaki sırasız üçlüler koleksiyonu iki grafiktir:

123124135146156236245256345346

Bu iki grafik, her bir farklı köşe çifti tam olarak iki üçlü olarak birlikte göründüğünden, normal bir iki grafiktir.

Verilen basit bir grafiktir G = ( V , E ), tepe seti üçlü grubu V kaynaklı alt grafiğinin kenarları formları tek bir sayı grubu bir, iki grafik yer alır V . Her iki grafik bu şekilde temsil edilebilir. Bu örnek, basit bir grafikten iki grafiğin standart yapısı olarak adlandırılır.

Daha karmaşık bir örnek olarak T , E kenar kümesine sahip bir ağaç olsun . Bir T yolunda bulunmayan E'nin tüm üçlülerinin kümesi, E kümesinde iki grafik oluşturur .

Anahtarlama ve grafikler

Bir grafikte {X, Y} arasında geçiş yapma

İki grafik, bir grafik sınıfına ve ayrıca imzalı tam grafiklerin (işaretli) anahtarlama sınıfına eşdeğerdir .

Bir (basit) grafikte bir köşe kümesini değiştirmek , biri kümede diğeri kümede olmayan her bir köşe çiftinin bitişiklerini tersine çevirmek anlamına gelir: böylece kenar kümesi değiştirilir, böylece bitişik bir çift bitişik olmaz ve bitişik olmayan bir çift olur bitişik hale gelir. Uç noktaları hem kümede olan hem de kümede olmayan kenarlar değiştirilmez. Grafikler, biri diğerinden geçiş yapılarak elde edilebiliyorsa eşdeğer değişiyor. Anahtarlama altındaki bir eşdeğerlik sınıfına anahtarlama sınıfı denir . Anahtarlama van Lint & Seidel (1966) tarafından tanıtıldı ve Seidel tarafından geliştirildi; kısmen imzalı grafiklerin değiştirilmesinden ayırmak için grafik değiştirme veya Seidel geçişi olarak adlandırılmıştır .

Yukarıda verilen basit bir grafikten iki grafiğin standart yapısında, iki grafik, ancak ve ancak anahtarlama altında eşdeğer olmaları, yani aynı anahtarlama sınıfında olmaları durumunda aynı iki grafiği verecektir.

Γ, X kümesinde iki grafik olsun . Her eleman için x ve X , bir grafiktir Γ tanımlamak _X ile tepe grubu X sahip olan köşe y ve z , ancak ve ancak {eğer komşu X , Y , Z } y bulunmaktadır. Bu grafikte, x izole edilmiş bir tepe noktası olacaktır. Bu yapı tersine çevrilebilir; basit bir G grafiği verildiğinde , aynı kenar setini koruyarak, G'nin köşe setine yeni bir x elementi ekleyin ve yukarıdaki standart konstrüksiyonu uygulayın.

Bir grafiktir için G kenarları eğer negatif imzalanır aynı tepe grubu, bir imza tam grafik Σ orada gelen G ve eğer pozitif G . Tersine, G , tüm köşelerden ve tüm negatif kenarlardan oluşan Σ'nin alt grafiğidir. G'nin iki grafiği, Σ'de bir negatif üçgeni (tek sayıda negatif kenara sahip bir üçgen) destekleyen üçlü köşeler kümesi olarak da tanımlanabilir. İki imzalı tam grafik, ancak ve ancak anahtarlama altında eşdeğer olmaları durumunda aynı iki grafiği verir.

Anahtarlama G Σ ve ilişkilidir: her iki verimlerde aynı köşe geçiş bir grafiktir H ve karşılık gelen imza tam grafik.

Bitişiklik matrisi

Komşuluk matrisi , iki grafik olan komşuluk matrisi karşılık gelen imza tam bir grafik; dolayısıyla simetriktir , köşegende sıfırdır ve köşegenin ± 1 girişine sahiptir. Eğer G imza tam grafik Σ tekabül eden grafiktir, bu matris olarak adlandırılır (0, -1, 1) -adjacency matris veya Seidel komşuluk matrisi arasında G . Seidel matrisinin ana köşegende sıfır girişi, bitişik köşeler için -1 girişi ve bitişik olmayan köşeler için +1 girişi vardır.

Grafikler halinde G ve H , bir aynı anahtarlama sınıfta, iki özdeğerler multiset Seidel komşuluk matrisleri arasında G ve H matrisleri yana denk benzerdir.

Bir V kümesi üzerindeki iki grafik, ancak ve ancak bitişik matrisinin sadece iki farklı özdeğerine sahip olması durumunda düzenlidir ρ ₁ > 0> ρ ₂ diyelim ki, burada ρ ₁ ρ ₂ = 1 - | V |.

Eşit açılı çizgiler

Her iki grafik, bazı boyutsal öklid uzayında her çifti aynı açıda buluşan bir dizi çizgiye eşdeğerdir . N köşede iki grafikten oluşturulan çizgi dizisi aşağıdaki gibi elde edilir. -Ρ küçük olsun özdeğer arasında Seidel bitişiklik matrisi , A , iki Grafiğin, ve bu çok sayıda sahip olduğunu varsayalım N - d . O zaman ρ I + A matrisi , d kademesinin pozitif yarı tanımlıdır ve bu nedenle öklid d- uzayında n vektörlerin iç çarpımlarının Gram matrisi olarak temsil edilebilir . Bu vektörler aynı norma (yani ) ve karşılıklı iç çarpımlara ± 1 sahip olduğundan, bunların yaydığı n çizgilerin herhangi bir çifti cos φ = 1 / ρ olduğunda aynı φ açısında buluşur. Tersine, bir öklid uzayındaki herhangi bir ortogonal olmayan eşit açılı çizgi seti iki grafiğe yol açabilir ( yapım için eşit açılı çizgilere bakınız ). ${\ displaystyle {\ sqrt {\ rho}}}$

Yukarıdaki gösterimle, maksimum kardinalite n n ≤ d (ρ ² - 1) / (ρ ² - d ) ' yi karşılar ve sınır ancak ve ancak iki grafiğin düzenli olması durumunda elde edilir.

Notlar

Referanslar

• Brouwer, AE , Cohen, AM ve Neumaier, A. (1989), Distance-Regular Graphs. Springer-Verlag, Berlin. Bölüm 1.5, 3.8, 7.6C.

• Cameron, PJ; van Lint, JH (1991), Tasarımlar, Grafikler, Kodlar ve Bağlantıları , Londra Matematik Derneği Öğrenci Metinleri 22, Cambridge University Press, ISBN   978-0-521-42385-4

• Colbourn, Charles J .; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (2. baskı), Boca Raton: Chapman & Hall / CRC, s. 875–882, ISBN   1-58488-506-8

• Chris Godsil ve Gordon Royle (2001), Cebirsel Grafik Teorisi. Matematikte Lisansüstü Metinler, Cilt. 207. Springer-Verlag, New York. Bölüm 11.

• Seidel, JJ (1976), İki grafiğin incelenmesi. In: Colloquio Internazionale sulle Teorie Combinatorie (Proceedings, Rome, 1973), Cilt. I, s. 481–511. Atti dei Convegni Lincei, No. 17. Accademia Nazionale dei Lincei, Roma.

• Taylor, DE (1977), Düzenli 2-grafikler. Londra Matematik Derneği Bildirileri (3), cilt. 35, s. 257–274.

• van Lint, JH; Seidel, JJ (1966), "Eliptik geometride eşkenar nokta kümeleri", Indagationes Mathematicae , Proc. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap. Ser. A 69, 28 : 335–348