Küre teoremi - Sphere theorem
Gelen Riemannsal geometri , küre teoremi olarak da bilinen, çeyrek sıkışmasından küre teoremi , güçlü bir şekilde bağlanmış belirli bir eğriliğe sahip metrikleri kabul manifoldların topoloji kısıtlar. Teoremin kesin ifadesi aşağıdaki gibidir. Eğer M a, tam , basit bağlanmış , n- boyutlu Riemann manifoldu ile kesitsel eğrilik aralığı değerleri alınarak daha sonra M olan homeomorphic için n -sphere . (Kesin olmak gerekirse, her iki noktadaki her teğet 2-düzlemin kesit eğriliğinin içinde olması gerektiğini kastediyoruz .) Sonucu belirtmenin bir başka yolu da, M küre için homomorfik değilse, o zaman bir metrik koymak imkansızdır. Çeyrek kıvrımlı M.
![(1,4]](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5874b482e7e0a5777f6837be39bbe60f8d3ff80c)
Kesit eğrilerinin kapalı aralıkta değerler almasına izin verilirse sonucun yanlış olduğuna dikkat edin . Standart karşı örnek, Fubini – Study metriğine sahip karmaşık projektif uzaydır ; Bu metriğin kesit eğrileri, uç noktalar dahil olmak üzere 1 ile 4 arasındaki değerleri alır. Diğer karşı örnekler birinci derece simetrik uzaylar arasında bulunabilir .
![[1,4]](/criselda-https-wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d586411d3b36b42d74ece1ec4e191d4fe1fc83da)
Türevlenebilir küre teoremi
Küre teoremi orijinal kanıtı olduğu sonucuna vermedi M ille oldu diffeomorphic için n -sphere. Bu komplikasyon, yüksek boyutlardaki kürelerin diffeomorfik olmayan pürüzsüz yapıları kabul etmeleridir. (Daha fazla bilgi için, egzotik küreler hakkındaki makaleye bakın .) Ancak, 2007'de Simon Brendle ve Richard Schoen , yukarıdaki hipotezlerle M'nin standart pürüzsüz yapısıyla n- küreye zorunlu olarak farklı olduğunu kanıtlamak için Ricci akışını kullandılar . Dahası, Brendle ve Schoen'in ispatı, küresel kıstırma yerine yalnızca daha zayıf noktasal kıstırma varsayımını kullanır. Bu sonuç, türevlenebilir küre teoremi olarak bilinir .
Küre teoreminin tarihi
Heinz Hopf , sıkıştırılmış kesit eğriliğine sahip basit bir şekilde bağlanmış bir manifoldun bir küre olduğunu varsaydı. 1951'de Harry Rauch , [3/4, 1] 'deki eğriliği olan basitçe bağlanmış bir manifoldun bir küreye homeomorfik olduğunu gösterdi. 1960 yılında Marcel Berger ve Wilhelm Klingenberg , küre teoreminin topolojik versiyonunu optimal kıstırma sabiti ile kanıtladılar.
Referanslar
- Brendle Simon (2010). Ricci Akışı ve Küre Teoremi . Matematikte Yüksek Lisans Çalışmaları. 111 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . doi : 10.1090 / gsm / 111 . ISBN 0-8218-4938-7 . MR 2583938 .
- Brendle, Simon; Schoen Richard (2009). "1/4 sıkıştırılmış eğriliğe sahip manifoldlar uzay formlarıdır". Amerikan Matematik Derneği Dergisi . 22 (1): 287–307. arXiv : 0705.0766 . Bibcode : 2009JAMS ... 22..287B . doi : 10.1090 / s0894-0347-08-00613-9 . MR 2449060 .
- Brendle, Simon; Schoen Richard (2011). "Eğrilik, Küre Teoremleri ve Ricci Akışı". Amerikan Matematik Derneği Bülteni . 48 (1): 1–32. arXiv : 1001.2278 . doi : 10.1090 / s0273-0979-2010-01312-4 . MR 2738904 .
