Sigma halkası - Sigma-ring

In matematik , bir boş olmayan toplama setleri bir denir σ-ringi (belirgin sigma-ring o ise) kapalı sayılabilen altında birlik ve bağıl tamamlama .

Resmi tanımlama

Boş olmayan bir kümeler koleksiyonu olsun . O zaman aşağıdaki durumlarda bir 𝜎-halkasıdır : ${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}}$

1. Sayılabilir birlikler altında kapalı : eğer herkes için${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty}A_{n}\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. Göreceli tamamlama altında kapalı : eğer${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

Özellikler

Bu iki özellik şu anlama gelir:

elemanları ne zaman${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}.}$

Bunun nedeni ise

Her 𝜎 halkası bir δ halkasıdır, ancak 𝜎 halkası olmayan δ halkaları da vardır.

benzer kavramlar

İlk özellik, sonlu birleşim altında (yani, her ne zaman ) kapalı olacak şekilde zayıflarsa, ancak sayılabilir bir birlik değilse, o zaman bir halkadır, ancak bir 𝜎-halkası değildir. ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}}$

kullanır

Evrensel kümenin ölçülebilir olması istenmiyorsa , ölçü ve entegrasyon teorisinin geliştirilmesinde 𝜎-alanları (𝜎-cebirleri) yerine 𝜎-halkaları kullanılabilir . Her 𝜎 alanı aynı zamanda bir 𝜎 halkasıdır, ancak bir 𝜎 halkasının 𝜎 alanı olması gerekmez.

Alt kümelerinin bir koleksiyonu olan bir 𝜎-halkası Define için bir 𝜎-alanını indükler O zaman kümenin üzerinde bir 𝜎-alanıdır - sayılabilir birleşim altında kapanmayı kontrol etmek için, bir -halkasının sayılabilir kesişmeler altında kapalı olduğunu hatırlayın . Aslında , içeren her 𝜎-alanında yer alması gerektiğinden , minimum 𝜎-alanı içerir.${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X.}$${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\cup B^{c}:A,B\in {\mathcal {R}}\}.}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \sigma }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {R}}.}$

Ayrıca bakınız

• δ -ring  – Sayılabilir kavşaklar altında halka kapalı
• Kümeler alanı  – Cebirsel kavram, aynı zamanda kümelerin cebiri olarak da adlandırılır.
• Birleştir (sigma cebiri)
• 𝜆-sistemi (Dynkin sistemi)  – Tamamlayıcılar ve sayılabilir ayrık birlikler altında kapatılan aile
• Ölçülebilir fonksiyon  – ölçülebilir bir kümenin ön görüntüsünün ölçülebilir olduğu fonksiyon
• monoton sınıf
• π -sistemi  – Kesişme altında kapalı kümeler ailesi
• Setler halkası  - Birlikler ve göreceli tamamlayıcılar altında kapalı aile
• örnek uzay
• 𝜎 toplanabilirlik
• σ-cebir
• 𝜎-ideal  – Alt kümeler ve sayılabilir birlikler altında kapalı aile

Referanslar

• Walter Rudin , 1976. Matematiksel Analiz İlkeleri , 3. ed. McGraw-Hill. Son bölüm, Lebesgue teorisinin geliştirilmesinde 𝜎-halkalarını kullanır.

Set aileleri${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}}$ bitti${\görüntüleme stili\Omega }$
Mutlaka doğru/ kapalı altında:	${\ Displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	FIP	Yönetmen tarafından${\ Displaystyle \,\supseteq }$	${\ Displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle A_{1}\sqcup A_{2}\sqcup \cdots }$	${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \,\\&{\text{nerede }}A_{i}\nearrow \end{alignedat}} }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$	${\ Displaystyle A\setminus B}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$
π -sistemi
𝜆 sistemi (Dynkin Sistemi)			Hiçbir zaman
Halka (Düzen teorisi)
Halka (Ölçüm teorisi)			Hiçbir zaman
δ-Yüzük			Hiçbir zaman
𝜎-Yüzük			Hiçbir zaman
Cebir (Alan)			Hiçbir zaman
𝜎-Cebir (𝜎-Alan)			Hiçbir zaman
çift ​​ideal
Filtre									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
Ön filtre (Filtre tabanı)									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
Filtre alt tabanı									Hiçbir zaman	Hiçbir zaman	${\displaystyle \varnothing \değil \in {\mathcal {F}}}$
topoloji			Hiçbir zaman
Mutlaka doğru/ kapalı altında:	sonlu kavşaklar	sayılabilir kavşaklar	Sonlu Kesişme Özelliği	aşağıya doğru yönlendirilmiş	sonlu birlikler	sayılabilir ayrık birlikler	sayılabilir artan birlikler	sayılabilir sendikalar	tamamlar içinde${\görüntüleme stili\Omega }$	göreceli tamamlayıcılar	içerir ${\görüntüleme stili\varhiçbir şey}$	içerir ${\görüntüleme stili\Omega }$
Tüm ailelerin boş olmadığı varsayılır. ${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$keyfi öğeleri, ikili ayrık kümelerin bir birleşimini belirtir ( ayrık birleşim olarak adlandırılır ). Ayrıca, bir semialgebra veya semiring bir olduğunu π -sistem her tamamlayıcısı nerede içinde sonlu kümeler ayrık birleşimin eşittir bir monoton sınıfında sayılabilir artan sendikalar ve sayılabilen azalan kavşaklar hem altında kapalı olan bir ailedir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$ ${\ Displaystyle \,\sqcup \,}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ setminus A}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {F}}.}$