Revize edilmiş simpleks yöntemi - Revised simplex method

Olarak matematiksel optimizasyon , revize simpleks yöntemi bir varyantı olan , George Dantzig sitesindeki simpleks yöntem için lineer programlama .

Revize edilmiş simpleks yöntemi matematiksel olarak standart simpleks yöntemine eşdeğerdir ancak uygulamada farklılık gösterir. Bir dizi temel değişkene ayarlanmış kısıtlamaları açıkça temsil eden bir tabloyu sürdürmek yerine, kısıtlamaları temsil eden matrisin bir temelinin bir temsilini muhafaza eder . Matris odaklı yaklaşım, seyrek matris işlemlerini etkinleştirerek daha fazla hesaplama verimliliği sağlar.

Problem formülasyonu

Tartışmanın geri kalanı için, doğrusal bir programlama probleminin aşağıdaki standart biçime dönüştürüldüğü varsayılmaktadır:

${\ displaystyle {\ begin {array} {rl} {\ text {minimize}} & {\ boldsymbol {c}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {x}} \\ {\ text {subject to }} & {\ boldsymbol {Ax}} = {\ boldsymbol {b}}, {\ boldsymbol {x}} \ geq {\ boldsymbol {0}} \ end {array}}}$

nerede A ∈ R ^{m × n} . Genelliği kaybetmeden, kısıtlama matris varsayılmaktadır bir tam sıra rank ve problem, yani mümkün olduğu, en az bir tane x ≥ 0 , öyle ki Ax = b . Eğer bir rütbe eksikliği olan ya orada gereksiz kısıtlamalar, ya sorun olurlu değildir. Her iki durum da önceden çözülen bir adımla ele alınabilir.

Algoritmik açıklama

Optimallik koşulları

Doğrusal programlama için, Karush-Kuhn-Tucker koşulları optimallik için hem gerekli hem de yeterlidir . Standart formdaki bir doğrusal programlama probleminin KKT koşulları şu şekildedir:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {Ax}} & = {\ boldsymbol {b}}, \\ {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {\ lambda} } + {\ boldsymbol {s}} & = {\ boldsymbol {c}}, \\ {\ boldsymbol {x}} & \ geq {\ boldsymbol {0}}, \\ {\ boldsymbol {s}} & \ geq {\ boldsymbol {0}}, \\ {\ boldsymbol {s}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {x}} & = 0 \ end {hizalı}}}$

burada λ ve s olan Lagrange çarpanları koşullara bağlıdır Ax = b ve X ≥ 0 , sırasıyla. Tüm 1 < i < n için s _i x _i = 0'a eşdeğer olan son koşul, tamamlayıcı gevşeklik koşulu olarak adlandırılır .

Bazen olarak bilinen tarafından doğrusal programlamanın temel teoremi , bir köşe x uygulanabilir politop bir temeli olmaktan tanımlanabilir B arasında A en son kolonlar arasından seçilecek. Yana bir tam sırası vardır, B kavradığı. Genelliği kaybetmeden, A = [ B   N ] olduğunu varsayalım . O zaman x verilir

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {x_ {B}}} \\ {\ boldsymbol {x_ {N}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} {\ boldsymbol {B}} ^ {- 1} {\ boldsymbol {b}} \\ {\ boldsymbol {0}} \ end {bmatrix}}}$

nerede x _B ≥ 0 . C ve s bölümünü buna göre

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {c}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {c_ {B}}} \\ {\ boldsymbol {c_ {N}}} \ end {bmatrix }}, \\ {\ boldsymbol {s}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {s_ {B}}} \\ {\ boldsymbol {s_ {N}}} \ end {bmatrix}}. \ son {hizalı}}}$

Tamamlayıcı gevşeklik koşulunu sağlamak için s _B = 0 olsun . Bunu takip eder

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {B}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {\ lambda}} & = {\ boldsymbol {c_ {B}}}, \\ {\ boldsymbol {N}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {\ lambda}} + {\ boldsymbol {s_ {N}}} & = {\ boldsymbol {c_ {N}}}, \ end {align}} }$

ki bunu ima eder

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ lambda}} & = ({\ boldsymbol {B}} ^ {\ mathrm {T}}) ^ {- 1} {\ boldsymbol {c_ {B}} }, \\ {\ boldsymbol {s_ {N}}} & = {\ boldsymbol {c_ {N}}} - {\ boldsymbol {N}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {\ lambda}} . \ end {hizalı}}}$

İF s _{, N} ≥ 0 , bu noktada, KKT durumu da bu şekilde tatmin ve edilmektedir x isimli optimum.

Pivot işlemi

KKT koşulları ihlal edilirse, B'deki mevcut bir sütun pahasına bir N sütununun tabana dahil edilmesinden oluşan bir pivot işlemi gerçekleştirilir. Yokluğunda dejenerasyonu , bir dönme işlemi her zaman sıkı bir azalma ile sonuçlanır C ^{, T} x . Bu nedenle, sorun sınırlandırılmışsa, revize edilmiş simpleks yöntemi, yalnızca sınırlı sayıda köşe olduğundan, tekrarlanan pivot işlemlerinden sonra optimal bir tepe noktasında sona ermelidir.

Bir dizin seçin m < q ≤ n , örneğin s _q <0 olarak girme indeksi . Karşılık gelen A , A _q sütunu temele taşınacak ve x _q'nun sıfırdan artmasına izin verilecektir. Gösterilebilir ki

${\ displaystyle {\ frac {\ kısmi ({\ boldsymbol {c}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {x}})} {\ kısmi x_ {q}}} = s_ {q},}$

yani, her birim artış x _q bir azalmaya yol açar - s _q içinde c ^T x . Dan beri

${\ displaystyle {\ boldsymbol {Bx_ {B}}} + {\ boldsymbol {A}} _ {q} x_ {q} = {\ boldsymbol {b}},}$

x _B , x _B - Δ x _B ≥ 0'a tabi olarak Δ x _B = B ⁻¹ A _q x _{q kadar} azaltılmalıdır . Let d = B ^-1 Bir _q . Eğer d ≤ 0 olursa olsun ne kadar x _q artar, x _B - Δ x _B negatif olmayan kalacak. Bu nedenle, C ^{, T} x keyfi azaltılabilir ve bu nedenle sorunun sonsuz. Aksi takdirde, bir indeks seçin p = argmin _{1≤ i ≤ m} { x _i / d _i | d _ı > 0}olarakayrılan indeksi. Bu seçim , uygulanabilirliği korurken x _p sıfıra düşürülene kadar x _q'yu etkili bir şekilde artırır . Pivot işlemi değiştirilmesi ile sona bir _p ile bir _q bazında.

Sayısal örnek

Doğrusal bir program düşünün.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {c}} & = {\ begin {bmatrix} -2 & -3 & -4 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}, \\ {\ kalın sembol {A}} & = {\ begin {bmatrix} 3 & 2 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {b}} & = {\ begin {bmatrix} 10 \\ 15 \ end {bmatrix}} . \ end {hizalı}}}$

İzin Vermek

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {B}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {A}} _ {4} & {\ boldsymbol {A}} _ {5} \ end { bmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {N}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {A}} _ {1} & {\ boldsymbol {A}} _ {2} & {\ boldsymbol {A }} _ {3} \ end {bmatrix}} \ end {hizalı}}}$

uygun bir tepe başlangıçta, burada karşılık X = [0 0 0 10 15] ^{, T} . Şu anda,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {\ lambda}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}, \\ {\ boldsymbol {s_ {N }}} & = {\ başla {bmatrix} -2 & -3 & -4 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}. \ end {hizalı}}}$

Giriş indeksi olarak q = 3'ü seçin . O zaman d = [1 3] ^T , yani x _3'teki bir birim artış , x ₄ ve x _5'in sırasıyla 1 ve 3 azalmasıyla sonuçlanır. Bu nedenle, x ₃ , 5'e yükseltilir , bu noktada x ₅ , sıfıra indirilir ve p = 5 , ayrılma endeksi olur.

Pivot işleminden sonra,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {B}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {A}} _ {3} & {\ boldsymbol {A}} _ {4} \ end { bmatrix}}, \\ {\ boldsymbol {N}} & = {\ begin {bmatrix} {\ boldsymbol {A}} _ {1} & {\ boldsymbol {A}} _ {2} & {\ boldsymbol {A }} _ {5} \ end {bmatrix}}. \ End {hizalı}}}$

Buna uygun olarak,

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {x}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 5 & 5 & 0 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}, \\ {\ boldsymbol {\ lambda}} & = {\ begin {bmatrix} 0 & -4 / 3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}, \\ {\ boldsymbol {s_ {N}}} & = {\ begin {bmatrix} 2 / 3 ve 11/3 ve 4/3 \ end {bmatrix}} ^ {\ mathrm {T}}. \ End {hizalı}}}$

Pozitif bir s _N , x'in artık optimal olduğunu gösterir .

Pratik sorunlar

Dejenerelik

Revize simpleks yöntemi simpleks yönteme matematiksel olarak denk olduğu için, aynı zamanda bir dönme işlemi bir azalma ile sonuçlanmaz dejenere muzdarip C ^{, T} x ve dönme işlemleri bir zincir çevrimine temel neden olur. Döngüyü önlemek ve sonlandırmayı garantilemek için bir tedirginlik veya sözlükbilimsel strateji kullanılabilir.

Temel temsil

Revize edilmiş simpleks yönteminde B'yi içeren iki tür doğrusal sistem mevcuttur:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ boldsymbol {Bz}} & = {\ boldsymbol {y}}, \\ {\ boldsymbol {B}} ^ {\ mathrm {T}} {\ boldsymbol {z}} & = {\ boldsymbol {y}}. \ end {hizalı}}}$

B'yi yeniden sınıflandırmak yerine , genellikle bir LU çarpanlarına ayırma , her pivot işleminden sonra doğrudan güncellenir, bu amaçla Forrest − Tomlin ve Bartels − Golub yöntemleri gibi çeşitli stratejiler vardır. Bununla birlikte, güncellemeleri ve sayısal hataları temsil eden veri miktarı zamanla birikir ve periyodik yeniden düzenlemeyi gerekli kılar.

Notlar ve referanslar

Notlar

Referanslar

Kaynakça