Remez algoritması - Remez algorithm

Remez algoritması veya Remez değişimi algoritması tarafından yayınlanan, Evgeny Yakovleviç Remez 1934 yılında, fonksiyonlara basit yaklaşımları bulmak için kullanılan iteratif algoritmasıdır, özellikle bir işlevler tarafından yaklaşımlar Chebyshev uzayda en iyisidir üniforma norm L _∞ anlamda.

Bir Chebyshev alan tipik bir örneği, bir alt uzay olan Chebyshev polinomları emri n de alan gerçek arasında sürekli fonksiyonlar bir on aralığı , Cı- [ a , b ]. Belirli bir alt uzayda en iyi yaklaşımın polinomu, polinom ile fonksiyon arasındaki maksimum mutlak farkı en aza indiren polinom olarak tanımlanır. Bu durumda, çözümün biçimi, equioscillation teoremi ile belirlenir .

prosedür

Fonksiyonlu Remez algoritması başlar olarak tahmin edilmesi ve bir dizi ait örnek noktası yaklaşım aralığında Chebyshev polinomun genellikle uç değerler doğrusal aralığı eşleştirilir. Adımlar: ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili n+2}$${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n+2}}$

• Lineer denklem sistemini çözün

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i} )}$(nerede ),${\görüntüleme stili i=1,2,...n+2}$

bilinmeyenler için ve E .${\displaystyle b_{0},b_{1}...b_{n}}$

• Bir polinom oluşturmak için as katsayılarını kullanın .${\displaystyle b_{i}}$${\görüntüleme stili P_{n}}$
• Yerel maksimum hata noktaları kümesini bulun .${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle |P_{n}(x)-f(x)|}$
• Her birindeki hatalar eşit büyüklükte ve işarette değişiyorsa , o zaman minimaks yaklaşım polinomu olur. Değilse, yerine ile ve yukarıdaki adımları tekrarlayın.${\görüntüleme stili m\M'de}$${\görüntüleme stili P_{n}}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili M}$

Sonuç, en iyi yaklaşımın polinomu veya minimaks yaklaşım algoritması olarak adlandırılır .

W. Fraser, Remez algoritmasının uygulanmasındaki tekniklerin bir incelemesini sunuyor.

Başlatma seçimi hakkında

Chebyshev düğümleri, polinom interpolasyon teorisindeki rolleri nedeniyle ilk yaklaşım için ortak bir seçimdir. f fonksiyonu için optimizasyon probleminin Lagrange interpolantı L _n ( f ) tarafından başlatılması için , bu ilk yaklaşımın aşağıdakilerle sınırlı olduğu gösterilebilir:

${\displaystyle \lVert f-L_{n}(f)\rVert _{\infty }\leq (1+\lVert L_{n}\rVert _{\infty })\inf _{p\in P_{n }}\lVert fp\rVert }$

düğümlerin ( t ₁ , ..., t _{n  + 1} ) Lagrange interpolasyon operatörünün L _n normu veya Lebesgue sabiti ile

${\displaystyle \lVert L_{n}\rVert _{\infty }={\overline {\Lambda }}_{n}(T)=\max _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{ n}(T;x),}$

T , Chebyshev polinomlarının sıfırlarıdır ve Lebesgue fonksiyonları

${\displaystyle \lambda _{n}(T;x)=\sum _{j=1}^{n+1}\left|l_{j}(x)\sağ|,\quad l_{j}( x)=\prod _{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t_{i})}{(t_{j}-t_{i })}}.}$

Theodore A. Kilgore Carl de Boor, Allan Pinkus orada benzersiz var olduğunu kanıtladı t _i her biri için L _{, n} (sıradan) polinomları için açıkça bilinmemektedir, ancak. Benzer şekilde, ve bir düğüm seçiminin optimalliği şu şekilde ifade edilebilir:${\displaystyle {\underline {\Lambda }}_{n}(T)=\min _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x)}$${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}-{\underline {\Lambda }}_{n}\geq 0.}$

Alt optimal, ancak analitik olarak açık bir seçim sağlayan Chebyshev düğümleri için asimptotik davranış olarak bilinir.

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)={\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+{\frac {2}{\pi }}\ sol(\gamma +\log {\frac {8}{\pi }}\sağ)+\alpha _{n+1}}$

( Γ olmak Euler-Mascheroni sabiti ile)

${\displaystyle 0<\alpha _{n}<{\frac {\pi }{72n^{2}}}}$ için ${\displaystyle n\geq 1,}$

ve üst sınır

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)\leq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+1}$

Lev Brutman gitmekte elde ve genişletilmiş Chebyshev polinomların sıfır olması: ${\displaystyle n\geq 3}$${\displaystyle {\hat {T}}}$

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1 }{\sin ^{2}(3\pi/16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\yaklaşık 0,201.}$

Daha keskin bir tahminden elde edilen Rüdiger Günttner ${\görüntüleme stili n\geq 40}$

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<0.0196.}$

Ayrıntılı tartışma

Bu bölüm, yukarıda özetlenen adımlar hakkında daha fazla bilgi sağlar. Bu bölümde, i dizini 0'dan n +1'e kadar çalışır .

Adım 1: Verilen n +2 denklemlerin lineer sistemini çözün${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n+1}}$

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i} )}$(nerede ),${\displaystyle i=0,1,...n+1}$

bilinmeyenler için ve E .${\displaystyle b_{0},b_{1},...b_{n}}$

O Bu açık olmalıdır Bu denklemde markaları düğümleri sadece seziyorum edilir sipariş ya kesinlikle azalan kesin artan veya. O zaman bu lineer sistemin benzersiz bir çözümü var. (Bilindiği gibi her lineer sistemin çözümü yoktur.) Ayrıca çözüm sadece aritmetik işlemlerle elde edilebilirken, kütüphaneden standart bir çözücü işlem alacaktır . İşte basit kanıt: ${\görüntüleme stili (-1)^{i}E}$${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$${\ Displaystyle O(n^{2})}$${\ Displaystyle O(n^{3})}$

Standart hesaplamak n -inci derece interpolant için ilk N standart de + 1 düğümleri ve n -inci derece interpolant koordinatIara${\görüntüleme stili p_{1}(x)}$${\görüntüleme stili f(x)}$${\ Displaystyle p_{2}(x)}$${\görüntüleme stili (-1)^{i}}$

${\displaystyle p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0,..., n.}$

Bu amaçla, her seferinde Newton'un aradeğerleme formülünü, bölünmüş düzen farkları ve aritmetik işlemlerle kullanın. ${\görüntüleme stili 0,...,n}$${\ Displaystyle O(n^{2})}$

Polinom onun sahiptir i arasında sıfır inci ve ve bu nedenle başka bir sıfır arasında ve : ve aynı işaretli . ${\ Displaystyle p_{2}(x)}$${\displaystyle x_{i-1}}$${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n+1}}$${\displaystyle p_{2}(x_{n})}$${\displaystyle p_{2}(x_{n+1})}$${\görüntüleme stili (-1)^{n}}$

Doğrusal kombinasyon ayrıca n dereceli bir polinomdur ve ${\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E}$

${\displaystyle p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})- (-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}$

Bu, herhangi bir E seçimi için yukarıdaki denklemle aynıdır . i = n +1 için aynı denklem${\görüntüleme stili i=0,...,n}$

${\displaystyle p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E}$ve özel bir akıl yürütmeye ihtiyaç duyar: E değişkeni için çözüldü , E'nin tanımı şudur :

${\displaystyle E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+( -1)^{n}}}.}$

Yukarıda bahsedildiği gibi, paydadaki iki terim aynı işarete sahiptir: E ve bu nedenle her zaman iyi tanımlanmıştır. ${\displaystyle p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}}$

Verilen n +2 sıralı düğümlerdeki hata sırasıyla pozitif ve negatiftir, çünkü

${\displaystyle p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1. }$

De La Vallée Poussin teoremi, bu koşul altında hatası E'den küçük olan n dereceli bir polinomun bulunmadığını belirtir . Gerçekten de, eğer böyle bir polinom varsa, buna n deyin , o zaman fark n +2 düğümlerinde hala pozitif/negatif olacaktır ve bu nedenle en az n +1 sıfıra sahip olacaktır ki bu n dereceli bir polinom için imkansızdır . Dolayısıyla bu E , n dereceli polinomlarla elde edilebilecek minimum hata için bir alt sınırdır . ${\görüntüleme stili {\tilde {p}}(x)}$${\displaystyle p(x)-{\tilde {p}}(x)=(p(x)-f(x))-({\tilde {p}}(x)-f(x))}$${\displaystyle x_{i}}$

Adım 2 , notasyonu olarak değiştirir . ${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+...+b_{n}x^{n}}$${\görüntüleme stili p(x)}$

Adım 3 , giriş düğümlerini ve hatalarını aşağıdaki gibi iyileştirir . ${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$${\görüntüleme stili \pm E}$

Her P-bölgesinde, mevcut düğüm yerel maksimize edici ile değiştirilir ve her N-bölgesinde lokal minimizer ile değiştirilir. (Expect de A , yakın ve en B .) Hayır, yüksek hassasiyet burada gereklidir, standart hat arama bir çift kuadratik uyan yeterli olacaktır. (Görmek ) ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{0}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle {\bar {x}}_{n+1}}$

İzin ver . Her bir genlik , E'den büyük veya eşittir . De La Vallée Poussin Teoremi ve ispatı , n dereceli polinomlarla mümkün olan en iyi hata için yeni alt sınır olarak with için de geçerlidir . ${\displaystyle z_{i}:=p({\bar {x}}_{i})-f({\bar {x}}_{i})}$${\displaystyle |z_{i}|}$${\displaystyle z_{0},...,z_{n+1}}$${\displaystyle \min\{|z_{i}|\}\geq E}$

Ayrıca, olası en iyi hata için bariz bir üst sınır olarak kullanışlıdır. ${\displaystyle \max\{|z_{i}|\}}$

Aşama 4: birlikte ve bir güvenilir bir durdurma kriterini olan alt ve üst mümkün olan en iyi yaklaşım hatasının için bağlı olarak: kadar adımları tekrarlayın yeterince küçüktür veya artık azalır. Bu sınırlar ilerlemeyi gösterir. ${\displaystyle \min \,\{|z_{i}|\}}$${\displaystyle \max \,\{|z_{i}|\}}$${\displaystyle \max\{|z_{i}|\}-\min\{|z_{i}|\}}$

Varyantlar

Bazen birden fazla örnek noktası, yakındaki maksimum mutlak farkların konumlarıyla aynı anda değiştirilir.

Bazen örnek noktaların tümü, tek bir yinelemede tüm, alternatif işaret, maksimum farkların konumları ile değiştirilir.

Bazen , özellikle yaklaşıklık, kayan nokta aritmetiği kullanan bir bilgisayarda işlevi hesaplamak için kullanılacaksa, yaklaşıklık ve işlev arasındaki farkı ölçmek için bağıl hata kullanılır .

Bazen sıfır hata noktası kısıtlamaları, Değiştirilmiş Remez Değişim Algoritmasına dahil edilir.

Ayrıca bakınız

• yaklaşıklık teorisi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Minimax Yaklaşımları ve Remez Algoritması , Boost Math Tools belgelerindeki arka plan bölümü , C++'daki bir uygulamaya bağlantı ile
• DSP'ye Giriş
• Aarts, Ronald M.; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil & Weisstein, Eric W. "Remez Algoritması" . Matematik Dünyası .