Düzenli zincir - Regular chain

Olarak bilgisayar cebir , bir normal zincirli çok değişkenli bir üçgen kümesinin bir türüdür polinom halka bir alan üzerinde. Karakteristik küme kavramını güçlendirir .

Giriş

Doğrusal bir sistem verildiğinde , onu Gauss eliminasyonu yoluyla üçgen bir sisteme dönüştürebiliriz . Doğrusal olmayan durum için, bir alan üzerinde bir polinom sistemi F verildiğinde , cebirsel çeşitliliğin V (F) bu üçgen kümelerle tanımlanması anlamında, onu sonlu bir üçgen kümelere dönüştürebilir (ayrıştırabilir veya üçgenleştirebilir). .

Üçgen bir küme, yalnızca boş kümeyi tanımlayabilir. Bu yozlaşmış durumu düzeltmek için, Kalkbrener (1993), Yang ve Zhang (1994) tarafından bağımsız olarak düzenli zincir kavramı tanıtıldı. Düzenli zincirler ayrıca Chou ve Gao'da (1992) da görülür. Düzenli zincirler, cebirsel çeşitlerin karıştırılmamış boyutlu ayrışımlarını hesaplamak için farklı algoritmalarda kullanılan özel üçgen kümelerdir. Çarpanlara ayırma kullanmadan, bu ayrıştırmalar Wu'nun algoritması tarafından üretilenlerden daha iyi özelliklere sahiptir . Kalkbrener'in orijinal tanımı şu gözlemlere dayanıyordu: Her indirgenemez çeşit, benzersiz bir şekilde jenerik noktalarından biri tarafından belirlenir ve çeşitler, indirgenemez bileşenlerinin jenerik noktaları açıklanarak temsil edilebilir. Bu genel noktalar, düzenli zincirlerle verilmiştir.

Örnekler

Q rasyonel sayı alanını belirtin . Olarak Q [ x ₁ , x ₂ , x ₃ ] değişken sipariş ile x ₁ < x ₂ < x ₃ ,

${\ displaystyle T = \ {x_ {2} ^ {2} -x_ {1} ^ {2}, x_ {2} (x_ {3} -x_ {1}) \}}$

üçgen bir set ve aynı zamanda normal bir zincirdir. T tarafından verilen iki genel nokta ( a , a , a ) ve ( a , - a , a ) ' dır, burada a , Q'dan üstündür . Dolayısıyla, sırasıyla { x ₂ - x ₁ , x ₃ - x ₁ } ve { x ₂ + x ₁ , x ₃ - x ₁ } ile verilen iki indirgenemez bileşen vardır . Şunlara dikkat edin: (1) ikinci polinomun içeriği , temsil edilen jenerik noktalara katkıda bulunmayan ve dolayısıyla çıkarılabilen x _2'dir ; (2) her bileşenin boyutu 1'dir, normal zincirdeki serbest değişkenlerin sayısı.

Biçimsel tanımlar

Polinom halkasındaki değişkenler

${\ displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$

her zaman x ₁ <⋯ < x _{n şeklinde} sıralanır . Bir sabit olmayan polinom f içinde , en büyük değişken bir tek değişkenli polinom olarak görülebilir. En büyük değişken f ile gösterilen, ana değişken olarak adlandırılır MVAr'dır ( f ). Let u ana değişken f ve olarak yazmak ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle f = a_ {e} u ^ {e} + \ cdots + a_ {0},}$

burada E derecesi f ile ilgili u ve lider katsayısıdır f göre u . Daha sonra ilk f olduğu ve E ana derecesidir. ${\ displaystyle a_ {e}}$${\ displaystyle a_ {e}}$

• Üçgen set

Boş olmayan bir alt kümesi, T arasında polinomları durumunda, üçgen dizi T sabit olmayan ve belirgin ana değişkenler. Bu nedenle, üçgen bir küme sonludur ve en fazla n'de kardinaliteye sahiptir . ${\ displaystyle R}$

• Düzenli zincir

Let , T = { t ₁ , ..., t _s }, öyle ki bir üçgen kümesi MVAr'dır ( t ₁ ) '⋯ < MVAr'dır ( t _s ) , ilk olarak t _i ve h ürünü olabilir h _I 'in . Daha sonra , T a, düzenli zincir halinde ${\ displaystyle h_ {i}}$

${\ displaystyle \ mathrm {sonuç} (h, T) = \ mathrm {sonuç} (\ cdots (\ mathrm {sonuç} (h, t_ {s}), \ ldots, t_ {i}) \ cdots) \ neq 0,}$

burada her sonuç , sırasıyla t _i'nin ana değişkenine göre hesaplanır . Bu tanım, çok algoritmik bir tada sahip olan Yang ve Zhang'dan alınmıştır.

• Normal bir zincirin yarı bileşenli ve doymuş ideali

Yarı-bileşenli W ( t ), normal zincir tarafından tarif edilen T olduğu

${\ displaystyle W (T) = V (T) \ setminus V (h)}$ , Yani,

V ( T ) ve V ( h ) çeşitlerinin set farkı . Düzenli bir zincirin ilişikteki cebirsel nesnesi, onun doymuş idealidir

${\ displaystyle \ mathrm {sat} (T) = (T): h ^ {\ infty}.}$

Klasik bir sonuç olduğunu Zariski kapatma bölgesinin W ( T ), doymuş (tanımlanan çeşitli eşit T olduğu),

${\ displaystyle {\ overline {W (T)}} = V (\ mathrm {sat} (T)),}$

ve boyutu n - | T |, değişken sayısından farkı ve polinomların sayısı T .

• Üçgen ayrışmalar

Genel olarak, bir polinom sistemi F'yi ayrıştırmanın iki yolu vardır . Birincisi, tembel olarak ayrıştırmak, yani sadece onun genel noktalarını (Kalkbrener) anlamında temsil etmek,

${\ displaystyle {\ sqrt {(F)}} = \ bigcap _ {i = 1} ^ {e} {\ sqrt {\ mathrm {sat} (T_ {i})}}.}$

İkincisi, tüm sıfırları Lazard anlamında tanımlamaktır ,

${\ displaystyle V (F) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {e} W (T_ {i}).}$

Her iki durumda da üçgen ayrıştırmalar için çeşitli algoritmalar mevcuttur.

Özellikleri

T , polinom halkası R'de düzenli bir zincir olsun .

• Doymuş ideal doymuş ( T ) n - | boyutuna sahip karıştırılmamış bir idealdir | T |.
• Normal bir zincir, şu anlamda güçlü bir eleme özelliğine sahiptir:

${\ displaystyle \ mathrm {sat} (T \ cap k [x_ {1}, \ ldots, x_ {i}]) = \ mathrm {sat} (T) \ cap k [x_ {1}, \ ldots, x_ {ben}].}$

• Bir polinom p , sat ( T ) içindedir, ancak ve ancak p, T tarafından sözde sıfıra indirgenirse , yani,

${\ displaystyle p \ in \ mathrm {sat} (T) \ iff \ mathrm {prem} (p, T) = 0.}$

Bu nedenle sat ( T ) için üyelik testi algoritmiktir.

• Bir polinom s a, sıfır bölen (doymuş modülo T ) ancak ve ancak ve .${\ displaystyle \ mathrm {ön} (p, T) \ neq 0}$${\ displaystyle \ mathrm {sonuç} (p, T) = 0}$

Bu nedenle sat ( T ) için düzenlilik testi algoritmiktir.

• Bir asal ideal P verildiğinde , P = sat ( C ) olacak şekilde düzenli bir C zinciri vardır .
• Normal bir C zincirinin ilk elemanı indirgenemez bir polinom ise ve diğerleri ana değişkenlerinde doğrusal ise, o zaman sat ( C ) bir asal idealdir.
• Tersine, eğer P bir asal ideal ise, o zaman, değişkenlerin neredeyse tüm doğrusal değişikliklerinden sonra, P = sat ( C ) olacak şekilde önceki şeklin düzenli bir C zinciri vardır .
• Üçgen bir küme, ancak ve ancak doymuş idealinin bir Ritt karakteristik kümesiyse , normal bir zincirdir .

Ayrıca bakınız

• Wu'nun karakteristik küme yöntemi
• Gröbner temeli
• Düzenli yarı cebirsel sistem
• Üçgen ayrışma

Diğer referanslar

• P. Aubry, D. Lazard, M. Moreno Maza. Üçgen küme teorileri üzerine . Journal of Symbolic Computation, 28 (1–2): 105–124, 1999.
• F. Boulier ve F. Lemaire ve M. Moreno Maza. Üçgen sistemlerde iyi bilinen teoremler ve D5 prensibi . Transgressive Computing 2006, Granada, İspanya.
• E. Hubert. Üçgen kümeler ve üçgenleme-ayrıştırma algoritmaları üzerine notlar I: Polinom sistemler . LNCS, cilt 2630, Springer-Verlag Heidelberg.
• F. Lemaire ve M. Moreno Maza ve Y. Xie. RegularChains kitaplığı. Maple Konferansı 2005.
• M. Kalkbrener: Polinom Halkaların Algoritmik Özellikleri . J. Symb. Bilgisayar. 26 (5): 525-581 (1998).
• M. Kalkbrener: Cebirsel Çeşitlerin Üçgen Gösterimlerini Hesaplamak İçin Genelleştirilmiş Bir Öklid Algoritması . J. Symb. Bilgisayar. 15 (2): 143-167 (1993).
• D. Wang. Üçgen Sistemler ve Düzenli Sistemlerin Hesaplanması . Journal of Symbolic Computation 30 (2) (2000) 221–236.
• Yang, L., Zhang, J. (1994). Cebirsel denklemler arasındaki bağımlılığı arama: otomatik akıl yürütmeye uygulanan bir algoritma . Matematikte Yapay Zeka, s. 14715, Oxford University Press.